2022届高考数学模拟题

2022年高考数学考前模拟题

1.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，ZBAD=48=4,BC=1,M,

N分别是AB,PC的中点，AD±PD.

(1)证明：平面PQM_L平面PBC；

(2)若PM_LMQ,PC=V15,求二面角尸-OM-N的余弦值.

【分析】(1)证明ACQM,结合AQLPZ),推出平面尸QM,然后证明BC,平面

PDM,即可证明平面PDMJ_平面PBC.

(2)以力为原点，分别以040M及平行于所在的直线为x,y,z轴建立空间直

角坐标系，连接历C,求出平面NDW的法向量7=(x,y,z),平面PCM的法向量，再

求解二面角的余弦值即可.

【解答】解：(1)证明：由题得4W=2,ABAD=J,AD=\,在△ADM中，

由余弦定理得。M=B，所以是直角三角形，即ACQM,

又ADJ_PD,且。MnP£>=;),所以AOJ_平面PDM,

因为ABC。是平行四边形，所以8C〃A。，

所以BC_L平面PDM,且8Cu平面P8C,

故平面PDW_L平面PBC.........................................................................(6分)

(2)由(1)知47)_L平面POM,PMu平面

所以PMLA。,又PMLMD,ADQMD=D,

所以PMJ_平面ABC。，且A£>_LOM,

以。为原点，分别以D4,。/及平行于所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，

连接MC,在平行四边形ABCO中，易得MC=夕，

在直角三角形PMC中，PM=>JPC2-MC2=V15-7=2VI,

于是M(0,取,0),P(0,V3,2夜)，C(-2,2聒,0),

因为可是PC的中点，所以N(—L罢，V2),

设平面NDM的法向量％=(x,y,z),

则行.扇=0,J。'z).(0,V3,0)=0,=产y=0,

In-DN=0[(%'y>z)•(-1，竽,V2)=0[-x+竽y+伍=°,

Wz=&得，n=(2,0,V2),

由(1)知x轴，平面PQM,所以平面PQM的法向量晶=(1,0,0),

设二面角P-DM-N的平面角为0,

hi”cTi'tn(2,0rV2^),(!r0,0)2+0+01JG

则COS。=-------77,vic二------=-=—=丁，

Inllml74+0+2x1-J63

以及计算能力，是中档题.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/D48=45°,尸£>J_平面ABCD,

APLBD.

(1)证明：8。_1平面「8。；

(2)若AB=夜,尸8与平面APO所成角的正弦值为g,求二面角3-PC-。的余弦值.

【分析】(1)证明PO-LBf),PDVBC,推出。B_L平面APO,得至ljBC1.BD,

结合PDLBC,证明BCJ_平面PQ8；

(2)以。为坐标原点，DA,DB,QP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系，求出平面PCB的法向量，平面PCD的法向量，再求解二面角8-PC-D的余弦值

即可.

【解答】解：（1）证明：因为P£>_L平面ABC。，8£>u平面A8CD,8Cu平面ABCZ）,

所以PO_L8£>,PDA.BC,

因为PDQAP=P,所以。8J_平面APO,

因为AQu平面APQ,所以8£>_LA。，

因为底面ABC。为平行四边形，所以AO〃8C,

所以BC_LB。，又PDLBC,PDCBD=D,

所以BCJ_平面PD&（4分）

（2）由（I）可知BDLAD,

因为AB=近，NDAB=45°,所以AQ=BC=1,

因为£>8J_平面AP£>,所以OP为BP在平面APO上的射影，

所以P8与平面APD所成角即为/BPC,

75

因为P8与平面APO所成角的正弦值为W，所以PC=2,（6分）

以。为坐标原点，DA,DB,QP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，

则P(0,0,2),A(1,0,0),B(0,1,0),C(-b1,0),D(0,0,0),

所以第=(1,0,-2),丽=(0,1,-2),PC=(-1,1,-2),DC=(-1,1,0),

设平面PCB的法向量为益=（x,y,z）,则｛f：一°#/DEL/#—%+y—2z=0

y—2z=0

PB-m=0#/DEL/#

令x=0,y=2,z=\,得面PCB的法向量m=(0,2,1),(9分)

—>i1

同理可得平面尸C£>的法向量《=$，方，0）,（10分）

TT

]

所以cosVzn,n>=I?

I利川

因为二面角B-PC-D为锐二面角，

所以二面角8-PC-£＞的余弦值为半.(12分)

【点评】本题考查了直线与平面垂直的判断定理，二面角的平面角的求法，考查了转化

思想以及计算能力，是中档题.

3.在四棱锥P-ABC。中，底面A8CD是矩形，巩，平面4BCZ),且以=AB=2,BC=4.M

是产。的中点.

(1)求证：直线CBJ_平面以B；

(2)求直线PC和平面以8所成角的大小；

(3)求异面直线PB和CM所成角的大小.

【分析】(1)利用矩形的性质以及线面垂直的性质得到ABLBC,BC±PA,根据线面垂

直的判定定理证明即可；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面以B

的法向量，由向量的夹角公式求解即可；

(3)分别求出两条异面直线的方向向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(1)证明：因为底面ABC。是矩形，则

ABCD,BCc5F®ABCD,

则BCA.PA,

又以CAB=4,PA,ABu平面必B,

故8CJ•平面PAB-,

(2)解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则尸(0,0,2),C(2,4,0),B(2,0,0),

所以而=(2,4,-2),BC=(0,4,0),

由(1)可知，BC=(0,4,0)为平面R48的一个法向量，

所以ICOSV命，访＞1=叵组=^^=孚

|PC||BC|J4+16+4X43

V6

故直线PC和平面PAB所成角的大小为arcsin—；

(3)解：因为M是的中点，

则M(0,2,1),

所以前=(一2,2,1),

又藁=(2,0,-2),

所以孙〈港国＞1=蝠、4+4+冥4+4=等

故异面直线PB和CM所成角的大小为45°.

【点评】本题考查了线面垂直的性质的应用，线面垂直的判定定理的应用，线面角与异

面直线所成角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标

系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

4.已知A(xi，yi),B(X2，y2)为抛物线C：，=4x上不同的两点.

(1)若yi+”=4,求直线AB的倾斜角；

(2)若HB|=3,且AB的中点为Q,求。到)，轴距离的最小值.

【分析】(1)利用两点间斜率公式求出斜率，由斜率与倾斜角的关系求解即可；

(2)设直线AB的方程，与抛物线方程联立，由|AB|=3,得到相与，的关系，表示出点

。到），轴的距离，然后求解最值即可.

【解答】解：（1）由两点间斜率公式可得/£=空二等=当二冬=/==1，

xi-x2yiyi旷1+为

~44~

所以直线AB的倾斜角为45°；

（2）设直线AB的方程为

联立方程组

U=4x

可得y2-4ty-4/n=0,

所以△=16尸+16">0,即户+加>0,

且yi+”=4f，yiy2=-4m,

2

所以(yi—y2)=16t2+16m,

贝IJ|A8|2=(1+p)(i6?+16/w)=9,

故巾=---j-----t2,

16(产+1)

因为P+121,

又点Q到y轴的距离d=""Z=g(y1+y2)+m

Q

=2t2+m=---o----Ft2

16.2+1)

=~\—+(t2+1)-1单调递增,

I6(r+1)

9

所以当r=0时取的最小值一，

16

9

所以Q到y轴距离的最小值为

【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜

率公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线

的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.

5.在平面直角坐标系xO.y中：

①已知点A（V3,0）,直线%％=竽，动点尸满足到点A的距离与到直线/的距离之

心而

比三；

T2T1T

②已知点S,7分别在X轴，y轴上运动，且|叼=3,动点P满OP=（0S+方。7；

③已知圆C的方程为』+丁=4,直线/为圆C的切线，记点4（遮，0）,B（-b，0）到直

线/的距离分别为4,d2,动点P满足|%|=力，\PB\=di.

（I）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；

（H）记（I）中动点P的轨迹为E,经过点D（I,0）的直线r交E于例，N两点,

若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围.

【分析】（1）分别由①②③条件列出x,y关系式，化简即可得轨迹方程；

（2）设Q（0,和），当/'斜率不存在时，涧=0,当/'斜率存在时，设直线/'的方程

为丫=左（*-1）（k#0）,M（xi，yi）,N（犯，）2）,联立直线/'与椭圆方程，由根与系

数的关系得，加+也=坐「，进而得到线段MN中点（X3,”），则X3,与，线段MN的

1+4F

垂直平分线的方程，令x=0,得和=3^=/—,再求出范围.

1+4F%+妹

J（x-V3）2+y22

【解答】解：（1）若选①，设尸（羽），），根据题意，-----南一,整理得了+尸=1,

1久—3~^

x2

所以动点尸的轨迹方程为丁+/=1；

4

若选②，设尸（x,y）,5（W,0）,T（0,<）则J（%'）2+（"）2=3（*）.

(,_3

因为OTP=520T5+410T7,所以整理得x~2X

y'=3y

22

代入（*）得二+y2=l,所以动点P的轨迹方程为t+y2=l；

44

若选③，设P（x,y）,设直线/与圆相切于点H,贝l」|B4|+|PB|=di+"2=2|OH|=4>2V5=\AB\,

由椭圆定义知点P的轨迹是以4B为焦点的椭圆，所以2a=4,2c=但8|=2百，

—x2、

故。=2,c=V3,b=\,所以动点尸的轨迹方程为一+）2=1；

4

（2）设。（0,刃），当/'斜率不存在时，刈=0,

当/斜率存在时，设直线i的方程为y=Z（X-1）&W0）,M（XI,yi）,N5,*），

y=fc(x—1)

由二，消去y整理得(1+40，-8匹什4(F-1)=0

(彳+y=1

△>0恒成立，X\+X2=----2,

l+4/c

设线段MN中点(心，心)，则%3==4ky3=k(%3-1)=----勺”

21+4/1+4^

设线段MN的垂直平分线的方程为y+—^L=—%1(二工4k^2),

,1+4/k1+4F

3k=3

令x=0得和=

l+4/c2-r+4/c

11Q

当k<0时，-+4k^-4,当且仅当我=一或取等号，所以-*S，o<O，

当40时，-+4^4,当且仅当心/取等号，所以0<和4，

综上，。的纵坐标的取值范围是［-*|］.

【点评】本题考查轨迹方程及直线与椭圆的综合，基本不等式的应用，考查转化思想与

运算求解能力，属于中档题.

6.已知抛物线C：)2=4x.

(1)若C与圆G：(x-4)2+陕=13在第一象限内交于“，N两点，求直线MN的方程；

(2)直线/过点0(-1,0)交C于A,8两点，点