2024年中考数学总复习第五部分真题分类汇编第五章四边形第2节矩形、菱形与正方形 第1课时 矩形

5.2矩形、菱形与正方形2.(2022.贵州铜仁)如图，在矩形ABCD中，A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),则D的坐标为()A.(-2,-1)B.(4,-1)C.(-3,-2)D.(-3,-1)3.(2022·山东日照)如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，A.27°B.53°C.57°4.(2022·山东菏泽)如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC=36°,则∠D₁ADA.48°B.66°C.7205.(2023·四川德阳)如图，@ABCD的面积为12,AC=BD=6,AC与BD交于点0.分别过点C,D作BD,AC的平行线相交于点F,点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是()A.16.(2023·江苏南通)如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B,D为圆心，线段BC,DC长为半径画弧，两弧相交于点E,连接BE,DE,BD.若AB=4,BC=8,则∠ABE的正切值为()7.(2022.青海)如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为8.(2022.四川自贡)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1,则GE+CF的最小值为9.(2022·浙江台州)如图，△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A'B'C’,且BB'⊥BC,则阴影部分的面积为cm².10.(2022-湖南娄底)九班级融融伴随父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图(照实物图)比较美观，通过手绘(如图)、测量、计算发觉点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G,则EG≈DE.(精确到0.001)11.(2022·吉林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的中点，点F在对角线AC连接EF,若AC=10,则EF=13.(2022.辽宁阜新)如图，在矩形ABCD中，E的面积是3,则△BCF的面积是14.(2023·黑龙江哈尔滨)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点F在矩形ABCD边上，连接OF.若∠ADB=.15.(2022·湖北随州)如图1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E,F分别为AB,AD的中点，连接EF.如的度数为,DH的长为.图1图2PE⊥AC于点E,则DE的最小值为三、解答题17.(2023·黑龙江大庆)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°.(2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积.18.(2023·浙江)某数学爱好小组活动，预备将一张三角形纸片(如图)进行如下操作，并进行猜想和证明.(1)用三角板分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,画AF⊥DE于点F;(2)用(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无缝隙无重叠),并用三角板画出示意图；(3)请推断(2)中所拼的四边形的外形，并说明理由.19.(2023·四川乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A、B重合),过点D作DEIIBC,DFIAC,分别交AC、BC于点E、F,连接EF.(1)求证：四边形ECFD是矩形；20.(2023-新疆)如图，AD和BC相交于点0,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC.中点.(2)当∠A=30°时，求证：四边形BECF是矩形.21.(2023-湖南岳阳)如图，点M在②ABCD的边AD上，BM=CM,请从以下三个选项中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件，使园ABCD为矩形.(1)你添加的条件是(填序号):(2)添加条件后，请证明0ABCD为矩形22.(2023·北京)如图，在BABCD中，点E,F分别在BC,AD上，BE=DF,AC=EF.(2)AE=BE,AB=2,求BC的长.23.(2022·山东威海)如图：(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图1叠放.24.(2023·湖北鄂州)如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD.(1)尺规作图(请用2B铅笔):作∠DAE的平分线AF,交BC的延长线于点F,连接DF.(保留作图痕迹，不写作法);(2)试推断四边形AEFD的外形，并说明理由.25.(2023·山东济南)在矩形ABCD中，AB=2,AD=2√3,点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG.(1)如图1,连接BD,求∠BDC的度数和的值；(2)如图2,当点F在射线BD上时，求线段BE的长；(3)如图3,当EA=EC时，在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接PA,PC,求PA+PC的最小值.26.(2022·湖南益阳)如图，矩形ABCD中，AB=15,BC=9,E是CD边上一点(不与点C重合),作AF⊥BE备用图1备用图2参考答案与解析1.(2023·上海)在四边形ABCD中【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可.故A不符合题意故B不符合题意∵∠A=∠BD:∵AD|BC∵∠A=∠D故D不符合题意【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等学问，娴熟把握以上学问并机敏运用是解题的关键.2.(2022.贵州铜仁)如图，在矩形ABCD中，A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),则D的坐标为()A.(-2,-1)B.(4,-1)C.(-3,-2)【分析】先依据A、B的坐标求出AB的长，则CD=AB=6,并证明ABIICDIIx轴，同理可得ADIBClly轴，由此即可得到答案.∴点D的坐标为(-3,-1),【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键.3.(2022·山东日照)如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为()A.27°B.53°C.57°D.【分析】依据题意可知AE//BF,∠EAB=∠ABF,∠ABF+27°=90°,等量代换求出∠EAB,再依据平行线的【详解】解：如图所示：A.48°B.66°∠D₁AB,依据周角的定义求解即可.【详解】∵将一矩形纸片沿AB折叠，【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及平行线的性质，娴熟把握学问点是解题的关键.5.(2023·四川德阳)如图，②ABCD的面积为12,AC=BD=6,AC与BD交于点0.分别过点C,D作BD,AC的平行线相交于点F,点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是()【答案】A【分析】先证明OC=OD,四边形OCFD是菱形，如图，连接OF,GP,而点G是CD的中点，可得G为菱形对角线的交点，OF⊥CD,当GP⊥CF时，GP最小，再利用等面积法求解最小值即可.∴四边形OCFD是菱形，如图，连接OF,GP,而点G是CD的中点，∴G为菱形对角线的交点，OF⊥CD,∵OABCD即矩形ABCD的面积为12,AC=BD=6,∴GP=1,即GP的最小值为1.【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键.6.(2023-江苏南通)如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B,D为圆心，线段BC,DC长为半径画弧，两弧【答案】C【分析】设BE,AD交于点F,依据矩形的性质以及以点B,D为圆心，线段BC,DC长为半径画弧得到△BDE=△BDC(SSS),FB=FD,设EF=x,故BF=DF=BE-EF=8-x,在Rt△EFD中求出x的值，从而得到△ABF=△EDF(SSS),从而得到∠ABE=∠ADE,即可求得答案.【详解】解：设BE,AD交于点F,由题意得BE=BC=8,DE=DC=AB=4,7.(2022.青海)如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,【答案】6.【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF,得△AOE、积转化为△BCD的面积.故答案为6.【点睛】本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，把握三角形的判定和【答案】3v2【分析】如图，作G关于AB的对称点G,在CD上截取CH=1,然后连接HG交ABEF=1,此时GE+CF的值最小，可股定理求出HG的长，即可求解.【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G,在CD上截取CH=1,然后连接HG交AB于E,在EB上截∵四边形ABCD是矩形，【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等学问，确定GE+CF最小时E,F位置是解题关键.9.(2022·浙江台州)如图，△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A'B'C’,且BB'⊥BC,则阴影部分的面积为cm².【答案】8【分析】依据平移的性质即可求解.【详解】解：由平移的性质S₄ABC=SAABC,BC=B'C,BC//B'C,∴四边形B'CCB为平行四边形，∵阴影部分的面积=S△ABC+SBCCB-S△ABC=8(cm²).故答案为：8.【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不转变图形的外形和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.10.(2022·湖南娄底)九班级融融伴随父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图(照实物图)比较美观，通过手绘(如图)、测量、计算发觉点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G,则EG≈DE.(精确到0.001)【答案】0.618【分析】设每个矩形的长为x,宽为y,则DE=AD-AE=x-y,四边形EFGM是矩形，则EG=MF=y,由DE≈0.618AD得x-y≈0.618x,求得y≈0.382x,进一步求得即可得到答案.【详解】解：如图，设每个矩形的长为x,宽为y,则DE=AD-AE=x-y,故答案为：0.618.【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等学问，求得y=0.382x是解题的关键.11.(2022·吉林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,点E是边AD的中点，点F在对角线AC【分析】由矩形的性质可得点F是OA的中点，从而EF是△AOD的中位线，则由三角形中位线定理即可求得EF的长.【详解】∵四边形ABCD是矩形，即点F是OA的中点.∵点E是边AD的中点，【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等学问，把握中位线定理是本题的关键.【详解】解：设AB=1,【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，把握正确的定义是解题的关键.13.(2022·辽宁阜新)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE=2DE,BD与CE相的面积是3,则△BCF的面积是【答案】27【分析】依据矩形ABCD的性质，很简洁证明△DEFo△BCF,相像三角形之比等于对应边比的平方，即可求出△BCF的面积.故答案为：27.【点睛】本题考查了相像三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，同学要机敏应用.把握相像三角形的面积比是相像比的平方是解题的关键.14.(2023·黑龙江哈尔滨)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点F在矩形ABCD边上，连接OF.若∠ADB=【分析】依据题意画出图形，分点F在AB上和BC上两种状况争辩即可求解.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类争辩是解题的关键.图2,将△AEF绕点A逆时针旋转角0(0<θ<90°),使EF⊥AD,连接BE并延长交DF于点H,则∠BHD【分析】设EF交AD于点M,BH交AD于点N,先证明△ADF∽△ABE,可得∠ADF=∠ABE,可得∠BHD=∠BAD=90°;然后过点E作EG⊥AB于点G,可得四边形AMEG是矩形，从而从而得到AG=ME=从而得到AG=ME=从而得到MN=从而得到MN=,进而得到DN=2,即可求解.【详解】解：如图，设EF交AD于点M,BH交AD于点N,即DH=2HN,【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解直角三角形，矩形的性质和判定，相像三角形的判定和性质，熟练把握直角三角形的性质，矩形的性质和判定，相像三角形的判定和性质是解题的关键.PE⊥AC于点E,则DE的最小值为_.【分析】连接CP,利用勾股定理列式求出AB,推断出四边形CDPE是矩形，依据矩形的对角线相等可得DE=CP,再依据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段DE的值最小，然后依据直角三角形的面积公式列出方程求解即可.∵PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,∠ACB=90°,三、解答题即可.【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，(2)过点E作EG⊥AC于点G,∴平行四边形ABCD的面积为：30+15=45.【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的学问，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.18.(2023·浙江)某数学爱好小组活动，预备将一张三角形纸片(如图)进行如下操作，并进行猜想和证明.(1)用三角板分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,画AF⊥DE于点F;(2)用(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无缝隙无重叠),并用三角板画出示意图；(3)请推断(2)中所拼的四边形的外形，并说明理由.(3)答案不唯一，见解析【分析】(1)依据题意画出图形即可；(3)方法一：先证明点M,D,E,N在同始终线上，依据DE为△ABC的中位线，得出DEIIBC且BC=2DE.证得出DN=BC且DNⅡBC,证明四边形DBCN为平行四边形.且MEⅡBC,得出四边形MBCE为平行四边形.【详解】(1)解：如图所示：(2)解：方法一：四边形BCNM为所求作的四边形图1方法三：四边形MBCE是所求的四边形.图3(3)解：方法一(图1),图1方法二(图2),∴四边形DBCN为平行四边形.方法三(图3),∵点D,E分别是AB,AC的中点，【点睛】本题主要考查了旋转作图或平移作图，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键娴熟把握旋转的性质和平移的性质.19.(2023·四川乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A、B重合),过点D作DEIBC,DFIAC,分别交AC、BC于点E、F,连接EF.(1)求证：四边形ECFD是矩形；求点C到EF的距离.(2)先由勾股定理求出EF=√CF2+CE²=【详解】(1)证明：∵DEIIBC,DFIIAC,2V5,再依据三角形面积公式求解即可.设点C到EF的距离为h,答：点C到EF的距离)【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理.娴熟把握矩形的判定定理和利用面积法求线段中点.【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩是解题的关键.DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件，使@ABCD为矩形.【分析】(1)依据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；矩形.【详解】(1)解：①或②(2)添加条件①,②ABCD为矩形，理由如下：又∵ABlCD,【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，把握平行四边形的性质和矩形的判定方法(有一个角是直角的平行四边形是矩形)是解题关键.22.(2023·北京)如图，在BABCD中，点E,F分别在BC,AD上，BE=DF,AC=EF.求BC的长.【分析】(1)利用平行四边形的性质求出AF=EC,的平行四边形是矩形得出结论；证明四边形AECF是平行四边形，然后依据对角线相等(2)证明△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE=√2,【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是矩形；(2)解：由(1)知四边形AECF是矩形，然后再解直角三角形求出EC即可.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，娴熟把握相关判定定理和性质定理是解题的关键.23.(2022·山东威海)如图：(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图1叠放，(2)如图2,在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB=2V5,BC=7,CF=√5,求四边形AGCH的面积.【分析】(1)①依据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；②设AH=CG=x,利用勾股定理构建方程即可解决问题；(2)两个矩形的对角线相等，可得出EC的长，设AH=CG=x,利用勾股定理以及边长之间的关系可得出x的值，进而可求出面积.【详解】(1)①∵四边形ABCD,四边形AECF都是矩形∴四边形AHCG为平行四边形∴△AEH=△CDH(AAS)②设AH=CG=x,则DH=AD-AH=8-x(2)由图可得矩形ABCD和矩形AFCE对角线相等设AH=CG=x则HD=7-x在Rt△CDH中，CH=√DH²+DC²=√(7-x)²+20∴四边形AGCH的面积为3×2V5=6V5.【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等学问，解题的构建方程解决问题.24.(2023·湖北鄂州)如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD.(1)尺规作图(请用2B铅笔):作∠DAE的平分线AF,交BC的延长线于点F,连接DF.(保留作图痕迹，不写(2)四边形AEFD是菱形，理由见解析【分析】(1)依据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；(2)依据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF=∠AFE,结合角平分线的定义可得∠EFA=∠EAF,则AE=EF,然后依据平行四边形和菱形的判定定理得出结论.【详解】(1)解：如图所示：(2)四边形AEFD是菱形；∵ADIIEF,∴平行四边形AEFD是菱形.【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等学问，娴熟把握相关判定定理和性质定理是解题的关键.25.(2023·山东济南)在矩形ABCD中，AB=2,AD=2V3,点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG.(2)如图2,当点F在射线BD上时，求线段BE的长；(3)如图3,当EA=EC时，在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接PA,PC,求PA+PC的最小值.(3)4v3.【分析】(1)依据矩形的性质得出∠C=90°,CD=AB=2,BC=AD=2V3,进而依据正切函数得出可求出∠BDC=60°,由∠ADG=90°,求出∠DAG=∠BAE,证明△ADG~△ABE,依据相像三角形的性质即可得出答案；(2)过点F作FM⊥CG于点M,由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°,AE=GF,证明△ABE=△GMF