高等数学公式

高等数学复习（基本公式）

高等数学公式

导数公式：

(arcsinx)"=1

(tgx}1=sec2x

J1-X2

(ctgx]'=-CSC2x

，1

(arccosxV)=-

(secx)'=sec"gxJ1-X2

(cscM'=-cscx・c，gx二1

(arctgxY=~Y-

(3)'=ax\na1+X2

邸=一，，，1

(log(arcctgxv)=---------

ax\na1+承

基本积分港：

]tgxdx=-lr|cos|t+CJ—心―-Jseesxdx-tgx+C

」COS2X

,、ctgxdx=lijsinjr+C

jS您Y=JCSC2xdx=-ctgx+C

.secxcbc=lr^secx+tg^+C

Jsecx-tgxdx=secx+C

\cscxdx=ln|cscx-以gj|+C

Jcscx-ctgxdx=-cscx+C

f\3dx1x

J--arctg+C

f,a

Q2+%2、aJa^dx=x+C

fdx=In%-J而

j—————―------+c

X2-a22a..shxdx=chx-\-C

jdxchxdx=shx+C

cl-iinnQ+E-*rur

Q2-X22aa-x

dx.x-

f=arcsin.+C[〃入=ln(iJN+)*C

Ja2-X2aJ%2±“2

式

〃xdx=Jcos«xdx为

n〃一2

0

x〃2

T7/2dx=ln(x++g)+C

22

c

+

三角函数的有理式积分：

.2u1一〃2

smx=,cosx=Fdx=2aL

l+〃2l+〃2l+〃2

1

高等数学复习（基本公式）

一些初等函数:两个重要极限:

「sinx1

双曲正弦:就x=2'二土;hm____=l

2x->0x]

ex+e-x

双曲余弦:c/u：=-------lim(lO=e=2.718281828459045...

双曲正切:也r=s以

chxex+e-x

arshx=ln(x+Jx2+1)

archx=±ln(x+J尢2-1)

>111+x

arthx=^In----

21-x

三角函数公式:

•诱导公式：

sincostgetg

角A\

-a-sinacosa-tga-etga

90°-acosasinaetgatga

900+acosa-sina-etga-tga

180°-asina-cosa-tga-etga

180°+a-sina-cosatgaetga

270°-a-cosa-sinaetgatga

270°+a-cosasina-etga-tga

360°-a-sinacosa-tga-etga

360°+asinacosatgaetga

■和差角公式：•和差化积公式：

..ac•a+Pa-P

sin(a±p)=sincecosP±cosasinPsma+smp-2sm^_cosg_

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp

sina-sin0=2co£：匕sin/^J

，ga±fgB

rg(a±p)=----------声~2~~270

1干尊•丁cosa+cosP=2cos°+Pcos。「

ag(a±B)=c/getg+122

o_.a+p.a-p

cfg。±etgacosa-cosp-2smsm_

22

2

高等数学复习（基本公式）

・倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sima

ctg2a-1cos3a=4COS3a-3cosa

ctg2a=

2ctgd

2tga

42a=

1—g2a

•半角公式:

a,。+

sin3=±H-cosacos_=+cosa

il2V2

212

*7[1-cosa1-cosasinaa11+cosa1+cosasina

1+cosasina1+cosa口占2=V1-cosasina1-cosa

ab

•正弦定理：-----=-----=-----=2R■余弦定理：C2=42+b2-labCOSC

sinAsinBsinC

.兀71

■反三角函数性质：arcsinx=_-arccosxarctgx-__arcctgX

2

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式:

(UV)(«)=f'CkU(n-k)V[k)

k=Qn

,71(77-1),m〃-i)・・・(〃-2+i)

+U(n-2)V+...+U(n-k)V(k)H------FUV(>i)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：-a）

,山…/隹）

柯西中值定理:___________=______

F（母-尸（a）F©

当F（x）=尤时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率:

弧微分公式：ds=J1+y'2dx,其中=tga.

平均曲率竺卜a：从M点到M，点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。

Aadag

M点的曲率:K=lim

J(i+y2)3

A5->0ds

直线：K=0;

半径为a的圆:K=，

Cl

3

高等数学复习(基本公式)

微分方程的相关概念:

一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(>)力=/(刈公的形式，解法：

Jg(y)dy=.f(x}dx得：G(y)=Fix)+。称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成…皿)，即写成:的函数，解法：

cx

、儿j.cludu3/、dx'

设则知=〃+x,〃+=(p(w),z.=duy

一'、------］「一分离变量，积分后将一代替”,

xaxaxdxx<p(w)-wx

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程:力」「⑴y=Q(x)

ax

/当Q(x)=0时,为齐次方程，y=Ce」P(M

、当0(x)wO时，为非齐次方程，y=(jQ(x)e0(xgdx+C)e」P(，S

2、贝努力方程:4L+P(x)y=Q(x)y.,(〃wO,1)

dx

二阶微分方程：

d2ym.dy'.、包"/(x)三。时为齐次

__+P(M__+Qn(x)y=/(%)/

~dx2区\/(x)牛。时为非齐次

二阶常系