微积分赵树嫄

微积分赵树嫄2024-01-25CATALOGUE目录绪论极限与连续导数与微分积分学微分中值定理及其应用重积分与曲线积分无穷级数01绪论123早在古希腊时期，阿基米德等数学家就开始研究曲线的长度、面积和体积等问题，初步体现了微积分的思想。古代微积分思想的萌芽17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学，为数学和物理学的发展开辟了新的道路。17世纪微积分的创立这一时期，数学家们对微积分的理论基础进行了深入研究，完善了微积分的理论体系，并将其应用于更广泛的领域。18-19世纪微积分的发展微积分的历史与发展微分学主要研究函数在某一点处的局部性质，通过求导数等方法揭示函数的变化规律。微分思想积分思想微积分基本定理积分学主要研究函数在一定区间上的整体性质，通过求原函数等方法计算面积、体积等物理量。揭示了微分与积分之间的内在联系，是微积分学的核心定理。030201微积分的基本思想本书共分为若干章，分别介绍微积分的基本概念、微分学、积分学、微分方程等内容。章节设置本书从基础知识出发，逐步深入，形成完整的知识体系，便于读者系统学习。知识体系每章后附有习题，供读者练习巩固所学知识；书末附有习题解答，供读者参考。习题与解答本书的结构与安排02极限与连续描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则等。极限的性质左右极限存在且相等。极限存在的条件极限的概念与性质03无穷小量与无穷大量之间的关系无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。01无穷小量的定义以零为极限的变量。02无穷大量的定义绝对值无限增大的变量。无穷小量与无穷大量连续函数的性质局部有界性、介值性、反函数的连续性等。函数在一点连续的定义函数在该点的极限值等于函数值。连续函数的定义在定义域内每一点都连续的函数。函数的连续性03导数与微分

导数的概念与计算导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。导数的计算通过求极限的方式计算导数，包括基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等。高阶导数函数导数的导数称为高阶导数，表示函数更高层次的变化率。微分是函数局部变化的一种线性近似，通过求导数得到微分。微分的定义在几何上，微分可以描述曲线的切线；在物理上，微分可以描述速度、加速度等；在经济上，微分可以描述边际效应等。微分的应用揭示了函数与其导数之间的内在联系，为微分学的应用提供了理论基础。微分中值定理微分及其应用高阶微分的定义高阶微分是高阶导数的微分，描述了函数更高层次的变化率。高阶导数与高阶微分的计算通过连续求导或连续微分可以得到高阶导数与高阶微分，需要掌握相应的计算方法和技巧。高阶导数的定义函数的高阶导数是指其导数的导数，以此类推可以得到更高阶的导数。高阶导数与高阶微分04积分学不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，其结果是一个函数族，每个函数之间相差一个常数。不定积分的定义不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质。此外，还有换元积分法和分部积分法两种基本的求解方法。不定积分的性质包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等的基本积分公式，以及乘积的积分、复合函数的积分等法则。常见的不定积分公式和法则不定积分的概念与性质定积分的定义01定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，其结果是一个数。定积分的概念与不定积分密切相关，可以通过不定积分来计算定积分。定积分的性质02定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式性质等。此外，还有牛顿-莱布尼兹公式和微积分基本定理等重要结论。常见的定积分公式和法则03包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等的基本定积分公式，以及分部积分法、换元积分法等求解方法。定积分的概念与性质广义积分的概念广义积分是指被积函数在无穷区间或包含无界点的有限区间上的积分，其结果可能是一个数或无穷大。含参量积分的概念含参量积分是指被积函数中除了自变量外还含有其他参数的积分，其结果是一个关于参数的函数。广义积分与含参量积分的求解方法对于广义积分，可以通过变量替换或分部积分等方法将其转化为普通定积分进行求解；对于含参量积分，可以通过求导或积分变换等方法得到关于参数的函数表达式。广义积分与含参量积分05微分中值定理及其应用费马引理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理若函数f(x)在点x0处可导且取得极值，则f'(x0)=0。若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)。在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。洛必达法则用多项式逼近一个函数的方法，即一个函数可以展开成无穷级数的形式。泰勒公式洛必达法则与泰勒公式极值若函数在某点的函数值比其附近点的函数值都大（或小），则该点为函数的极大值（或极小值）点。单调性若函数在某区间内单调增加（或减少），则该函数在此区间内任意两点的函数值满足大小关系。驻点与拐点驻点是函数的一阶导数为零的点，拐点是函数的凹凸性发生改变的点。函数的单调性与极值06重积分与曲线积分设函数$f(x,y)$在可求面积的闭区域$D$上有界，将闭区域$D$任意分成$n$个小闭区域$Deltasigma_1,Deltasigma_2,ldots,Deltasigma_n$，其中$Deltasigma_i$表示第$i$个小闭区域的面积，也表示这$n$个小闭区域中的任一个。二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式、估值定理、中值定理等性质。二重积分的计算通常化为二次积分进行，其关键是确定积分次序和积分限。二重积分的定义二重积分的性质二重积分的计算二重积分的概念与性质三重积分的定义设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的闭区域$Omega$上有界，将闭区域$Omega$任意分成$n$个小闭区域$DeltaV_1,DeltaV_2,ldots,DeltaV_n$，其中$DeltaV_i$表示第$i$个小闭区域的体积，也表示这$n$个小闭区域中的任一个。三重积分的性质三重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式、估值定理、中值定理等性质。三重积分的计算三重积分的计算通常化为三次积分进行，其关键是确定积分次序和积分限。三重积分的概念与性质曲线积分的定义设有一曲线形构件占$xOy$面上的一段曲线$Gamma$，设构件的密度分布函数为$rho(x,y)$，则构件的质量为$int_{Gamma}rho(x,y)ds$，其中$rho(x,y)$是定义在$Gamma$上的连续函数，称为线密度函数。曲线积分的性质曲线积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。曲线积分的计算曲线积分的计算通常化为定积分进行，其关键是确定被积函数和积分路径。010203曲线积分的概念与性质07无穷级数常数项级数由常数项构成的无穷级数，各项之间无关联。收敛与发散常数项级数可能收敛也可能发散，收敛时有一个确定的和。绝对收敛与条件收敛常数项级数在绝对收敛时，其任意重排也收敛；条件收敛时，重排可能改变其和。常数项级数的概念与性质形如∑an(x-a)^n的级数，其中an为常数，x为自变量。幂级数幂级数在某一区间内收敛，该区间称为收敛域，其半径称为收敛半径。收敛半径与收敛域幂级数在收敛域内可