2024年九年级中考数学专题复习：圆相关的证明题

2024年九班级中考数学专题复习：圆相关的证明题1.如图，在OO中，CD是直径，弦AB⊥CD,垂足为E,连接AC,AD.(1)求证：∠C=∠BAD;求AB的长度.2.如图，已知ABC内接于⊙O,AB是○O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D,交⊙0于点E,连接EB,作∠BEF=∠CAE,交AB的延长线于点F.3.如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，且AC⊥BD,垂足为E,AB=DB,F为DC延长线上一点.4.如图，CD为00的直径，点A、E是OO上两点，AC=AE,DE,点B是DC延长线上一点，连接AB,?CAB?CDA.(3)在(2)的条件下，若○O半径为6,求弦DE的长度.5.如图，点A、B、C在OO上，∠ABC=60°,直线AD/BC,AD=AB,(2)若⊙O的半径为4,求弦BC的长.(1)如图1,求证∠B=ZE;(2)如图2,连接AD,若AD=5,BD=3,求OE的长.7.如图，已知AB是OO的直径，直线DC是○O的切线，切点为C,AE⊥DC,垂足为E,连接AC.求○0的半径.一点，∠FAC=∠AEF.连接CD,交AB于点G.过点B作OO的切线，交AC的延长线于点F.(2)若点E是OB的中点，且OE=1,求线段BF的长；线交于点D,在BD上截取EC=CD,连接AE并延长交0O于点F,连接CF.求BE的长.13.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°,延长BC到点O,使得OC=BC,以点O为圆心，以OC为半径作O0交AC的延长线于点D,连接BD.14.如图，直线AB与⊙O相切于点B,AO交○0于点C,AO的延长线交00于点D,∠A=30°,点E在BCD上，且不与B,D重合.且FP=FD求BE的长度.16.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以边AC为直径的○O与BC交于点D,DF⊥AB,垂足为F,FD的延长线与AC的延长线交于点E.(2)若AC=13,BD=5,求DF的长.17.如图，四边形ABCD内接于○O,A线与CA的延长线相交于点E,且∠EDA=∠ACD.(1)求证：直线DE是OO的切线；(3)若AD=6,CD=8,求BD的长.延长交○0于D点，连接BD并延长至E,使得BD=DE,连接CE、BI.并延长交○O于点E,点F在AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.(1)连接BE,求证BE=DE;连接BCBD,连接DE交A(1)求证：△ABD~△ACB;【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，求弧长，三角形内角和定理：(1)依据直径所对的圆周角是直角得到∠CAD=90°,则∠C+∠D=90°,由垂线的定义得到∠AED=90°,则∠BAD+∠D=90°,由此即可证明∠C=∠BAD;(2)如图所示，连接OA,OB,由圆周角定理得到∠AOD=2∠C=66°,则由垂径定理可得∠BOD=∠AOD=66°,可得∠AOB=132°,据此利用弧长公式求解即可.【详解】(1)证明：∵CD是直径，(2)解：如图所示，连接OA,OB,∵CD是直径，弦AB⊥CD,2.(1)见解析(1)连接OE,依据AE平分∠CAB,OA=OE,可得∠BEF=∠AEO,从而得到【详解】(1)解：连接OE,∴OO的半径为6.3.(1)见详解(2)依据BE=3,DE=2可得出BD的长，故可得出AB的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，同理可得出AD的长，连接BO并延长交○0于点M,交线段AD于点N,连接OD,由垂径定理得出BM⊥AD,故点N是AD的中点，利用勾股定理求出BN的长，设00的半径为r,在Rt₂ODN中利用勾股定理求出r的值即可.【详解】(1)证明：∵AB=DB,(2)解：∵BE=3,DE=2,连接BO并延长交O0于点M,交线段AD于点N,连接OD,∴BM平分圆,4.(1)见解析【分析】(1)连接OA,证明AB⊥OA即可.(2)依据?CAB?CDA,结合∠CBA=∠ABD,得到。CBA△ABD,得到结合BC:BA=1:2,,计算即可.(3)过点O作OG⊥AC于点G,连接CE,交OA于点F,利用垂径定理及其推论，勾股定理，三角形中位线定理，三角形面积公式计算即可.【详解】(1)如图，连接OA,∵CD为○0的直径，∴AB与⊙O相切于点A.为○0的直径，,;过点O作OG⊥AC于点G,∵CD为○0的直径，连接CE,交OA于点F,,中位线定理，三角形面积公式，娴熟把握垂径定理，勾股定理；中位线定理是解题的关键.5.(1)直线AD与圆O相切，见解析(1)由切线的判定定理，可证明；(2连接OC,作OH⊥BC于H,由等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°,由含30度直角三角形的性质求出OH,依据勾股定理即可求出BC.【详解】(1)直线AD与圆O相切...(2)连接OC,作OH⊥BC于H,(1)依据切线的性质得到OA⊥AE,依据对顶角相等得到∠DOB=∠AOE,依据三角形内(2)连接AC,依据圆周角定理得到∠C=90°,依据勾股定理分别求出AC、AB,证明AODB∽△OAE,依据相像三角形的性质列出比例式，计算即可.【详解】(1)证明：∵AE是○O的切线，(2)解：如图2,连接AC,,,7.(1)见解析(1)连接OC,依据切线的性质得到OC⊥DC,从而可得OC//AE,再依据等腰三角形的(2)连接BC,先证明∠ABC=∠ACE,则依据三角函数的定义，可求得BC的长，最终依据勾股定理可求得AB的长，从而得到答案.【详解】(1)连接OC,∴OC//AE,(2)连接BC,,,8.(1)见解析【分析】(1)依据切线的判定，证明∠OAF=∠OAC+∠FAC=90°即可.(3)连接BE,AD,证明△ADG∽△EBG,运用勾股定理计算即可.【详解】(1)证明：∵AB⊥CD,(2)证明：∵四边形ADEC是圆内接四边形，AB⊥CD,(3)解：连接BE,AD,本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧长的计算，难度适中.留意把握帮助线的作法，留意把握数形结合思想的应用.【详解】(1)证明：∵AB是○O的直径，又CE⊥AB,(2)解：连接OD,OC,10.(1)详见解析【分析】(1)连接OD,依据切线的性质得到OD⊥AC,进而得到OD//BC,依据平行线(2)依据余弦的定义求出BC,依据△AOD∽△ABC列出比例式，把已知数据代入计算即可.【详解】(1)证明：连接OD,如图所示：∴OD//BC,(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°,和性质，等腰三角形的性质，把握圆的切线垂直于经过切(1)依据切线性质，垂直的定义，圆周角定理，余角的性质，证明即可.(2)依据点E是OB的中点，且OE=1,得到OB=OC=2OE=2,利用勾股定理CE=√OC²-OE²=√3,结合计算即可.【详解】(1)∵AB是OO的直径，过点B作0O的切线，交AC的延长线于点F,(2)如图，连接OC,∵点E是OB的中点，且OE=1,12.(1)见解析；(2)BE的长为3.【分析】(1)由AB是OO的直径，∠ACB=90°,则AC垂直平分DE,所以AE=AD,(2)由且AC=2,求I,BC=2AC=4,EC=CD=1,所以BE=BC-EC=3.【详解】(1)证明：∵AB是○O的直径，∴AC垂直平分DE,∴BE的长是3.【点睛】此题重点考查直径所对的圆周角等于90°、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形学问，证明AC垂直平分DE,并且推导出∠B=∠CAF是解题的关键.13.(1)见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，切线的判定，等腰三角形的判定等学问.证切线连半径是必作的帮助线.(1)连接OD,易得。OCD是等边三角形，则得OC=CD=BC,∠ODC=60°,则得即可求解.【详解】(1)证明：连接OD,如图，(2)解：∵∠A=∠CDB=30°,【分析】(1)依据切线的性质，得出∠ABO=90°,进而求出∠AOB和∠BOD,再依据圆(2)依据条件可知∠EOB=∠EOD,【详解】(1)解：连接OB,在RtaOAB中，∠A=30°,从而∠BOF=∠DOF,从而DF与QO相切.BE=DE,∴OBF≌ODF(SAS),【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，把握并机敏运用相关学问是解答此题的关键.15.(1)见解析角相等两直线平行即可判定；,利用勾股定理可求得OE,即可求得BE,【详解】(1)证明：∵FP=FD,,,(2)连接OC,如图，,,定理，解题的关键是娴熟使用垂径定理等圆的相关学问.16.(1)见解析【分析】(1)连接OD,AD,由圆周角定理可知AD(2)利用勾股定理可得AD=12,利用面积法可得【详解】(1)证明：如图，连接OD,AD,(2)解：∵AC=13,BD=5,AB=AC,【分析】(1)连接OD,依据等腰三角形性质得出∠OCD=∠ODC,依据AC是OO的直径.得OD⊥DE,即可证明结论；BD=BH,求出DH=CD+CH=14,依据勾股定理得出BD²=DH²-BH²,求出2BD²=196,即可求出结果.【详解】(1)证明：连接OD,如图.∵AC是OO的直径.∴直线DE是OO的切线.(2)∵AB=BC,(3)如图，过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H,∵四边形ABCD内接于○O,在Rt△BDH中，BD²=DH²-BH²,BD=BH,【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出帮助线，数形结合，娴熟把握基本的判定和性质.18.(1)证明见解析【分析】(1)先证明∠BAD=∠CBD,再证明∠BID=∠DBI,即可证明DB=DI;(2)欲证明直线CE为0O的切线，只要证明BC⊥CE即可；求AD的长，只要求得BD的长即可，【详解】(1)~点I为ABC的内心∠DBI=∠CBD+∠CBI=∠CAD+∠ABI=∠BAD+∠ABI(2)连接CD,如图所示.由(1)得：∠BAD=∠CAD则BD=CD(3)∵BC为○0的直径过点1作IH⊥AC交AC于点H,连接CI,如图所示.∵点I为=ABC的内心，∴点1到ABC三边的距离相等，【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定，解直角三角形等学问，解题的关键是机敏运用所学学问解决问题，学会添加常用帮助线.19.(1)见解析【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线的判定，相像三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等学问，解决问题的关键是娴熟把握有关基础学问.(1)可证得∠ACD=∠ADC,∠ACD=∠EBD,进而得出∠EDB=∠EBD,从而推出BE=DE;(2)连接OE,可推出∠DBE=∠OEB,∠DBE=∠ACD=∠ADC,从而∠OEB=∠ADC,从而推出∠EOB=∠CAD,可推出∠CAD+∠ABC=90°,从而∠OEB+∠AFE=90°,从而∠O从而求得DE的长.