2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数

2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2021年11月）

一.选择题（共8小题）

1.（2021秋•长春期中）如图，在aABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,下列三角函数

表示正确的是（）

5354

2.（2021秋•金山区校级期中）以下与tan30°大小相等的是（）

A.cos60°B.cot60°C.cot30°D.tan60°

3.（2021秋•莱芜区期中）在RtZ\AC8中，NC=90°,tanA=2）后，则sinB的值为（）

A.AB.AC.5/2D.5/3

52

4.（2021秋•徐汇区期中）如图，一块矩形木板ABC。斜靠在墙边（OCJ_OB,点A,B,C,

D,O在同一平面内），已知AB=a,AD=b,ZBCO=a,则点A到OC的距离等于（）

A.〃.sina+b.sinaB.〃・cosa+b・cosa

C.«#sina+/?ecosaD.a.cosa+"ina.

5.（2021秋•浦东新区期中）在RtZ\A3C中，ZC=90°,AB=m,那么边AC的长为（）

A.msinBB.mcosBC.mtanBD.mcotB

6.（2021秋•长春期中）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：V3.坝高BC为4m则

AB的长度为（）

_____5

SssSsssss

Ssssssss

Stssssss

Qstsssss

yystsssss

sssss

yssss

yg.s.s

A4Ba

8/16/

7.（2021秋•锦江区校级期中）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos/ACB

的值为（)

且______£

A.AB.豆C.D.

25510

8.（2021秋•盐湖区校级月考）如图1、是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支

架A。、BC与桌面构成如图2,已知O4=OB=OC=OQ=20吐加，NCOD=60：则

点A到地面（C£＞所在的平面）的距离是（）

A.3O\[^cmB.60y/3cmC.40^f^cmD.60cm

填空题（共7小题）

9.（2021秋♦闵行区期中）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地

面所成角为a时，梯子顶端靠在墙面上的点8处，底端落在水平地面的点A处，如果将

梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为B，且sina=cos0=旦，则梯子顶端上升了

5

米.

10.（2021•鹿城区校级二模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD,BC是可转动门宽，

现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中tan/D4B=巨，tanNC8A=§,测

124

得C,。间的距离为4百§&例，则门槛A3的长为dm.

c

图1图2

11.（2021秋•婺城区校级月考）如图1是一款“雷达式”懒人椅.当懒人椅完全展开时，

其侧面示意图如图2所示，金属杆AB、CD在点。处连接，且分别与金属杆EF在点B,

D处连接.金属杆CD的OD部分可以伸缩（即OD的长度可变）.已知OA=50cm,OB

=20c/n,OC=30cm.DE=BF=5cm.当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB,CD,E尸重

合在一条直线上（如图3所示），此时点E和点A重合.

（1）如图2,已知NBO£）=120°,NOB尸=140°,则点A,C之间的距离为cm.

（2）如图3,当懒人椅完全叠合时，则CF与C£＞的比为.

12.（2021•宁夏）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所

示，已知篮球筐的直径AB约为0.45〃?，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A

处，测得仰角为42°,再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°.若该

同学的目高OC为1.7"，则篮球筐距地面的高度AD大约是，".（结果精确到1根）.

（参考数据:tan42°=0.9,tan35°=0.7,tan48°—LI,tan55°=1.4）

13.（2021秋•栖霞市期中）如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则cos

/BAC等于____________________

14.（2021秋•海曙区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，AB=3旄，连接A8并延长

15.（2021秋•平阳县期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点。处后进球.已知小

明与篮框内的距离3c=5米，眼镜与底面的距离43=1.7米，视线AZ）与水平线的夹角

三.解答题（共5小题）

16.（2021•攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2

月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正

式实施.中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措.如

图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距

离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°,以及该斜坡AC的坡度i=S,求该岛

6

礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）.（结果保留整数）

（参考数据：sin30.96°-0.51,cos30.96°-0.85,tan30.96°«=0.60）

17.（2021秋•浦东新区期中）如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,延长斜边8c到点£）,

使CZ）=工BC,联结AO,如果tanB=2,求tanNCA。的值.

23

18.（2021•新野县三模）许昌市旅游服务中心由广场和1“一门四阙''主题建筑组成，如图1.广

场为迎宾广场一门”为“许昌之门”，“四蹦”为广场四角的汉阙，是许昌的标志性建筑.某

数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度，图2为测量示意图，MN为服务中心

的对称轴，在地面的处架设测角仪，测得旅游服务中心的最高点。的仰角45°,利

用无人机在点B的正上方57.8米处的点C处测得点D的俯角为32°,测角仪的高度AB

=1.6米，尸”=17.2米，£>E=19.8米.

（1）求旅游服务中心的高度为多少米？（结果精确到（）』，".参考数据：sin32°g0.530,

cos32°心0.848,tan32°g0.625,我七1.414）

（2）兴趣小组测量后到旅游服务中心参观，发现讲解员讲解的高度为368”，请用物理

知识解释测量值与实际值出现差距的原因，如何避免或者减小差距？

19.（2021秋•龙马潭区校级期中）2021年9月16号，泸县发生地震，救援队及时达到现场

参与救援，在救援中用热气球进行探测.如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶

部8的仰角（NBA。）为45°,看这栋高楼底部C的俯角（NC4。）为60°,热气球与

高楼的水平距离AZ）为50〃?，求这栋高楼的高度（结果保留根号）.

B

20.（2021•巴音郭楞州模拟）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的

驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是/。。=30°和/OCB=53°,如果斑马

线的宽度A8=4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约

是多少米？（参考数据：sin53°弋生cos53°七巨，tan53°七鱼«=1.73,结果精确

553

至U0.1米）

2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2021年11月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2021秋•长春期中）如图，在aABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,下列三角函数

表示正确的是（）

5354

【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；模型思想.

【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进

行计算，再利用排除法求解即可.

【解答】解：VZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=VAB2-AC2=V52-42=3'

，sinA=3,故选项A错误；

5

tanA=3,故选项8错误；

4

cosA=4,故选项C正确；

5

tanfi=A,故选项。错误.

3

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐

角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键.

2.（2021秋•金山区校级期中）以下与tan30°大小相等的是（）

A.cos60°B.cot60°C.cot30°D.tan600

【考点】特殊角的三角函数值.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出各个选项中特殊角的三角函数值，比较大小

即可得到答案.

【解答】解：tan30°=返，cot60°=返，

33

则与tan300大小相等的是cot60°,

故选：B.

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记60°的正切值、余切值是解题的关键.

3.（2021秋•莱芜区期中）在RtZ\AC8中，/C=90°,tanA=2\后，则sinB的值为（）

A.AB.AC.>/2D.V3

52

【考点】互余两角三角函数的关系.

【专题】平面直角坐标系；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.

【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.

【解答】解：设中，ZC=90°,/A、NB、/C的对边分别为a、b、c,

由于tanA———2\f^,

b

可设q=2J颔，b=kt由勾股定理得，

c=22=5

Va+b^

sinB=A=_L,

c5

故选：A.

【点评】本题考查互余两角三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的定义是正确解答

的关键.

4.（2021秋•徐汇区期中）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC_LO8,点A,B,C,

D,。在同一平面内），已知AB=a,AD=b,/BCO=a,则点A到OC的距离等于（）

A.a*sina+/?,sinaB.a,cosa+/>,cosa

C.a・sina+6・cosaD.a・cosa+〃・sina.

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【分析】作AEL08交。8的延长线于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解

直角三角形可求出点A到0C的距离.

【解答】解：如图，作AE_L08交。8的延长线于点E,

OCLOB,

：.ZAEB=ZBOC=90°,

•.•四边形ABC。是矩形，

：.BC=AD=b,NABC=90°,

...NABE=90°-ZOBC=ZBCO=a,

,里＞=cos/ABE=cosa,

AB

BE=AB,cosa=a,cosa,

,.■•^=sin/3C0=sina,

BC

0B=BC*sina=b,sina,

0E=BE+OB—a*cosa+b•sina,

'：AE//OC,

...点A、点£到。C的距离相等，

/.点A到0C的距离等于a・cosa+%・sina,

【点评】此题考查直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，解

题的关键是作辅助线将点A到0C的距离转化为一条线段的长.

5.（2021秋•浦东新区期中）在RtA4BC中，ZC=90°,AB^m,那么边AC的长为（）

A.znsinBB.mcosBC.mtanBD.mcotH

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；模型思想.

【分析】根据锐角三角函数的定义，得出答案.

【解答】解：在RtZ\ABC中，NC=90°,AB=m,

VsinB=-^-,即sinB=^^,

ABm

.*.AC=/wsinB,

故选：A.

【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

6.（2021秋•长春期中）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：V3.坝高BC为4〃?，则

AB的长度为（）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【分析】根据坡度的概念求出AC,再根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：•.•迎水坡AB的坡比为1：V3-

-BC=1

..而-7T

；BC=4，〃，

，AC=4百〃，

由勾股定理得：4B=+AC2={422=8（m）,

故选:B.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的

关键.

7.（2021秋•锦江区校级期中）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosNACB

A.AB.在c.2辰D.

25510

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【分析】根据图形得出A。的长，进而利用三角函数解答即可.

【解答】解：过A作4O_LBC于。，

：.DC=\,AD=3,

AAC=VAD2+DC2=VIO,

：.cosZACB=^-^-^=^-,

ACV1010

故选：D.

【点评】此题考查解直角三角形，关键是利用三角函数解答.

8.（2021秋•盐湖区校级月考）如图1、是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支

架AO、BC与桌面构成如图2,已知OA=OB=OC=O£>=20j7，〃，ZCOD=60Q,则

点A到地面（CC所在的平面）的距离是（）

A.30"\/^(:机B.60-\/3c/nC.40y[^ctnD.60cm

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【分析】连接CD过。作OFLCQ于点尸，延长FO,交AB于点E,根据直角三角函

数求出OF的长，进而得出EF的长.

【解答】解：如图，连接CC,过。作OFJ_C。于点F,延长尸O,交4B于点E,

EB

♦：OA=OB=OC=OD=20Mcm,ZCOD=60°,

：.ZCOF=30°,

ACF=OC*cosZCOF—20,^2X唱=30(cm),

：.EF=2OF=60(cm),

即点A到地面（CO所在的平面）的距离是60c〃?.

故选：D.

【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的

作出辅助线是解题的关键.

二.填空题（共7小题）

9.（2021秋•闵行区期中）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地

面所成角为a时，梯子顶端靠在墙面上的点8处，底端落在水平地面的点4处，如果将

梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为0，且sina=cos0=W,则梯子顶端上升了

5

2_米，

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【分析】在原图中标上必要的字母，由旦i=sina=E±=cos0=±,设BC—3m,则AB

ABED5

=5m,求出川的值和AB、8c的长，同样方法求出EC的长，再根据勾股定理求出QC

的长，即可求出梯子顶端上升几米.

【解答】解：如图，由题意可知，ZACB=90°,AB=ED=\O,

由^^=sina=^^=cos|3=3,

ABED5

设BC=3m,则48=5加，

则5m=10,

解得m=2,

：.BC=3X2=6,

设EC=3〃，则EZ）=5〃,

***5〃=10,

解得几=2,

，EC=3X2=6,

'DC=VED2-EC2=V102-62=8,

；.BD=DC-BC=8-6=2（米），

...梯子顶端上升了2米，

故答案为：2.

【点评】此题考查锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理等知识与方法，解题的关键

是根据题中所给的三角函数值设未知数，使每一个直角三角形由两个未知边变为两个已

知边.

10.（2021•鹿城区校级二模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD,BC是可转动门宽，

现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中lan/D48=互，tanNC8A=3,测

124

得C,。间的距离为4百亚加，则门槛48的长为260dm.

c

2、门槛BAOB

图1图2

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【分析】过。作CFLA8于F,过C点作CGLA8于G,过点。作OELCG于E,则四

边形。『GE为矩形，进而可得£>E=FG,EG=。凡设AD=BC=x,则AB=2x,通过解

直角三角形可求得CE=a鱼X，。£=丝乂，利用勾股定理列式计算可求解x值，进而求

6565

解AB的值.

【解答】解：过。作。FLAB于凡过C点作CGLA2于G,过点。作QELCG于E,

则四边形OFGE为矩形，

:.DE=FG,EG=DF,NDEC=90°,

设AQ=BC=x,则AB=2x,

；tan/D4B=三tan/CBA=3,

124

.,.sin/A=-sinZB=—,

135

.•.OF=_LY，CG=3y,BG=AY

131355

；.CE=CG-EG=CG-。/=j-且Y=」1Y，

51365

DE=FG=AB-AF-BG=2a-^-Y-A乜=迫

13565

在RtacnE中，0c=4V运a加，

DEP+CEP^DC2,

即（"jl'x）。（差乂）2=（47130）2,

解得x=130,

•♦A8=2x=260d，〃.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角△CQE是解题的关键.

II.(2021秋•婺城区校级月考)如图1是一款“雷达式”懒人椅.当懒人椅完全展开时，

其侧面示意图如图2所示，金属杆A8、CO在点。处连接，且分别与金属杆EF在点B,

。处连接.金属杆CQ的。。部分可以伸缩(即。。的长度可变).已知OA=50a”，OB

=20"〃，OC=30aw.DE=BF=5cm.当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB,CD,EF重

合在一条直线上(如图3所示)，此时点E和点A重合.

(1)如图2,已知/8。。=120°,NOBF=140°,则点A,C之间的距离为70cm.

(2)如图3,当懒人椅完全叠合时，则CF与CQ的比为1：15.

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】(1)连接AC,过点4作AG1.CE于G,由直角三角形的性质得出OG=2OA

2

=25cm,由勾股定理得AG=25、笈得出AC=70c〃?即可；

(2)由题意得出CF=OC-OB-BF=5cm,CD=OC+OA-DE=75cm.

【解答】解：(1)连接AC,过点A作AGLCE于G,如图2所示：

VZAOC=120°,

；./AOG=180°-120°=60°,

,：AGA.CE,

NOGA=90°,

AZOAG=90°-60°=30°,

.•.OG=』OA=LX50=25(cm),

22

由勾股定理得：AG—-QQ2=yl-252=25,\/3cm},

VCG=OC+OG=30+25=55(cm),

•••AC=也G?+AG2=4552+(25e)2=7°(5)，

.,.点A,C之间的距离为70cm；

故答案为：70.

(2)CF=OC-OB-BF=30-20-5=5(cm),CC=OC+OA-DE=30+50-5=75(CTT?).

，C1与CD的比5：75=1：15.

故答案为：1：15.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟

练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键.

12.（2021•宁夏）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所

示，己知篮球筐的直径AB约为0.45/M,某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A

处，测得仰角为42°,再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°.若该

同学的目高OC为1.7m,则篮球筐距地面的高度大约是3m.（结果精确到1/«）.

（参考数据：tan42°-0.9,tan35°=0.7,tan48°一1.1,tan55°一1.4）

测量示意图

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【分析】设OE=x,AE=BF^y,然后结合角的正切值列方程组求解，从而求得AO的高

度.

【解答】解：如图:

B

由题意可得四边形AEFB是矩形，四边形OCDE是矩形,

：.AB=EF=0.45,OC=ED=1.1,

设OE=x,AE=BF^y,

在Rtz^AOE中，tan42°=处,

OE

.y

-----=0.9'

x

在RtZsBO尸中，tan35°=度,

OF

y

——-——=07,

x+0.45

y

—=0.9

x

联立方程组，可得，

V

——-——=07

x+0.45

63

Y=---------

40

解得：，

_567‘

y400

：.AD=AE+ED=^L+n7七3,

400

故答案为：3.

【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，理解锐角三角函数的定义，利用角的正切

值列方程组是解题关键.

13.（2021秋•栖霞市期中）如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则cos

ABAC等于色叵.

—10―

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【分析】设小正方形的边长为1，过C作COLA8于。，求出aABC的面积，根据勾股

定理求出A3和AC,根据三角形的面积求出高CD长，根据勾股定理求出A。，再求出答

案即可.

【解答】解：设小正方形的边长为1,

过C作CD_LA8于。，

SMfiC=—X2X2=2,

由勾股定理得：48=海7=2\后，AC=^22+22=2^

:・*X2/CD,

解得：

5__________________

由勾股定理得：一=庐于=』2近产-（等产等,

W5

.•.cosNB4C=~^=*^=晒及

AC2V210

故答案为：之国.

10

【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出△ABC的面积是解此题的关键.

14.（2021秋•海曙区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，AB=3&,连接AB并延长

至C,连接OC,若满足OC2=BC・AC,tana=2,则点C的坐标为（-2,4）.

【考点】坐标与图形性质；解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【分析】根据相似三角形的判定和性质得出/A=/C02,进而得出NA80=a,利用tana

=2,得出OA=2OB,利用勾股定理解得0B,从而可知0A的长，进而可知tan/A的值，

由tana=2,设C（-机，1m）,机＞0,tanN4的值列出关于，〃的方程，解得机的值，则

可得点C的坐标.

【解答】解：VZC=ZC,

OC2=BC?AC,

即毁

BC0C

：.l\OBCsXOAC,

：.ZA=ZCOB,

\"a+ZCOB=90°,/A+/A8O=90°,

ZABO=a,

Vtana=2,

/.tanNA8O=-2A.

OB

・•・04=208,

,:AB=30

由勾股定理可得：OA2+OB2-=AB2,

即40B24OB2=（W^）2,

解得：0B=3,

・••设C（-加，2m）,n?>0,

•'.AD=6+mf

*.*UnZA=A,

2

・CD1

AD2

・

•--2--m---=—1，

6+m2

解得：/n=2,

经检验，加=2是原方程的解.

点C坐标为：（-2,4）.

故答案为：（-2,4）.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应

用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键.

15.（2021秋•平阳县期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点。处后进球.已知小

明与篮框内的距离BC=5米，眼镜与底面的距离AB=1.7米，视线AO与水平线的夹角

为a,已知tanNa=-,则点D到底面的距离CD是3.2米.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力；推理能力；应用意识.

【分析】过A作AELCO于E,则四边形A8CE是矩形，得AE=BC=5米，CE=AB=

1.7米，解RtZSAOE得到。E的长度，再由C£>=CE+OE即可求解.

【解答】解：如图，过A作AE_LC£>于E,

则四边形ABCE是矩形，

；.AE=BC=5米，CE=AB=1.7米，

在RtZ\4£）E中，ZDAE=a,tana=^?.=-A_,

AE10

.•.£>E=&4E=3X5=1.5（米），

1010

.,.C£)=CE+Z)E=3.2米.

故答案为：3.2.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三

角形是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2021•攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2

月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正

式实施.中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措.如

图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点。处测得与斜坡AC坡脚点C的距

离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°,以及该斜坡AC的坡度i=立，求该岛

6

礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）.（结果保留整数）

（参考数据:sin30.96°-0.51,cos30.96°七0.85,tan30.96°~0.60）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【分析】根据斜坡AC的坡度i=5,可设48=5x米，BC=6x米，继而表示出8。的长

6

度，再由tan30.96°«0.60,可得关于x的方程，解出即可得出答案.

【解答】解：•••斜坡AC的坡度i=5,

6

BC=5-6,

故可设AB=5x米，BC=6x米，

在RtZVIOB中，Z7）=30.96°,BD=（140+6x）米，

.".tan30.96°=-_=0.60,

140+6x

解得：x=60（米），

经检验，x=60是方程的解，

.*.5x=300（米），

答：该岛礁的高AB为300米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三

角函数的定义，表示相关线段的长度.

17.（2021秋•浦东新区期中）如图，在RtZVIBC中，/B4C=90°,延长斜边8c到点

使CD=LBC,联结AD,如果tanB="l,求tanZCAD的值.

23

【考点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【分析】过点C作CH_LAO,交AD于点、H,根据相似三角形的判定和性质以及直角三

角形的三角函数解答即可.

C.AB//CH,

：./\DCH^/\DBA,

•••C-Hz:--C-D»

ABBD

.CH_CD=1

'*AB=2CD+CD

设CH=k,

；.AB=3Z,

：.AC=4k,

AC4k4

.•.tan/CAQ的值为工.

4

【点评】此题考查解直角三角形，关键是根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形

的三角函数解答.

18.(2021•新野县三模)许昌市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成，如图1.广

场为迎宾广场一门”为“许昌之门”，“四蹦”为广场四角的汉阙，是许昌的标志性建筑.某

数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度，图2为测量示意图，MN为服务中心

的对称轴，在地面的AB处架设测角仪，测得旅游服务中心的最高点。的仰角45°,利

用无人机在点B的正上方57.8米处的点C处测得点D的俯角为32°,测角仪的高度AB

=1.6米，FH=17.2米，OE=19.8米.

(1)求旅游服务中心的高度为多少米？(结果精确到0.1%参考数据：sin32°g0.530,

cos32°弋0.848,tan32°t0.625,我七1.414)

(2)兴趣小组测量后到旅游服务中心参观，发现讲解员讲解的高度为368”,请用物理

知识解释测量值与实际值出现差距的原因，如何避免或者减小差距？

【考点】轴对称的性质；解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.

【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BG的值，

也就是MN的值；

（2）根据物理知识中误差产生的原因和减少误差的方法可以解答本题.

【解答】解：（1）作£>G_LAC于点G,

由题意可得，Zl=32°,N2=45°,

.•./C£>G=32°,ZADG=45°,

：.ZADG=ZDAG=45°,

：.GD=GA,

设CG=x米，则AG=BC-BA-CG=57.8-1.6-x=（56.2-x）米，

则GD=（56.2-x）米,

；tan/CGD=空，

GD

.*.tan320=-------,

56.2~x

解得产力1.6,

：.BG=BC-GC^57.S-21.6=36.2（米），

:.MN=BG=362米，

答：旅游服务中心的高度约为36.2米；

（2）造成误差的主要原因有系统误差和随机误差，比如误读、误算、视差、刻度误差等,

避免或者减小差距可以通过多次测量，求平均值.

【点评】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题、轴对称的性质，利用数形结合

的思想解答是解答本题的关键.

19.（2021秋•龙马潭区校级期中）2021年9月16号，泸县发生地震，救援队及时达到现场

参与救援，在救援中用热气球进行探测.如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶

部8的仰角为45°,看这栋高楼底部C的俯角（NC4。）为60°,热气球与

高楼的水平距离AZ）为50〃?，求这栋高楼的高度（结果保留根号）.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识.

【分析】在Rt/\ABD和Rt/XADC中分别求出BD和CD的长度，即可求解.

【解答】解：在RtZ\4B£>中，tan/R4r>=ED,

AD

：.BD=ADtan450=50X1=50（〃i）,

在RtzXADC中，tanNC4D=里，

AD

ACD=A£）tan60°=50X«=506Cm）,

:.BC=BD+CD=（50+50V3）m,

答：这栋高楼的高度为（50+50t）m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由锐角三角函数定义求出BD,

CO的长是解题的关键.

20.（2021•巴音郭楞州模拟）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的

驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是NCC4=30°和/OC8=53°,如果斑马

线的宽度AB=4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约

是多少米？（参考数据：sin53°弋生cos53°生旦，tan53°g生«F.73,结果精确

553

到0.1米）

【考点】解直角三角形的应用；视点、视角和盲区.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【分析】延长A8,过C作CELA8于点E,在直角与直角△BEC中，利用三角

函数，即可利用CE表示出AE于8E,根据A8=AE-8E,即可得到关于CE的方程，从

而求解.进而求得AE,则AE-A8-1.8即可求解.

【解答】解：延长AB,过C作CEJ_4B于点E,

：.ZCAB=ZDCA=30°,ZCBE=ZDCB=53°,

设CE=m.

则在直角^ACE中，tan/C4E=C^,

AE

：.AE=-----____.=----55__,

tan/CAEtan300

同理BE=___5,

tan530

*：AB=AE-BE.

：____IB___-___IB___=4,

tan300tan530

解得：,"=4xtan30°Xtan530(加)，

tan530-tan300

/.AE=y/2fn^7.06(〃?)，

.,.JC=7.06-4-1.8=1.3(w).

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形

解决问题，学会利用参数构建方程求解.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵

坐标有关，到)，轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

2.直角三角形斜边上的中线

(1)性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜

边的中点)

(2)定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条

边为斜边的直角三角形.

该定理可以用来判定直角三角形.

3.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么“2+62=C2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式的变形有：a=iyc2_b2,b=第1及c=席忑.

(4)由于a1+b1=c1>a1,所以c>a,同理c>h,即直角三角形的斜边大于该直角三角形