【初中数学】第1课时++二次函数y=ax2+k的图象与性质++课件+华东师大数学九年级下册

二次函数y=ax2+k的图象与性质26.2.2二次函数y=ax2+bx+c

的图象与性质第1

课时已知二次函数①

y=-x2；②y=x2；③y=15x2；

④y=-4x2；⑤y=-

x2；⑥y=4x2.(1)其中开口向上的有

(填题号)；(2)其中开口向下，且开口最大的是

(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有

(填题号).②③⑥⑤①④⑤复习引入导入新课这个函数的图象是如何画出来的？情境引入xyO

例1

在同一直角坐标系中，画出二次函数

与

的图象.二次函数

y=ax2+k

的图象与性质探究归纳解：先列表：x···－3－2－10123···············xy-4-3-2-1O1234123456描点、连线，画出这两个函数的图象：观察与思考抛物线，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？抛物线开口方向顶点坐标对称轴向上向上（0，0）（0，1）y轴y轴想一想：通过上述例子，你能得出函数

y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：2y-2-242-4xO二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)根据图象回答下列问题：(1)图象的形状都是

；(2)三条抛物线的开口方向______；(3)对称轴都是__________；(4)从上往下三个顶点坐标分别是

_____________________；抛物线向下直线

x=0(0，0)(0，2)(0，-2)(5)顶点都是最____点，对应函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、_______﹑_______；(6)对应函数的增减性都相同：________________________________________________________.高大y=0y=-2y=2对称轴左侧

y随

x增大而增大，对称轴右侧

y随

x增大而减小二次函数

y=ax2+k（a≠0）的性质y=ax2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0，k）（0，k）知识要点y=ax2+ka＞0a＜0最值当

x=0时，y最小值

=k当

x=0时，y最大值

=k增减性当

x＜0时，y随

x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大当

x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大二次函数

y=ax2+k（a≠0）的性质例2已知二次函数

y＝ax2+c，当

x取

x1，x2(x1≠x2)时函数值相等，则当

x＝x1+x2

时，其函数值为_____.解析：由二次函数

y＝ax2+c图象的对称性可知，x1，x2

必然关于

y轴对称，即

x1+x2＝0.把

x＝0代入二次函数关系式，即得所求函数值.c【方法总结】二次函数

y＝ax2+c的图象关于

y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数.做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数y=2x2+1与

y=2x2-

1的图象．解：先列表：x···－2－1.5－1011.52···y=

2x2＋1······y=2x2－1······95.53135.5973.51-113.57二次函数

y=ax2+c的图象及平移4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1

(1)抛物线

y=

2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？y=

2x2向上(0，0)y轴y=

2x2＋1y=2x2－1二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0，1)(0，-1)y轴y轴(2)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线

y=2x2有什么关系？

4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1可以发现，把抛物线

y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线

；把抛物线y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线

y=2x2-

1.

下y=2x2+1上解析式y=2x2y=2x2

+1y=2x2

-

1+1-

1点的坐标函数对应值表x……y=2x2-

1……y=2x2……y=2x2+1……4.5-1.53.55.5-1213x2x22x2

-

1(x,)(x,

)(x,)2x2-

12x22x2+1从“数”的角度探究2x2+1二次函数

y=ax2+k的图象与平移y=2x2+1y=2x2

-

1可以发现，把抛物线

y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线

；把抛物线y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.

下y=2x2+1上从“形”的角度探究4xyO-22246-4810-2

二次函数

y

=

ax2

+

k的图象可以由

y

=

ax2

的图象平移得到：

当

k＞0时，向上平移

k

个单位长度得到；

当

k＜0时，向下平移

-k

个单位长度得到.二次函数

y

=

ax2

与

y

=

ax2

+

k(a≠0)的图象的关系上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.知识要点二次函数

y＝－3x2＋1的图象是将(

)A．抛物线

y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线

y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线

y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线

y＝－3x2向上平移1个单位得到练一练D想一想

1.画抛物线

y=ax2+k的图象有几步？第一种方法：平移法，两步即第一步画

y

=

ax2

的图象，再向上（或向下）平移

|k|

个单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.2.抛物线

y

=

ax2

+

k

中的

a

决定什么？k

决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标；对称轴：y

轴；顶点坐标：(0，k).解：抛物线

y＝x2－4中，令

y＝0，得

x＝±2，即

A

点的坐标为(-2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴

AB＝4.设

P

点纵坐标为

b.∵

S△PAB＝4，∴×4|b|＝4，解得

b＝±2.例3

如图，抛物线

y＝x2－4与

x轴交于

A、B两点，点P为抛物线上一点，且

S△PAB＝4，求

P点的坐标．当

b＝2

时，令

x2-

4＝2，解得

x＝±

；当

b＝-2

时，令

x2-

4＝-2，解得

x＝±

.故

P

点坐标为

(，2)或(-，2)或(，-2)或(-，-2).1.将抛物线

y=2x2

向下平移

4个单位，就得到抛物线

___________．2.填表：y=2x2-4函数开口方向顶点对称轴有最高/低点y=3x2y=3x2

+

1y=-4x2

-

5向上向上向下(0，0)(0，1)(0，-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点当堂练习3.已知(m，n)在

y

=

ax2

+

a(a≠0)的图象上，则

(-m，n)____(填“在”或“不在”)

y=ax2+a(a

不为

0)的图象上.4.若

y

=

x2+(k-2)的顶点是原点，则

k____；若顶点位于

x

轴上方，则

k____；若顶点位于

x

轴下方，则

k

.在=2＞2＜25.不画函数

y=-x2和

y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线

y

=

-x2

+

1

经过怎样的平移才能得到抛物线

y=-x2？（2）对于函数

y

=

-x2

+

1，当

x

时，y

随

x

的增大而减小；当

x

时，函数

y

有最大值，最大值是

；其图象与

y

轴的交点坐标是

，与

x

轴的交点坐标是

.向下平移1个单位.＞0=01(0，1)(-1，0)，(1，0)（3）试说出抛物线

y

=

x2

-

3

的开口方向、对称轴和顶点坐标.开口向上，对称轴是

y轴，顶点坐标

(0，-3).6.对于二次函数

y=mxm2-m