作业基本不等式及应用

第第页基本不等式及应用一、选择题1．(2011年杭州市第二次教学质量检测)若正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最大值为4 B．ab有最小值eq\f(1,4)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2) D．a2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)解析：由基本不等式，得ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(a＋b2－2ab,2)，所以ab≤eq\f(1,4)，故B错；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，故A错；由基本不等式得eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq\r(\f(a＋b,2))＝eq\r(\f(1,2))，即eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，故D错，故选C.答案：C2．已知x<eq\f(1,2)，则函数y＝2x＋eq\f(1,2x－1)的最大值是()A．2B．1C．－1D．－2解析：y＝2x＋eq\f(1,2x－1)＝－[(1－2x)＋eq\f(1,1－2x)]＋1，由x<eq\f(1,2)可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋eq\f(1,1－2x)≥2，当且仅当1－2x＝eq\f(1,1－2x)，即x＝0时取等号，取ymax＝－1.答案：C3．在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝cosx＋eq\f(1,cosx)(0<x<eq\f(π,2))C．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))D．y＝ex＋eq\f(4,ex)－2解析：选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤－2；选项B中，cosx≠1，故最小值不等于2；选项C中，eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq\f(x2＋2＋1,\r(x2＋2))＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))，当x＝0时，ymin＝eq\f(3\r(2),2).答案：D4．(2010年重庆高考)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3 B．4C.eq\f(9,2) D.eq\f(11,2)解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴(x＋2y)＋(eq\f(x＋2y,2))2≥8，解得x＋2y≥4.∴x＋2y的最小值为4.答案：B5．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．5 B．6C．8 D．9解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，其半径为2.因为直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)截圆所得的弦长为4，恰好是圆的直径，故该直线经过圆心(－1,2)，所以a＋b＝1.于是，eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥9，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即b＝2a时等号成立．答案：D6．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则eq\f(xz,y2)的()A．最小值为8 B．最大值为8C．最小值为eq\f(1,8) D．最大值为eq\f(1,8)解析：eq\f(xz,y2)＝eq\f(xz,x＋2z2)＝eq\f(xz,x2＋4xz＋4z2)＝eq\f(1,\f(x,z)＋\f(4z,x)＋4)≤eq\f(1,8).答案：D二、填空题7．若正数a、b满足eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝2，则a＋b的最小值为________．解析：由eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝2，得eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)＝1，a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)(eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b))＝eq\f(1,2)＋2＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)≥eq\f(1,2)＋2＋2＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)8．(2010年山东高考)若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：当x>0时，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，∴a≥eq\f(1,5).答案：[eq\f(1,5)，＋∞)9．(2010年浙江高考)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．解析：由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得xy≥2eq\r(2xy)＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，即(eq\r(xy))2－2eq\r(2)eq\r(xy)－6≥0，∴(eq\r(xy)－3eq\r(2))·(eq\r(xy)＋eq\r(2))≥0.又∵eq\r(xy)>0，∴eq\r(xy)≥3eq\r(2)，即xy≥18.∴xy的最小值为18.答案：18三、解答题10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)设x>－1，求函数y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)的最值．解：(1)∵x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝eq\f(1,2)×2x(a－2x)≤eq\f(1,2)×[eq\f(2x＋a－2x,2)]2＝eq\f(a2,8)当且仅当x＝eq\f(a,4)时取等号，故函数的最大值为eq\f(a2,8).(2)∵x>－1，∴x＋1>0.设x＋1＝z>0，则x＝z－1∴y＝eq\f(z＋4z＋1,z)＝eq\f(z2＋5z＋4,z)＝z＋eq\f(4,z)＋5≥2eq\r(z·\f(4,z))＋5＝9.当且仅当z＝2，即x＝1时上式取等号．∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．11．(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，并指出等号成立的条件．(2)求函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)，x∈(0，eq\f(1,2))的最小值，指出取最小值时x的值．解：(1)证明：∵a，b，x，y都是正数，∴(eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y))(x＋y)＝a2＋b2＋eq\f(b2x,y)＋eq\f(a2y,x)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当eq\f(b2x,y)＝eq\f(a2y,x)，即bx＝ay时取“＝”．∴eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，当且仅当bx＝ay时等号成立．(2)∵0<x<eq\f(1,2)，∴0<1－2x<1.由(1)，知f(x)＝eq\f(4,2x)＋eq\f(9,1－2x)≥eq\f(2＋32,1)＝25，当且仅当3·2x＝2·(1－2x)，即x＝eq\f(1,5)∈(0，eq\f(1,2))时取“＝”．∴x＝eq\f(1,5)时，f(x)的最小值为25.12．(2011年江苏新海中学3月份调研)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？解：(1)由题可得：xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6S＝(x－4)a＋(x－6)×b＝(3x－16)a＝(3x－16)eq\f(y－6,3)＝1832－6x－eq\f(16,3)y(2)解法一：S＝1832－6x－eq\f(16,3)y≤1832－2eq\r(6x×\f(16,3)y)＝1832－480＝1352当且仅当6x＝eq\f(16,3)y，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1352.解法二：S＝1800－6x－eq\f(16,3)×eq\f(1800,x)＋32＝1832－(6x＋eq\f(9600,x))≤1832－2eq\r(6×\f(9600,x))＝1832－480＝1352.当且仅当6x＝eq\f(9600,x)，即x＝40时取等号，S取得最大值．此时y＝eq\f(1800,x)＝45.解法三：设S＝f(x)＝1832－(6x＋eq\f(9600,x))(x>0)f′(x)＝eq\f(9600,x2)－6＝eq\f(640－x40＋x,x)令f′(x)＝0得x＝40当0<x<40时，f′(x)>0，当x>40时，f′(x)<0.∴当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45.[热点预测]13．(1)若正数x，y满足log2(x＋y)＝－1，则logeq\f(1,2)(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))有()A．最大值－3 B．最小值－3C．最小值1 D．最大值1(2)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为________．解析：(1)由log2(x＋y)＝－1，得x＋y＝eq\f(1,2)，于是eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2(eq\f(x＋y,x)＋eq\f(x＋y,y))＝4＋2(eq\f(y,x)＋eq\f(x,y))≥4＋4＝8，当且仅当x＝y＝eq\f(1,4)时，“＝”成立．故logeq\f(1,2)(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))的最大值为logeq\f(1,2)8，即－3，故选A.(2)因为a0＝1，令1－x＝0得x＝1，y＝1，所以函数y＝a1－x(a>0，a≠1)过定点A(1,1)，将A(1,1)代入mx＋ny－1＝0(mn>0)得m＋n＝1，所以(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))×1＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))(m＋n)＝2＋eq\f(m,n)＋eq\f(n,m)≥2＋2＝4.当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时，eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)取最小值4.答案：(1)A(2)4【备选题】1．(2011年东北三省六校联考)若M＝eq\f(a2＋4,a)(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为()A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]C．[4，＋∞)D．[－4,4]解析：∵M＝eq\f(a2＋4,a)＝a＋eq\f(4,a)，当a>0时，M≥4；当a<0时，M≤－4，∴M的取值范围为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故选A.答案：A2．(2011年河南五市联考)已知a、b、c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3eq\r(ab)，则使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围是()A．[eq\f(4,3)，2) B．[0,22)C．[2,23) D．(0,25]解析：因为a、b都是正数，log9(9a＋b)＝log3eq\r(ab)，所以log3(9a＋b)＝log3(ab)，故9a＋b＝ab，即eq\f(9,b)＋eq\f(1,a)＝1，所以4a＋b＝(4a＋b)(eq\f(9,a)＋eq\f(1,a))＝13＋eq\f(36a,b)＋eq\f(b,a)≥13＋2eq\r(\f(36a,b)·\f(b,a))＝25，当且仅当eq\f(36a,b)＝eq\f(b,a)，即b＝6a(a＝eq\f(5,2)，b＝15)时等号成立．而c>0，所以要使4a＋b≥c恒成立，则0<c≤25.答案：D3．(2011年唐山二模)已知正数x、y、z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝eq\f(1＋z,2xyz)的最小值为()A．3 B.eq\f(3\r(3)＋1,2)C．4 D．2(eq\r(2)＋1)解析：∵x2＋y2＝1－z2≥2xy，∴S＝eq\f(1＋z,2xyz)≥eq\f(1＋z,1－z2z)＝eq\f(1,1－zz)＝eq\f(1,－z2＋z)＝eq\f(1,－z－\f(1,2)2＋\f(1,4))≥4，∴当z＝eq\f(1,2)，x＝y＝eq\f(\r(6),4)时，Smin＝4.答案：C4．(2011年山西运城教学检测)记min{a，b}为a，b两数的最小值，当正数x，y变化时，t＝min{x，eq\f(y,x2＋y2)}也在变化，则t的最大值为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．2解析：由题意可得，①若x≤eq\f(y,x2＋y2)，则t＝x，t2＝x2≤x·eq\f(y,x2＋y2)≤eq\f(x