单元检测(十一)

单元检测(十一)概率与统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20，25)(单位：℃)内，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数36253818将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝()A．100B．300C．400D．6002．[2023·广东省高三联考]一批学生分别来自于一班与二班，一班、二班中女生的占比分别为40%，50%.将这两个班的学生合编成一个大班，从大班中随机抽取1名学生，已知抽取到女生的概率为44%，然后从大班中随机抽取1名学生，若抽取到的是女生，则她来自一班的概率为()A．eq\f(6,11)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(22,75)3．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成年份序号x(2013年作为第1年)的函数．运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的个数为()①销售额y与年份序号x呈正相关关系；②销售额y与年份序号x线性相关不显著；③三次函数回归曲线的效果好于回归直线的拟合效果；④根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额约为8454亿元．A．1B．2C．3D．44．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为()附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.90%B．95%C．99%D．99.9%5．[2023·广东省广州市高三月考]设A，B为两个事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.3，则P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.66．[2023·四川广元高三模拟]设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为()A．eq\f(7,3)B．eq\f(4,3)C．3D．57．[2023·江苏省徐州市高三试题]若(2－ax)(1＋x)4展开式中x3的系数为2，则a＝()A．1B．－1C．－eq\f(1,3)D．28.[2023·河南省顶级名校月考]已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3.如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,7)D．eq\f(4,9)9．[2023·山东泰安模拟]设离散型随机变量X的分布列为X01234Pp0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则D(Y)＝()A．0.1B．1.8C．3.6D．7.210．[2023·贵州贵阳考试]为应对新冠肺炎疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资．某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批n件产品的正品率为98%，现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为()A．0.998816B．0.9996C．0.057624D．0.00118411．[2023·黑龙江哈尔滨检测]某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为eq\f(5,6)，eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且每关通过与否相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为()A．eq\f(7,25)B．eq\f(2,5)C．eq\f(12,25)D．eq\f(14,25)12．[2023·山东临沂检测]某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览景点A的概率为eq\f(2,3)，游览景点B、景点C和景点D的概率都是eq\f(1,2)，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，则下列结论中不正确的是()A．P(X≤1)＝eq\f(1,4)B．P(X＝2)＝eq\f(3,8)C．P(X＝4)＝eq\f(1,24)D．E(X)＝eq\f(13,6)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．[2023·陕西西安五校联考]已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，方差是4，则xy＝________．14．[2023·上海市实验学校开学考]由一组样本点(1，1)、(2，1.2)、(3，2.1)、(4，2.7)、(5，3)，根据最小二乘法求得的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.55x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(a,\s\up6(^))＝________．15．[2023·安徽省高三摸底]已知某次考试的数学成绩X服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，且P(80<X<120)＝eq\f(2,3)，现从这次考试随机抽取3位同学的数学成绩，则这3位同学的数学成绩都在(100，120)内的概率为__________．16．[2023·广东深圳统测]很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全性．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2023·重庆市第八中学校月考]多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，结合近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据(i＝1，2，…，12)，该团队建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2；②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令ui＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，vi＝lnyi(i＝1，2，…，12)计算得如下数据：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))206677020014eq\o(u,\s\up6(－))eq\o(v,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))4604.2031250000.30821500(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；(ⅱ)若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；②参考数据：308＝77×4，eq\r(80)≈8.9443，e4.3820≈80.18．(本小题满分12分)[2023·江苏海安中学测试]有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有减少，小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：方案一：每次从待称量的砝码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疵砝的砝码在下降一侧．按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止．方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上，…，直到找出有瑕疵的砝码为止．(1)记方案一的称量次数为随机变量X，求X的概率分布；(2)上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由．19.(本小题满分12分)[2023·高三试题]2021年11月7日，在《英雄联盟》S11的总决赛中，中国电子竞技俱乐部EDG完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了500人作出调查，所得数据统计如下表所示：热爱电子竞技对电子竞技无感男性20050女性100(1)判断是否有99.9%的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？(2)若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列以及数学期望E(X).附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820．(本小题满分12分)[2023·河南省焦作市高三考试]在“校园安全”知识竞赛中有两道多选题，每道题给出的四个选项中有多个正确选项，全部选对的得10分，选对但不全的得5分，有选错或未作答的得0分．小明参加了这次竞赛，由于准备不充分，他对这两道多选题涉及的知识完全不了解．(1)若小明选择每个选项的概率均为eq\f(1,2)且互不影响，求他这两道题得分之和为20分的概率；(2)若这两道题中一题有2个正确选项，一题有3个正确选项，小明每道题随机选择两个选项，求小明这两题得分之和X的分布列和数学期望．21.(本小题满分12分)[2023·福建省福州高三训练]某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，统计结果如