第七章 瞬态电路的分析

7.1

换路定则和初始值

7.2一阶电路的零输入响应

7.3一阶电路的零状态响应

第七章瞬态电路的分析

7.5求解一阶电路的三要素公式

7.4一阶电路的全响应

7.6微分电路与积分电路

7.7二阶电路的零输入响应

7.8二阶电路的零状态响应1.换路定则7.1换路定则和初始值当电路的结构和元件的参数发生变化时电路发生换路。在图7－1－1电路中，当开关在时刻闭合，电源接入电路，电路发生了换路。这个电路的换路情况也可用图7－1－2表示。在之前没有电源接入电路。后接入电路。

1.7.1换路定则若电路在时刻换路，换路前瞬间为，换路后瞬间为，电容电压和电感电流换路时保持不变即（7-1-1）

或者用电路的电荷和电感的磁链表示（7-1-2）

式7－1－1和式7－1－2称为换路定则。

1.7.1换路定则换路定则表明电容电流为有限值时，电容上的电荷和电压在换路瞬间是连续的而不突变。电感电压为有限值时，电感中的磁链和电流在换路瞬间是连续的而不突变。1.2、电路的初始值计算电路在时刻发生换路，换路前储能元件电容电压、电感电流称为初始状态。和各阶导数的值如

、等，称为初始值或初始条件。初始值通过换路前瞬间、值和换路定则来求得。初始状态换路后瞬间各电量值如、、、初始值1.2、电路的初始值计算（1）先求出

、值。（2）利用换路定则求出、的值，，。（3）画出时刻的等效电路，用电流源替代，用电压源替代，求出待求的、、、等值。1.例7－1－1电路的初始值计算电路如图7－1－3（a）所示,开关闭合之前电路已处于稳定状态，开关在时刻闭合，求

、和。1.例7－1－1解：

开关打开，电路处于稳定状态，时根据换路定则时的等效电路如图7－1－3（b）所示1.例7－1－2

电路如图（a）所示，电路处于稳态，当时开关打开，求开关打开瞬间、、、和的值。1.例7－1－2

解：

时开关闭合，电路已处于稳态，等效电路如图（b）所示，求和据换路定则1.例7－1－2当时开关打开，等效电路如图（c）所示1.7.2一阶电路的零输入响应含有一个独立的动态元件的电路，描述这样电路的方程是一阶微分方程，该电路称为一阶电路。含有一个电容元件或一个电感元件的电路都是一阶电路。没有外加电源，由电容和电感元件储存的能量激励电路产生的响应称为零输入响应。1.7．2．1

RC电路的零输入的响应图示电路，已知电容在开关闭合前已储存有电荷，开关在时刻闭合，电容电压，可以推测电路的工作过程。随后电容储存的电荷通过电阻放电。电容放电结束，此时换路时换路瞬间电容电压保持不变，1.当开关闭合后，由KVL可得又，代入上式可得（7－2－1）

7．2．1

RC电路的零输入的响应分析电容通过电阻的放电规律1.用经典法解微分方程，首先确定初始值齐次微分方程的通解（7－2－2）

将式（7－2－2）代入（7－2－1）可得得到特征方程7．2．1

RC电路的零输入的响应1.将特征根代入式（7－2－2）得方程的通解在用初始值确定待定系数A或写成（7－2－3）

7．2．1

RC电路的零输入的响应1.其中称为电路的时间常数电路中的电流或写成（7－2－4）

由式（7－2－3），（7－2－4）可归纳出求解一阶电路零输入响应的公式7．2．1

RC电路的零输入的响应1.7．2．1

RC电路的零输入的响应为后任一瞬时电路的响应；为时刻的响应值；为一阶电路的时间常数。

1.7．2．1

RC电路的零输入的响应从曲线的整个时序看出电路经历了三个工作状态，电路处于原稳态

；电路进入瞬态（过度过程），；当时，电路达到新稳态电路响应和的波形

1.

7．2．2

RL电路的零输入响应在RL电路中，没有外部激励源作用只是由电感初始储能引起的响应，称为RL电路的零输入响应。图（a)所示电路，开关打开之前电路处于稳定状态时开关打开，等效电路如图(b)所示，根据换路定则1.7．2．2

RL电路的零输入响应由KVL得代入上式得一阶齐次微分方程又特征方程1.7．2．2

RL电路的零输入响应特征根

微分方程齐次解

由初始条件确定A所以

或表示为

（7-2-1）

其中时间系数1.7．2．2

RL电路的零输入响应式（7-2-1）符合一阶电路的零输入响应公式电感电压和电阻电压分别为

曲线如图所示。1.7．2．2

RL电路的零输入响应的瞬态曲线都以指数衰减规律变化。1.7．2．3一阶电路的时间常数

在解微分方程时求出的特征根，称为电路的固有频率或自然频率。

R的单位用欧姆，C的单位用法拉，的单位为秒。称为时间常数。其中L单位用亨利，R单位用欧姆，的单位为秒。在RL单路中，与都是电路的固有参数，反映了电路的特性。在RC回路中1.7．2．3一阶电路的时间常数

值的大小决定了指数函数的衰减速度，越大，衰减越慢，越小，衰减越快。图给出了三种不同时间常数下的变化曲线。1.7．2．3一阶电路的时间常数

越大说明R或C越大。从物理概念上讲，如C一定，电阻R愈大，则放电电流的起始值就愈小，放电所需时间长，放电速度慢；如

，R一定，则放电电流的起始值一定，C愈大，电容起始储存的电荷愈多，放电需要的时间就愈长。从理论上讲当时按指数规律变化的电量衰减到零，电路的放电结束，瞬态持续的时间是0～∞，实际中取～5），电量已衰减到起始值的

～

0.7%，认为放电完毕，瞬态结束。1.7．2．3一阶电路的时间常数

零输入响应，当时，，即当电量下降到初始值的时，时间t对应的值是

，如图7—2—6所示，如果作t=0时曲线的切线，切线与t轴的交点在处。所以可由电路响应曲线用作图方法求出时间常数。1.7．3一阶电路的零状态响应

电路的初始状态为零由外加激励引起的响应称为零状态响应。7．3．1

RC电路的零状态响应7．3．2

RL电路的零状态响应1.7．3．1

RC电路的零状态响应在图中电容的初始储能为零，开关在t=0时闭合，时，此刻电容相当于短路，随后电源给电容充电,分析时的电路,列写KVL方程1.7．3．1

RC电路的零状态响应元件的约束关系代入上式，得整理后，得（7－3－1）1.7．3．1

RC电路的零状态响应式（7－3－1）是非齐次一阶微分方程，方程的解包括非齐次方程的特解和齐次方程的解即齐次方程的解方程的特解与激励同形式为常数1.7．3．1

RC电路的零状态响应代入原方程，得原方程（7-3-1）的通解再用初始值确定待定系数A

方程的解（7—3—2）

1.7．3．1

RC电路的零状态响应回路电流和的曲线如图所示，在时C充电，从0开始指数上升，时，达到稳态。从开始指数下降，时。1.7．3．2

RL电路的零状态响应图示电路,时合上开关,电源接入电路,分析电路的过度过程如下.：

当时1.7．3．2

RL电路的零状态响应

时由KVL可列写出微分方程(7－3－3)

方程解

(7－3－4)齐次解

（7－3－5）

1.7．3．2

RL电路的零状态响应特解

代入方程式（7－3－3），得代入式（7－3－4）得1.7．3．2

RL电路的零状态响应由初始条件可求得原方程的解（7—3—6）

1.7．3．2

RL电路的零状态响应零状态的响应曲线如图所示，和按指数规律变化。电流初始值随着电源给电感充电指数上升，指数下降，当时，过度过程结束，电路达到新的稳态，电感等效成短路，，。1.7．3．2

RL电路的零状态响应由式（7—3—2）和（7—3—6）可以总结出，求解一阶电路零状态响应和的公式为后，任一瞬时电容电压或电感电流；为时刻的电容电压或电感电流的终值；为一阶电路的时间常数。1.7．4一阶电路的全响应

一阶电路换路后由外部激励和初始储能共同作用引起的响应，称为一阶电路的全响应。图示电路，电路初始储能

时开关闭合，分析

的情况。初始值列写电路的微分方程（7－4－1）1.7．4一阶电路的全响应

解这个初始值不为零的非齐次微分方程，可得电路的全响应为齐次解+特解即

特解

代入式（7－4－1）

齐次解全解1.7．4一阶电路的全响应

代入初始条件确定A电路的全响应（7－4－2）

响应曲线如图所示1.7．4一阶电路的全响应

加激励同形式。全响应＝自由响应＋强迫响应自由响应，当时，该响应分量为零，所以也叫瞬态响应。当激励为直流或正弦周期信号时，与激励同形式的强迫响应叫稳定响应。因此全响应＝瞬态响应＋稳态响应是强迫响应，是由外加激励引起的，与外是自由响应，描述电路的瞬态程；1.将全响应重新组合为（7－4－3）

其中是电路的零输入响应，是零状态响应，响应曲线如图所示。全响应＝零输入响应＋零状态响应

7．4一阶电路的全响应

所以1.7．4一阶电路的全响应

用电路图可描述如下：1.7．4一阶电路的全响应

例7－4－1

图示电路，当时电路已处于稳态，时打开，合上，求时和，并画出波形图。1.7．4一阶电路的全响应

解：

时，闭合打开，电路已处于稳态时打开闭合电路的响应是全响应全响应=零输入响应+零状态响应1.7．4一阶电路的全响应

先求零输入响应再求零状态响应1.7．5求解一阶电路的三要素公式

恒定激励下求解一阶电路的三要素公式为

(7－5－1)式中

是一阶电路后的任意时刻的任意响应；

是的初始值，求法见7－2节；是的终值，将电路中电容开路，电感短路算出的响应值；

1.7．5求解一阶电路的三要素公式

是时间常数，RC电路中，RL电路是从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻。、、是公式中的三要素。1.7．5求解一阶电路的三要素公式

例7－5－1

电路如图7－5－1所示，时开关闭合，开关闭合之前电路已处于稳态，求时。1.7．5求解一阶电路的三要素公式

解：电路的激励是直流，属于恒定激励，可以用三要素公式求解（1）求初始值时由换路定则可得由时电路可求出1.7．5求解一阶电路的三要素公式

（2）求终值时L等效为短路（3）求时间常数由电感L两端看进去的戴维南等效电阻1.7．5求解一阶电路的三要素公式

（4）代入三要素公式求得和的变化曲线如图所示1.7．5求解一阶电路的三要素公式

例7－5－2

图（a）所示电路，时电路处于稳态，时开关闭合，求时的和。解：（1）求初值时，据换路定则可求得时开关合上，由图b求出1.7．5求解一阶电路的三要素公式

（2）求终值时，C可视为开路

又

代入上式1.7．5求解一阶电路的三要素公式

（3）求值由电路求出1.7．5求解一阶电路的三要素公式

（4）代入三要素公式得出

或者

1.7．5求解一阶电路的三要素公式

和变化曲线如图所示1.7．6

RC，

RL微分电路与积分电路

微分和积分电路是脉冲电路中经常使用的电路，顾名思义，电路因能实现微分运算和积分运算而得名，RC，RL微分积分电路是一阶电路的瞬态分析的实际应用电路。1.7．6．1

RC，RL微分电路一、RC微分电路分析图示电路，列写KVL方程

1.

RC微分电路若RC取值非常非常小

与之相比可忽略则于是有

上式表明，输出电压近似输入电压的微分，故称该电路为微分电路。1.

RC微分电路1.RＣ微分电路输出为矩形脉冲，讨论各响应电压的情况如下：当时当时1.RＣ微分电路当时

由于取值非常非常小，电容充电速度很快。当时1.RＣ微分电路当时

从输入、输出电压波形可以看出：微分电路起到了波形变换作用，将输入的矩形脉冲变换成输出的一对尖脉冲。1.RL微分电路RL微分电路电路，请读者自行完成分析过程。1.7．6．2

RC、RL积分电路图所示的电路在时间常数远大于输入脉冲宽度T时，为积分电路。本节以RC积分电路为例进行分析。列写图(a)电路的KVL方程1.RC积分电路当RC取值非常非常大，上式近似为两边对t积分并整理为输出电压近似输入电压的积分，故称为积分电路。1.当输入矩形脉冲时，讨论各响应的情况如下：当时，当时，当时，给电容C充电，

由于，所以指数函数变化速度很慢，其波形如图所示。RC积分电路1.RC积分电路当时，当时，电容放电，指数下降1.RC积分电路从输入、输出电压波形可以看出：积分电路起到了波形变换作用，将输入的矩形脉冲变换成输出的近似三角脉冲。1.7．7二阶电路的零输入响应

RLC串联电路，设开关闭合前电容有初始储能（设）。

时开关闭合，此时以后电容将通过电阻和电感放电直至放电结束。以下分析电容的放电规律。1.7．7二阶电路的零输入响应

时根据KVL可得因代入上式并整理可得1.7．7二阶电路的零输入响应

其特征方程为设特征根为称为二阶电路的自然频率（固有频率），由于有两个自然频率，所以二阶电路的零输入响应包含两项指数函数分量1.7．7二阶电路的零输入响应

（7－7－1）

由初始条件来确定（7－7－2）

则1.7．7二阶电路的零输入响应

联立上式并求得由于R,L,C数值不同，特征根和现四种不同情况：可能出(a)当时，是一对共轭虚数；(b)当时，即时，，一对实部为负的共轭复数；

为1.7．7二阶电路的零输入响应

(c)当时，即时，，为不相等的负实数；(d)当时，即时，，为相等的负实数。若，的量纲与电阻相同，称阻尼电阻，则电路中的电阻为称为无阻尼，称为欠阻尼，称为临界阻尼，称为过阻尼。1.7．7二阶电路的零输入响应

(a)、(b)、(c)三种情况电路的响应为

（7－7－3）

对于上述四种情况分别讨论如下：1、，无阻尼状态

代入7－7－3式1.7．7二阶电路的零输入响应

电感电流和电容电压分别为

（7－7－4）

其中量纲为，称为角频率（7－7－5）1.7．7二阶电路的零输入响应

和波形，电路的响应是按等幅正弦方式变化的，电路为

1.7．7二阶电路的零输入响应

从物理意义来看，电容C中贮存的电场能量通过给电感L充电转化为磁场能量存于电感中，下降增大，下降到零时，电感储能幅度达到最大。随后电感有反向给电容充电下降增大，

下降到零时，电容储能幅度达到最大。这样电路的储能在电场和磁场之间往复不已，由于电路中无损耗，振荡将无衰减的进行下去。所以也称为无阻尼自由振荡或谐振。1.7．7二阶电路的零输入响应

2、欠阻尼状态由于将特征根是一对共轭复数。令则1.7．7二阶电路的零输入响应

代入式（7－7－3）可得响应波形如图所示由波形看出电路呈衰减振荡状态。这种状态是由电容释放能量，电感（吸收）存储能量，电阻消耗能量；电容，电感释放能量，电阻消耗能量所形成。1.7．7二阶电路的零输入响应

电容电感电阻0<ωt<a释放吸收消耗a<ωt<b释放释放消耗b<ωt<

吸收释放消耗ωt=a释放吸收最大消耗ωt=b0释放消耗ωt=

吸收0消耗电路的能量转换状态列表1.7．7二阶电路的零输入响应

3、

，过阻尼状态由于特征根是两个不相等的负实根。电感电流和电容电压为1.7．7二阶电路的零输入响应

1.7．7二阶电路的零输入响应

波形如图所示,过阻尼时，电路处于非振荡放电状态。从波形图看出，设电感电流达最大值的时刻时电容释放能量，电感吸收能量，建立磁场，电阻消耗能量；

时，电容仍释放能量直至为零，电感释放能量直至为零，电阻消耗电磁能量。1.7．7二阶电路的零输入响应

4、，临界阻尼状态由得特征根为是一对重实根微分方程的通解为由初始条件确定和1.7．7二阶电路的零输入响应

1.7．7二阶电路的零输入响应

波形图电路处于