3.1.1.2椭圆及其标准方程(讲义)-高二上学期数学人教A版选择性

.2椭圆及其标准方程课标解读1.会用定义法求轨迹方程.2.会用代入法求轨迹方程.3.会用直接法求轨迹方程.学情分析：在圆的章节，已经学习过三种求点的轨迹方程的方法，学生已经有了一定的基础。在考虑轨迹的完备性和纯粹性时易出现错误。定义法求解轨迹方程时，不易观察出轨迹的几何特征。计算上易出现失误。教学重难点：重点：掌握三种常用的求轨迹方程的方法难点：定义法（几何特征不是很明显的时候）、讨论曲线上是否所有的点都满足题意（纯粹性和完备性）温故导新上节课学习了椭圆的定义以及如何求椭圆的标准方程，本节课继续来学习如何求轨迹方程。用笔思考1.阅读教材P115习题6，线段的垂直平分线有什么性质？思考Q点的轨迹符合哪种曲线的特征？总结常见的曲线特征。2.阅读教材P108例2，选择合适的方法求M点的轨迹方程？轨迹上的所有点都满足此轨迹方程吗？3.由例2可以发现圆可以通过“压缩”得到椭圆，你能通过将圆“拉伸”得到椭圆吗？由此得到，椭圆与圆之间有什么关系？4.阅读教材P108例3，试求点M的轨迹方程。归纳总结平面内一动点到两定点的距离为负常数时，动点的轨迹是什么？这个负常数跟椭圆方程中的a,b有什么关系？特别地，此常数为1时，动点的轨迹是圆吗？主动讲解讨论圆与椭圆的关系，如何通过拉伸或压缩，将圆变成椭圆平面内一动点到两定点的斜率之积为负常数时，点的轨迹可能是什么？双师导学知识梳理：定义法求点的轨迹方程常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹；②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹；③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹；注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支；④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹；知识梳理：相关点法求轨迹方程的步骤动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点Q(x',y')的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x',y'表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；(3)用x，y表示x0，y0；(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；(5)化简方程为最简形式．知识梳理：直接法求轨迹方程的步骤如果动点M运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)；(2)列出点M满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．聚焦核心1.三种求点的轨迹方程的方法2.斜率之积为负常数时，点的轨迹强化反馈1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1C.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1答案B解析平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10>6，所以M的轨迹满足椭圆的定义，且a＝5，c＝3，则b＝4，椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.2.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.线段 D.直线答案B解析设椭圆的右焦点为F2，由题意，知|PO|＝eq\f(1,2)|MF2|，|PF1|＝eq\f(1,2)|MF1|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆.3.已知点B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为________.答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)解析由已知得|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，则|AB|＋|AC|＝10.由椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆的一部分，且2a＝10，2c＝8，即a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点共线，不满足题意，所以动点A的轨迹方程是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0).4.已知A(2，1)，B(2，－1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m，n∈R，且m2＋n2＝eq\f(1,2)，则动点P的轨迹方程是________.答案eq\f(x2,4)＋y2＝1解析设动点P(x，y)，∵点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m，n∈R，∴(x，y)＝(2m＋2n，m－n)，∴x＝2m＋2n，y＝m－n，∴m＝eq\f(x＋2y,4)，n＝eq\f(x－2y,4)，∵m2＋n2＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\r