机电一体化系统设计-机电一体化系统建模

机电一体化系统建模本章内容CONTENTS

机电一体化系统建模方法1

机械系统模型2

电路系统模型3

液压与气压系统模型4

机电一体化系统建模实例53

6.1机电一体化系统建模方法

6.1.1建模基本步骤

数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图形等对实际问题本质属性的抽象而又简洁的描述，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略等。机电一体化系统的建模基本步骤包括：模型准备、模型假设、建立模型、模型求解、模型分析等。4

6.1.1建模基本步骤

图6-1机电一体化系统的建模步骤5

6.1.1建模基本步骤（1）建模准备

在建立数学模型前，首先要了解机电一体化系统对象，包括它的应用背景，环境、工作要求、需要解决的问题；掌握机电一化对象的各种信息，有哪些影响因素；掌握它的输入与输出，有那些可知的变量。用数学语言来描述所研究的问题，并且要求符合数学理论，符合数学习惯，要清晰准确。6

6.1.1建模基本步骤（2）模型假设

由于机电一体化系统的实际运行过程比较复杂，很难建立与实际情况完全一致的数学模型。在实际应用中，通常对机电一体系统的结构参数进行简化，忽略一些次要因素等，这样使数学模型变得简单。（3）建立模型

在假设的基础上，选择适当的数学工具来描述输入与输出之间的数学关系，建立相应的数学表达式。机电一体化系统的建模要运用到运动学、动力学、电路、力学、流体力学等基本定律，借助于数学工具描述输入与输出之间的相互关系。7

6.1.1建模基本步骤（4）模型求解利用获取的数据资料，对模型的所有参数进行计算或近似计算。对于简单的数学模型可以直接求解，对复杂实际问题而言，有可能采用解析法求解，但更多的是采用数值法求解。（5）模型分析

对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。通过分析对模型的求解结果精确性、可行性、可实施性进行了解。

8

6.1.1建模基本步骤（6）模型检验

将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。（7）模型应用

建立机电一体化系统模型的目的是为了更好的应用它，通过数学模型求解，获得到可信的数据，据此对机电一体化系统的性能进行分析、改进、优化，获得更好的性能。9

6.1.2建模基本方法图6-2机电一体化系统的建模方法10

6.1.2建模基本方法1.机理分析法机理是指事物发生变化的原因或道理。机理分析法是根据客观事物的特性，分析其内部的机理，分清因果关系，找出反映内部机理的规律，在适当抽象的条件下，利用合适的数学工具得到描述事物属性的建模方法。机理分析法建模常用基础方法有常微分方程、偏微分方程、逻辑方法、比例方法、代数方法等。机理分析法又分为封闭矢量法、D-H法、拉格朗日法、凯恩方程、动力学普遍方程等方法。11

6.1.2建模基本方法2.试验测试法

试验测试法是指如果不能得到事物的特征机理，采用某种方法测试或实验得到一些输入与输出之间的试测结果数据，即求解问题的部分数据，再利用数理统计知识对数据进行处理，从而得到控制对象数学模型的建模方法。测试法建模又称为系统辨识，分为经典系统辨识和现代系统辨识两大类。12

6.2.1运动学模型1.平面运动机构

封闭矢量法是机械原理中用于分析平面运动机构的一种方法，它可以分析机构的运动，确定机构中其他构件上某些点的位移、速度、加速度和角位移、角速度、角加速度等运动规律。

图6-3所示为平面四连杆机构，四个连杆分别定义为矢量

、

、

、

，因此四连杆机构的闭环矢量方程为

（6-1）

6.2机械系统模型13

6.2.1运动学模型图6-3平面四连杆机构14

6.2.1运动学模型

建立矢量投影方程，将式（6-1）式中矢量分别沿x、y方向分解，

分别代表四根杆的长度，

分别代表为杆

与X轴夹角，得到闭环矢量方程的分量表达式为

对式（6-2）求一阶和二阶导数，得速度与加速度方程，分别用矩阵形式表示为（6-2）（6-3）15

6.2.1运动学模型

（6-4）图6-4为四杆机构运动学仿真的流程框图。图6-4闭环矢量法求解16

6.2.1运动学模型2.机器人运动学模型

工业机器人是典型的机电一体化系统，其结构一般为多关节结构，机器人运动是研究末端执行器或夹持器的空间运动与各个关节运动之间的关系。它包括正运动和逆运动求解，正运动求解是已知关节运动求手的运动，逆运动求解是已知手的运动求关节运动。机器人运动学的一般模型为（6-5）17

6.2.1运动学模型2.机器人运动学模型

工业机器人正运动问题求解常用D-H法。首先要在机器人的每个连杆上都固定一个坐标系，再用4×4的齐次变换矩阵来描述相邻两连杆的空间关系，通过依次变换最终推导出末端执行器相对于基坐标系的位姿，从而建立机器人的运动学方程。D-H矩阵由4个矩阵构成，即旋转矩阵R、位置矩阵P、透视矩阵O、比例变换I。D-H法建立运动方程步骤包括建立坐标系、确定参数、建立相邻杆件的位姿矩阵和建立方程四步。18

6.2.1运动学模型

图6-5所示为三自由度平面关节机器人，由杆R1、R2、R3及手组成，杆的长度为r1，r2，r3，要求采用D-H法建立机器人的运动方程。（a）结构示意图

（b）第一种坐标系

（c）第二种坐标系图6-5三自由度平面关节机器人19

6.2.1运动学模型采用D-H法建立运动方程，首先建立坐标系，将机器人手部在空间的位姿用齐次坐标变换矩阵描述出来，然后建立机器人的运动学方程。具体步骤如下：（1）建立坐标系机座坐标系建立原则为：y轴垂直，x轴水平，方向指向手部所在平面。杆件坐标系{i}的建立原则为：z轴与关节轴线重合，x轴与两关节轴线的距离连续重合，方向指向下一个杆件。20

6.2.1运动学模型

杆件坐标系有两种方法，第一种方法是z轴与i+1关节轴线重合，如图6-5（b）所示；第二种方法是z轴与i关节轴线重合，如图6-5（c）所示。在本例中按第一种坐标系建立，杆件坐标系｛3｝与手部坐标系｛h｝重合。（2）确定关节参数对于该机器人确定的参数有：相邻坐标系x轴之间的距离，相邻坐标系x轴之间的夹角，相邻坐标系z轴之间的距离，相邻坐标系z轴之间的夹角。

21

6.2.1运动学模型

（3）建立相邻杆位姿矩阵

根据各个杆件之间的关系，建立位姿矩阵，具体步骤如下:表6-1关节参数22

6.2.1运动学模型

（6-6）（6-7）（6-8）23

6.2.1运动学模型将式（6-6）、式（6-7）、式（6-8）组合到一起得到机器人的运动方程为式中：（6-9）

24

6.2.1运动学模型公式（6-9）用矩阵形式表示为（6-10）

25

6.2.2动力学模型

动力学是理论力学的一个分支，它主要研究作用于物体的力与物体运动的关系，研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。动力学的研究以牛顿运动定律为基础，基本内容包括质点动力学、质点系动力学、刚体动力学，达朗伯原理等。1.基本原理与方法(1)牛顿第二定律

（6-11）26

6.2.2动力学模型（2）动力学普遍方程

（6-13）（6-12）（6-14）（6-15）27

6.2.2动力学模型（3）牛顿-欧拉方程

欧拉方程是欧拉运动定律的定量描述，该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩

与角加速度

的关系式，可简写成式中：

为刚体的角速度，

为刚体的角加速度；

为刚体上的作用力矩；

为刚体相对于原点通过质心C并与刚体固连的刚体坐标系的惯性张量。

（6-16）28

6.2.2动力学模型（4）拉格朗日方程拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，它是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。拉格朗日方程表示为式中：为拉格朗日函数；为广义坐标；为广义力；。

（6-17）29

6.2.2动力学模型2.机械转动系统

(1)转动负载基本类型如图6-6所示，

为输入力矩；

为输入、输出转角；

为转动惯量；

为粘性阻尼系数；

为弹簧扭转刚度。（a）惯性负载

（b）阻尼负载

（c）弹性负载图6-6机械转动负载基本类型30

6.2.2动力学模型惯性负载数学模型为阻尼负载数学模型为弹性负载数学模型为（6-18）（6-19）（6-20）

6.2.2动力学模型（2）丝杠螺母传动

图6-7为丝杠螺母传动系统，丝杠的输入转矩为

，转角为

，丝杠转速为

，工作台重为

，粘性阻尼系数为

，丝杠的转动惯量为

，下面建立它的数学模型。

图6-7丝杠螺母传动机构32

6.2.2动力学模型通过计算得到工作台折算到丝杠上的等效转动惯量为

工作台直线运动阻尼折算到丝杠上的等效阻尼为弹性负载数学模型为对上式拉普拉斯变换，整理得到的传递函数为（6-21）（6-22）（6-23）（6-24）

6.2.2动力学模型（3）齿轮传动

图6-8为一齿轮传动系统，已知输入转矩为

，转角为

，、

、

、

分别为联联轴器、齿轮

、齿轮

、

负载的转动惯量，

为齿轮传动比，

、

为I轴与II轴扭转刚度，建立它的数学模型。（a）传动简图

（b）等效图图6-8齿轮传动3334

6.2.2动力学模型对于齿轮，为它的输出转矩，对于齿轮，为它的输入转矩。根据传动关系，传动系统的运动方程为

工作台直线运动阻尼折算到丝杠上的等效阻尼为（6-25）（6-26）35

6.2.2动力学模型轴II折算到I轴的等效刚度系数为则系统的运动方程为对式（6-28）进行拉普拉斯换，得到系统的传递函数为（6-27）（6-29）（6-28）36

6.2.2动力学模型根据式（6-29）画出传动系统的方框图为系统传递函数为图6-9齿轮传动系统方框图（6-30）

6.2.2动力学模型（4）同步齿形带传动

图6-10为打印机中的步进电动机驱动系统简化模型，采用同步齿形带驱动，

、

分别为同步齿形带的弹性和阻尼系数，

为步进电动机输出转矩，

和

分别表示步进电动机转子和负载的转动惯量，

和

分别表示输入轴和输出轴角位移。37图6-10打印机同步齿形带传动简图38

6.2.2动力学模型输入轴的动力方程为输出轴的动力方程为对式（6-31）和式（6-32）拉普拉斯变换，则有（6-31）（6-32）（6-33）39

6.2.2动力学模型根据式（6-33）可以画出系统方框图，如图6-11所示。对系统方框图进行化简，得到系统的传递函数为（6-34）图6-11同步齿轮形的系统方框图

6.2.2动力学模型3.机械移动系统

（1）负载基本类型

机械移动负载类型也分为质量负载、阻尼负载、弹性负载几种形式，分别建立

它们的运动微分学方程。40（a）质量负载

（b）阻尼负载

（c）弹性负载图6-12机械移动负载基本类型41

6.2.2动力学模型惯性负载数学模型为阻尼负载为数学模型为阻尼负载为数学模型为（6-35）（6-36）（6-37）

6.2.2动力学模型（2）组合形式图6-13所示为组合机床动力头铣削端面时的加工示意图。将动力头简化一个弹性系系统，为动力滑台的刚度，F为铣削的切削力；液压缸简化成一个阻尼系统，粘性阻尼系数为C，建立它的数学模型。42

图6-13动力滑台结构图

图6-14动力滑台简化模型43

6.2.2动力学模型根据牛顿第二定律，建立滑台的运动方程为对上式进行拉普拉斯变换，有系统的传递函数为（6-38）（6-39）（6-40）

6.2.2动力学模型图6-15所示为汽车的支撑系统简化模型，为汽车质量，为车轮质量，为汽车减振阻尼系数，为减振器弹性刚度，为轮胎弹性刚度，求输出、随F变化的关系，建立它的数学模型。44图6-15汽车支撑系统的简化力学模型45

6.2.2动力学模型根据支撑系统的力学模型，分别对、建立运动微分方程为

对式（6-41）两式拉普拉斯变换，则有（6-41）（6-42）46

6.2.2动力学模型根据式（6-42）画出系统框图，如图6-16所示。对方框图进行简化，可得系统的传递函数为

图6-16汽车支撑系统方框图（6-43）（6-44）

6.2.2动力学模型

图6-17所示为一两关节机械手，

和

为两关节的驱动力矩，

和

分别为连杆的质量（以连杆末端的点质量表示），

和

分别为两杆的长度，

和

分别为两杆的夹角，建立该机械手动力学数学模型。采用拉格朗日法建立该机械手的动力学模型。选择机械手的关节转角、作为广义坐标；选择杆的力矩为、广义力。47图6-17两关节机械手

图6-18广义坐标系48

6.2.2动力学模型杆1的动能和势能为

根据杆1杆2的关系，求得杆2质心坐标为质心分速度（方程两边同时对时间t求导数）（6-45）（6-46）（6-47）49

6.2.2动力学模型求得质心速度为

杆2的动能为杆2的势能

为写出拉格朗日函数为（6-48）（6-49）（6-50）（6-51）50

6.2.2动力学模型拉格朗日方程为

对拉格朗日函数进行求导，求得、、、，代入式（6-52），求出机器人运动微分方程为（6-52）（6-53）（6-54）51

6.2.2动力学模型将式（6-53）、（6-54）改写成以下形式

（6-52）52

6.3电路系统模型

6.3.1基本定理

在电路系统中建立数学模型通常运用基尔霍夫定律建立系统微分方程，再进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数。

基尔霍夫第一定律又称基尔霍夫电流定律，简记为KCL，是电流的连续性在集总参数电路上的体现，其物理背景是电荷守恒公理。基尔霍夫电流定律是确定电路中任意节点处各支路电流之间关系的定律，因此又称为节点电流定律，定义为

（6-56）53

6.3电路系统模型

6.3.1基本定理

基尔霍夫第二定律又称基尔霍夫电压定律，简记为KVL，是电场为位场时电位的单值性在集总参数电路上的体现，其物理背景是能量守恒。基尔霍夫电压定律是确定电路中任意回路内各电压之间关系的定律，因此又称为回路电压定律。表示为式中：为第支回路的电流；为j和k回路之间的电感；为第j条回路的电动势；为总电阻；为总电容；为第j条回路的电荷。

（6-56）541.RC电路图6-19为RC有源网络，由一个电阻和一个电容组成，输入电压为，输出电压为，建立它的数学模型。由于输入电压将消耗在电阻和电容上，有

（6-58）

6.3.2基本电路55将上式进行拉普拉斯变换，得根据式（6-59）画出RC网络的方框图，如图6-20所示。图6-20（a）与图6-20（b）分别对应式（6-59）中的两个微分方程，图6-20（c）为RC网络方框图。

（6-58）

6.3.2基本电路（a）

（b）

（c）图6-20RC网络方框图56对式（6-59）进行整理或从方框图6-20（c）整理，得到传递函数为图6-21（a）为RC无源网络，利用复阻抗概念得到如下关系：

（6-60）

6.3.2基本电路（6-61）57由以上关系可得到系统方框图，如图6-21（b）所示。a）RC无源网络

（b）方框图图6-21RC无源网络图6-21（a）为RC无源网络，利用复阻抗概念得到如下关系：

6.3.2基本电路（6-62）582.RLC串联电路图6-22（a）为RLC串联电路，输出电压与输入电压关系为对式（6-63）进行拉普拉斯变换，有对式（6-64）进行整理，得到RLC串联电路的传递函数为

（6-65）

6.3.2基本电路（6-63）（6-64）59根据式（6-65），画出系统方框图如图6-22（b）所示。

6.3.2基本电路

（a）RLC网络

（b）系统方框图

图6-22RLC串联网络603.比例-积分调节器图6-23所示为比例-积分调节器电路图，运算放大器工作时，输入电压，电流，所以，输入电路与输出电路复数阻抗和分别为对输入与输出信号进行拉普拉斯变换，则有因此，放大器传递函数为

6.3.2基本电路

（6-66）（6-67）（6-68）式中:，。61根据式（6-65），画出系统方框图如图6-22（b）所示。

6.3.2基本电路（a）调节器电路

（b）方框图图6-23比例-积分调节器624.比例-微分调节器图6-24所示为比例微分调节器电路图，根据复阻抗比，求出系统的传递函数为

6.3.2基本电路（6-69）图6-24比例-积分调节器635.滤波器图6-25所示为一种有源带通滤波器，各支路电流分别为、、、，按复数阻抗比关系，可得到如下方程组：在式（6-70）中消去和，经整理得到传递函数为

6.3.2基本电路（6-70）64

6.3.2基本电路（6-71）图6-25有源带通滤波器651.直流伺服电动机图6-26所示为电枢控制式直流电动机的等效电路图，该系统由一个电动机和一套由转动惯量及旋转阻尼组成。电动机电枢电阻和电感不可忽略，考虑串联在电回路中。机械系统中转动惯量与阻尼具有相同的运动速度，按并联处理。

6.3.3伺服电动机图6-26电枢控制式直流电动机的等效电路66

设电动机系统的输入电压为

，输出为电动机转子转角为

，

为通过电枢绕阻电流，

为电动机感应电动势，

为电动机转矩。在电动机的电枢中，根据基尔霍夫电压定律，则有设电动机的力矩常数为，由前面直流电动机的特性可知，电动机输出力矩与电枢输入电流成正比，有

6.3.3伺服电动机（6-73）（6-72）67

设电动机的反电动势常数为

，则电动机感应电动势与电动机的磁通常量成正比，则感应电动势为

电动机负载有电动机转子本身的转动惯量以阻尼负载，设电动机负载折算到电动机轴粘性阻尼系数为，电动机转子转动惯量为，根据牛顿第二定律，电动机转子的运动微分方程为将式（6-73）代入式（6-75），有6.3.3伺服电动机（6-75）（6-74）（6-76）68将式（6-74）、（6-75）代入式（6-72），则有

对式（6-77）进行拉普拉斯变换，电动机的传递函数为6.3.3伺服电动机（6-75）（6-74）692.交流伺服电动机交流电动机的形式较多，有同步与异步之分，异步电动机又分为绕线式和笼型，同步电动机又分为永磁式和励磁式。不同类型的交流电动机动的数学模型不相同，但是各类交流电动机的转子运动方程都是一样的，即

式中:为转子角速度

，

为转子角位移，

为电动机的极对数，

为转动部分的转动惯量，

为机械阻尼系数。6.3.3伺服电动机（6-79）70图6-27所示是一台凸极式三相同步电动机的定、转子绕组分布示意图，定子三相绕组分别用A、B、C表示，转子上有励磁绕组f，定子A相绕组轴线与转子d轴方向夹角为，转子以角速度逆时针旋转。6.3.3伺服电动机图6-27凸极式三相同步电动机示意图71三相同步电动机各绕组的电压平衡方程为式中：为定子各相绕组的磁链；-转子励磁绕组的磁链；-定子每相绕组的电阻；-励磁绕组的电阻。6.3.3伺服电动机（6-79）72对于定子三相绕组和转子励磁绕组，磁链方程为式中，定子各相绕组的自感和定子各相绕组间的互感

均为转子角位移θ的函数，即6.3.3伺服电动机（6-80）73式中：和分别为定子绕组自感和互感的恒值分量；和分别为定子绕组自感和互感二倍频分量的幅值。6.3.3伺服电动机（6-81）74为转子励磁绕组的自感，当不计齿槽效应时，定子铁心内圆为光滑圆柱，故无论转子转到什么位置，转子磁动势所遇磁阻不变，因而的大小与转子位置无关，为常值。是励磁绕组与定子绕组间的互感，按气隙磁场为正弦分布的假定，则有上式中，为励磁绕组轴线与定子相绕组轴线重合时的互感。6.3.3伺服电动机（6-82）75可见，三相同步电动机的电压方程（6-80）也是一组变系数的微分方程，该方程可以简化为上式中，

分别为电压向量、电流向量和磁链向量。分别为电阻矩阵和电感矩阵，分别为6.3.3伺服电动机（6-85）（6-84）76电动机的电磁转矩为式中，电感矩阵的偏导数中，仅，其余元素仍为转子角位移θ的函数。

将式（6-79）与式（6-87）联立方程，消去中

，则得到电动机角位移与电动机绕组电流之间的方程为6.3.3伺服电动机（6-87）（6-86）（6-88）776.4液压与气压系统模型6.4.1阀控液压缸

阀控液压缸是指用调节滑阀输出流量的大小和方向来控制液压缸的运动速度和方向的液压传动系统，具有响应快、控制精度高的优点。阀控液压缸由滑阀和液压缸组成，按阀和缸的结构形式不同分为对称与非对称性缸、对称与非对称性阀。786.4.1阀控液压缸在此介绍其中一种类型，即对称阀-非对称缸的数学模型，系统组成如图6-28所示。图6-28阀控液压缸原理图796.4.1阀控液压缸由滑阀的基本公式可知，液压缸两腔的流量连续性方程分别为式中，为流量系数；为滑阀窗口孔宽度；为滑阀进口压力；为液压缸无杆腔进口压力；为液压缸有杆腔出口压力；为滑阀出口压力；为液压油密度。稳态时，，，，由式（6-89）可以得到（6-89）806.4.1阀控液压缸

令，可推出滑阀输出的负载流量与负载压力的关系为（6-90）（6-91）（6-92）816.4.1阀控液压缸对式（6-92）进行线性化，则式中，为流量增益；为流量-压力系数。假设阀与液压缸的连接管道对称，管道中的压力损失和管道动态可以忽略；液压缸每个工作腔内各处压力相等，油温和体积弹性模量为常数；液压缸内外泄漏均为层流流动。根据流量计算公式，液压缸进口流量与出口流量分别为（6-93）826.4.1阀控液压缸式中：为是有效体积弹性模量；为是液压缸无杆腔的容积；为液压缸有杆腔的容积；为压缸内泄漏系数；为液压缸外泄漏系数。液压缸运动时，工作腔的容积可写为式中：为是液压缸无杆腔的初始容积；为是液压缸无杆腔的初始容积；为液压缸无杆腔面积；为液压缸有杆腔面积。（6-94）（6-95）6.4.1阀控液压缸负载流量连续性方程为对（6-91）进行求导得如果忽略内泄漏流量和外泄漏流量，再假设两腔的压缩流量为，因为

，，在此忽略与影响，则有（6-96）（6-97）6.4.1阀控液压缸将式（6-95）、（6-97）代入（6-96），并进行简化，得式中：；为液压庆缸总泄漏系数，液压缸和负载的力平衡方程为（6-98）（6-99）（6-100）6.4.1阀控液压缸对式（6-93）、（6-99）、（6-100）进行拉普拉斯变换，可得到三个基本方程为由公式（6-101）可以画出对称阀-非对称缸的方框图，如图6-29所示，为总压力-流量系数，；；。由系统方框图6-29，得到对称阀–非对称缸的传递函为（6-101）6.4.1阀控液压缸如果负载不是弹性负载和阻尼情况下，即=0，，公式（6-102）简化为式中：为系统固有频率，；为液压阻尼比，。

（6-102（6-103）6.4.1阀控液压缸

图6-29阀控液压缸的系统方框图886.4.2阀控液压马达

阀控液压马达是利用阀控制液压马达的转速、位移或力矩一种控制系统。在此以直动式比例方向阀为例控制液压马达的运行，控制原理如图6-30所示。工作时比例电磁铁直接推动方向阀阀芯产生位移，其位移量的大小与电磁铁控制电压值有关，改变电磁铁控制电压的大小可改变比例方向阀开口的大小，以期得到所需的转速度、角位移或力矩。直动式比例方向阀控液压马达有工作原理图如图6-31所示，为流入液压马达左腔的流量，为由液压马达右腔流回油箱的流量，为供油流量，为液压马达左腔液体的压力，为液压马达右腔液体的压力，为供油压力，为液压马达左腔的有效容积，为液压马达右腔的有效容积。896.4.2阀控液压马达图6-30阀控液压马达控制原理图

图6-31液压原理图906.4.2阀控液压马达（1）直动比例阀模型

在工作区域内，电磁铁推力的近似线性表达式为式中：为电磁铁的电流力增益，；为电磁铁的位移力增益，；为电磁衔铁位移。

比例电磁铁控制线圈的电压平衡方程为式中:为控制电压；为线圈电感;为线圈内阻；为放大器内阻；为线圈感应反电动势系数。（6-104）（6-105）916.4.2阀控液压马达对式（6-105）进行拉普拉斯变换，有令，，对式（6-106）进行整理得阀芯受力平衡方程式为式中：为阀芯-衔铁组件的质量；为阻尼系数；为衔铁组件的弹簧刚度；为稳态液动力。（6-106）（6-107）（6-108）926.4.2阀控液压马达稳态液动力的线性化增量表达式为式中：为流量增益；为流量-压力系数。把式（6-104）和式（6-109）代入式（6-108），则有对式（6-110）进行拉普拉斯变换，有令，对式（6-111）进行整理得（6-109）（6-110）（6-111）（6-112）936.4.2阀控液压马达（2）阀控液压马达模型比例阀流量方程为式中：为流量系数；为滑阀窗口孔宽度；为为液压油密度。其流量连续方程为式中：

；

。对式（6-114）进行拉普拉斯变换，则有（6-113）（6-114）（6-115）946.4.2阀控液压马达液压马达流量连续方程为式中:为有效体积弹性模量；为液压内泄漏系数；为液压马达外泄漏系数。式中:为工作时进油腔初始容积；为马达角位移。对

求导可得式中:为马达每弧度的体积排量；为马达转速。（6-116）（6-117）（6-118）956.4.2阀控液压马达将式（6-118）代入式（6-116），可得对式（6-119）式取增量，设为定值对式（6-120）进行拉普拉斯变换，可得由式（6-115）和式（6-121），经整理后得（6-119）（6-120）（6-121）（6-122）966.4.2阀控液压马达液压马达力矩平衡方程为式中：为马达输出力矩；为外干扰力矩;为马达输出轴上的等效转动惯量；为粘性阻尼系数；为负载压力，，为常数，。由式（6-123）可得令，则有（6-123）（6-124）（6-125）976.4.2阀控液压马达由式(6-122)和式(6-124)，得令，则式（6-126）可表示为（6-126）（6-127）986.4.2阀控液压马达由式（6-107）、式（6-112）、式（6-125）和式（6-127）可得阀控液压马达的系统方框图如图6-32所示。图6-32阀控液压马达系统的框图996.4.3泵控液压马达

泵控液压马达是通过改变泵的排量即改变泵的输出功率来控制传送给负载的动力。图6-33所示为采用变量泵控制液压马达的原理图，系统由变量泵、先导式溢流阀、液压马达、单向阀等组成。1–液压泵；2–液压马达；3–先导式溢流阀；4–单向阀；5–滤油器；6–补油泵图6-33泵控马达系统1006.4.3泵控液压马达根据变量泵的工作原理，泵的流量连续方程式中：为泵排量；为泵内泄漏系数；为泵外泄漏系数；为高压侧压力；为低压侧压力。通常认为补油压力为常数，为工作时的低腔压力，即=常数，将式（6-128）拉普拉斯变换为式中，为变量泵斜盘倾角系数；为变量泵流量增益，；为泵的总泄漏系数，。（6-128）（6-129）1016.4.3泵控液压马达

液压马达高压腔的流量连续性方程为对式（6-130）进行拉普拉斯变换，有式中：

为马达外泄漏系数；

为马达内泄漏系数；

为马达轴转角；

为马达排量；

为泵和马达的工作腔以及连接管道的总容积；

为马达的总泄漏系数，

。马达和负载的转矩平衡方程为（6-130）（6-131）（6-132）1026.4.3泵控液压马达对式（6-132）进行拉普拉斯变换，有式中，为马达和负载折算到马达轴上的总惯量；为马达和负载折算到马达上的总粘性阻尼系数；为负载刚度；为作用在马达轴上的任意外负载转矩。公式（6-129）、式（6-131）、式（6-133）是泵控马达系统所列写的基本方程，由此可以画出泵控马达系统的方框图如图6-34所示。（6-133）1036.4.3泵控液压马达在图6-34中，

为系统总泄漏系数，

。通常阻尼系数比大得多，假设弹性负载，则由方框图得图6-34液压泵控马达系统的方框图1046.4.3泵控液压马达式中：为阻尼比；为液压固有频率。以液压泵的摆角作为输入的传递函数为式中：,（6-134）（6-135）1056.4.3泵控液压马达

如果以负载转矩为输入的传递函数为（6-136）1066.4.4阀控气缸图6-35所示为阀控气缸原理图，系统由两个比例伺服阀、单出杆气缸、负载等组成。气动位置伺服系统是利用比例阀将其连续的电信号输人转换成连续的气动信号输出,进而控制进入或排出气缸两腔的空气质量。

图6-35阀控气缸原理图1076.4.4阀控气缸

压力型比例阀的质量流量是比例阀的输人电压

和输出压力

的函数，其流量方程可以描述为

令，，对式（6-137）进行拉普拉斯变换，有式中：

为比例阀的质量流量，当某一比例阀的输人电压固定时，=0（6-137）（6-138）1086.4.4阀控气缸

根据热力学第一定律和理想气体状态方程可得气缸容腔的压力微分方程为

式中：r为气体比热比；R为气体常数；T为气体绝对温度；A为容腔横截面积；x为活塞杆的位移，规定向外运动为正方向。在工作点处对上式作拉普拉斯变换，可得式中：和分别代表在工作点k处气缸容腔的压力和体积。（6-139）（6-140）1096.4.4阀控气缸式中：

为阻尼系数；

为弹性刚度。对式（6-141）进行拉普拉斯变换，有根据方框图,化简相关系数可以推导出由下式描述的气动位置伺服系统的数学模型为式中：、、为替换后的系数。（6-141）（6-142）（6-143）1106.4.4阀控气缸

由以上系统动态特性基本方程的拉普拉斯变换，可以画出气动位置伺服系统的结构方框图，如图6-36所示。图6-36阀控气缸系统方框图1116.4.5电液伺服阀电液伺服阀的类型较多，在此以力反馈两级电液伺服阀为例介绍它的数学模型建立过程。图6-37为力反馈两级电液伺服阀的工作原理图，主要由力矩马达与滑阀组成。图6-37电液伺服阀工作原理图1126.4.4电液伺服阀1.力矩马达运动方程（1）电压平衡方程当放大器工作时，输入每个线圈输入电压为式中：

为放大器控制电压；

为放大器放大系数。

两个线圈回路的电压平衡方程式中：

为线圈共用边的阻抗；

为每个线圈的电阻；

为每个线圈回路中放大器内阻；

为每个线圈的匝数；

为衔铁磁通。（6-144）（6-145）1136.4.4电液伺服阀将上式中两个等式相减，则有线圈电流衔铁的磁通为将式（6-147）代入式（6-146）中，有令，，则有（6-147）（6-146）（6-148）（6-149）1146.4.4电液伺服阀将式（6-149）进行拉普拉斯变换为将式（6-150）改写为式中：（2）衔铁挡板组件的运动方程力矩马达输出的电磁力矩包括电磁弹簧力矩和中位电磁力矩。中位电磁力矩即衔铁处于中位时，控制产生的电磁力矩。电磁弹簧力矩为衔铁偏离中位时，气隙发生变化产生的附加电磁力矩。（6-150）（6-151）1156.4.4电液伺服阀力矩马达输出的电磁力矩方程为电磁力矩作用下，衔铁挡板组件的运动方程为式中：为衔铁挡板组件的转动惯量；为粘性阻尼系数；为弹簧管刚度，为喷嘴对挡板的液流力产生的负载力矩；为反馈杆变形对衔铁挡板组件产生的负载力矩。作用在挡板上的液流力对衔铁挡板组件产生的负载力矩为式中：为喷嘴孔的面积，为两喷嘴腔压力差，为喷嘴中心至弹簧管回转中心的距离。（6-154）（6-152）（6-153）1166.4.4电液伺服阀作用在反馈杆变形对衔铁挡板组件产生的负载力矩为式中：为反馈杆小球中心到喷嘴中心的距离，为反馈杆刚度。将式（6-152）、式（6-153）、式（6-154）、式（6-155）联立，有将上式进行拉普拉斯变换，得衔铁挡板组件的力矩平衡方程为（6-155）（6-156）（6-157）1176.4.4电液伺服阀即有式中：为力矩马达的总刚度，，因此，可得把式整理成标准形式为式中：为力矩马达固有频率，；为阻尼系数，。（6-158）（6-159）（6-160）（6-161）1186.4.4电液伺服阀由式（6-151）和式（6-161），得到力矩马达环节的方框图如图6-38所示。图6-38力矩马达方框图1196.4.4电液伺服阀2.挡板位移与衔铁转角的关系根据挡板结构，当衔铁转角转过角时，则挡板位移为式中：为旋转半径。因此，上述力矩马达环节的方框图变换后如图6-39所示。图6-39变换后的力矩马达方框图（6-162）1206.4.4电液伺服阀3.喷嘴挡板至滑阀的传递函数认为喷嘴挡板阀的综合特性是线性的，其线性化方程为同时，忽略滑阀的内外泄漏、摩擦力和失灵区，近似认为滑阀上的液动力是线性变化的，其稳态液动力为根据上述假设，考虑液体可压缩性时，滑阀运动所需的流量为式中：为滑阀处于中位时左右腔的容积。（6-163）（6-164）（6-165）1216.4.4电液伺服阀阀芯上作用的力平衡方程为

为简化，忽略实际数值较小的量，即，，则有联立式（6-165）、式（6-166）、式（6-167），得式中：,,（6-166）（6-167）1226.4.4电液伺服阀因此，得传递函数为由于，很小，近似为，则有因此，得到伺服阀的方框图如图6-40所示。（6-168）（6-169）1236.4.4电液伺服阀

图6-40伺服阀系统方框图1246.5机电一体化系统建模实例6.5.1数控机床进给机构建模图6-41所示为数控机床工作台的传动系统，由伺服电动机、减速器、丝杠螺母及工作台组成。伺服电动机运动通过连轴器、减速器及丝杠螺母机构副驱动工作台做直线运动。设减速器为两级传动，总传动比为

，、、为分别为I、II、III轴的转动惯量，为电动机转子的转动惯量，、、分别为I、II、III轴的扭转刚度，为联轴器的扭转刚度，为丝杠螺母副的轴向刚度，为工作台质量，为工作台与导轨之间的粘性阻尼系数，T1、T2、T3分别为I、II、III轴的输入转矩，为电动机输出转矩，为电动机转子角位移。1256.5.1数控机床进给机构建模

图6-41数控机床工作台传动系统1266.5.1数控机床进给机构建模

在建立机电一体化系统数学模型过程中，经常会用转动惯量、刚度系数、阻尼系数等基本物理量。为了方便建模，通常采取的方法是把整个系统中的物理量折算其中的一个部件上，以它为中心建立系统的动力学方程。因此，在建模前需要进行基本物理量的等效折算。1.转动惯量等效折算转动惯量等效折算就是将传动系统中I、II、III轴上所有零件以及工作台质量都折算到I轴上，作为系统的等效转动惯量。设、、分别为I、II、III轴的负载转矩；、、分别为I、II、III轴的角速度；为工作台的直线位移。1276.5.1数控机床进给机构建模根据牛顿第二定律，I轴的转矩平衡方程为II轴的转矩平衡方程为由I、II两轴的传动关系可知，II轴的输入转矩

是由I轴输出转矩

传递得到的，且与传动齿轮的转速成反比，即有

式中：

为I轴与轴II的传动比，且有

。（6-171）（6-172）（6-173）1286.5.1数控机床进给机构建模将式（6-172）代入（6-173）中，经整理得又根据II与III轴的传动关系，III轴的力矩平衡方程为同理，又有式中：为I轴与轴II的传动比，。（6-174）（6-175）（6-176）1296.5.1数控机床进给机构建模将式（6-175）代入式（6-176），经整理得根据能量相等原则，在此不考虑能量损失，则丝杠转动一转所做的功应等于工作台前移动一个导程时惯性力所做的功，则有式中：为丝杠导程。如果齿轮

旋转一圈，工作台前进一个导程

，根据两者传动关系，则有（6-177）（6-178）（6-179）1306.5.1数控机床进给机构建模将式（6-179）求导后，代入式（6-178）得依次将式（6-180）代入式（6-177），式6-177）代入式（6-174），式（6-174）代入式（6-171），整理得

I、II、III轴部件及工作台等效到I轴上的总的转动惯量为（6-180）（6-181）（6-182）1316.5.1数控机床进给机构建模2.粘性阻尼系数等效折算在机械系统的数学建模过程中，粘性阻尼同样需要折算到某一部件上，求出系统的当量阻尼系数。其基本方法是将摩擦阻力、流体阻力及负载阻力折算成与速度有关的粘性阻尼力，再利用摩擦阻力与粘性阻尼力所消耗的功相等这一原则，求出粘性阻尼系数，最后进行相应的当量阻尼系数折算。在本例中只考虑工作台运动之间的摩擦，其它各环节的摩擦损失相对较小，在此忽略不计。当只考虑阻尼力时，根据工作台和丝杠之间动力关系，即丝杠旋转一周所做的功等于工作台前进一个导程时其阻尼力所做的功，有

1326.5.1数控机床进给机构建模根据它们的传动关系以有将式（6-179）、式（6-183）代入式（6-185），并整理得式中：为工作台折算到I轴上的粘性阻尼系数。

（6-183）（6-186）（6-184）（6-185）1336.5.1数控机床进给机构建模3.刚度折算机械系统中各元件在工作时受到力或力矩作用，将产生伸长(压缩）或扭转等弹性变形，这些变形将影响整个系统的精度和动态性能。在机械系统的数学建模中，需要将其折算成相应的当量扭转刚度和弹性刚度。在本例中，将所有轴的扭转角折算到I轴上，丝杠与工作台之间的轴向弹性变形会使III轴产生一个附加扭转角，所以也要折算到轴I上，然后求出折算到轴I上的系统等效刚度。

1346.5.1数控机床进给机构建模(1)轴向刚度折算当系统受到载荷作用时，丝杠螺母副和螺母座都会产生轴向弹性变形，设丝杠的输入转矩为T3，丝杠和工作台之间的弹性变形为，对应的丝杠附加转角为。根据动力平衡和传动关系，对于丝杠轴III有

（6-187）（6-188）1356.5.1数控机床进给机构建模将式（6-188）代入（6-187）有式中：为附加扭转刚度。（2）扭转刚度折算设、、分别为轴I、II、III在输入转矩、、作用下产生的扭转角，为联轴器的扭转角、根据动力平衡和传动关系有（6-189）（6-190）1366.5.1数控机床进给机构建模

因为丝杠和工作台之间的轴向弹性变形，要使得工作动变形前的位置，则需要Ⅲ轴多旋转一个角度，即为附加扭转角，所以轴上的实际扭转角为将和式（6-189）代入式（6-192）得（6-191）（6-192）（6-193）1376.5.1数控机床进给机构建模将III、III轴的扭转角折算到I轴上，得到系统的等效扭转角为将式（6-191）、（6-193）代入式（6-194）得式中：

为折算到I轴上的当量扭转刚度系数。（6-194）（6-195）（6-196）1386.5.1数控机床进给机构建模4.系统传递函数将转动惯量、刚度、粘性阻尼等效算到I轴后，可以外按单一部件对系统进行建模。设输入量为轴I的转角，输出量为工作台的线位移，传动系统的等效图6-42所示。图6-42传动系统等效计算图1396.5.1数控机床进给机构建模可以得到数控机床进给系统的数学模型为式中：为中不包括I轴的等效转动惯量。由于，，系统等效到I轴的力矩平衡方程为（6-198）（6-199）1406.5.1数控机床进给机构建模根据式（6-199）画出系统的方框图如图6-5所示。根据方框图，工作台输出对地I轴输入的传递函数为式中：-固有频率，；-阻尼比，。图6-43进给系统方框图（6-200）1416.5.1数控机床进给机构建模根据系统方框图，工作台输出对地I轴输入转矩的传递函数为令，将式（6-201）改造成式中：-固有频率；；-阻尼比，。（6-201）（6-201）1426.5.1数控机床进给机构建模和是二阶系统的两个特征参数，对于不同的系统可由不同的物理量确定，对于机械系统而言，它们是由质量、阻尼系数和刚度系数等结构参数决定的。机械传动系统的性能与系统本身的阻尼比、固有频率有关。和又与机械系统的结构参数密切相关。因此，机械系统的结构参数对伺服系统的性能有很大影响。一般的机械系统均可简化为二阶系统，系统中阻尼的影响可以由二阶系统单位阶跃响应曲线来说明，如图6-44所示。1436.5.1数控机床进给机构建模①当=0时，系统处于等幅持续振荡状态，因此系统不能无阻尼。②当时，系统为临界阻尼或过阻尼系统。此时,过渡过程无振荡,但响应时间较长。③当0<<1时，系统为欠阻尼系统。此时，系统在过渡过程中处于减幅振荡状态，其幅值衰减的快慢取决于衰减系数。在确定以后,愈小，其振荡愈剧烈，过渡过程越长。图6-44二阶系统单位阶跃响应曲线1446.5.2数控伺服驱动系统建模伺服驱动系统是数控机床、工业机器人等机电一体化系统的重要组成部分，以西门子S120驱动单元为例，且X、Y、Z直线轴采用西门子交流同步伺服电动机，通过矢量变换的方法对伺服电动机进行线性化解耦控制。为保证运动系统精确性，伺服驱动系统中包括了电流环、速度环、位置环，分别用于力矩、速度、位置控制，三环通过PID调节器控制。图6-45为闭环伺服驱动系统控制框图。1456.5.2数控伺服驱动系统建模

图6-45闭环伺服控制系统框图1466.5.2数控伺服驱动系统建模1.伺服电动机数学模型通常情况下，可以通过矢量变换的方法将三相永磁式同步电动机等效为二相d-p旋转坐标系上的直流电动机模型，其数学模型如下：永磁式同步电动机在二相d-p坐标系下电压方程为式中:、为q、d轴的等效电压；、为q、d轴的等流；为定子的相电阻；、为q、d轴的磁链；为电动机转子转速。（6-203）147