2021年上海市长宁区中考数学模拟试卷（附答案）

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【中考冲刺】2021年上海市长宁区中考数学模拟试卷（附答

案）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知在△ABC中，ZC=90°,ZB=50°,AB=10,那么BC的长为（）

A.10cos50°B.10sin50°C.10tan50°D.10cot50°

2.下列命题中，说法正确的是（）

A.四条边对应成比例的两个四边形相似

B.四个内角对应相等的两个四边形相似

C.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似

D.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似

3.已知q、e2是两个单位向量，向量。=3,,匕=一3弓，那么下列结论正确的是（）

l

A.ye?B.a=-bCD•忖=一3|

4.己知二次函数y=云+c（〃w0）的图象如图所示，那么〃、c满足（）

C.a<0,c>0D.〃V0,c<0

5.已知P,Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10,则PQ长为（）

A.5(75-1)B.5(75+1)C.10(75-2)-D.5(3-6)

6.如图，己知在ABC中，点。、点E是边BC上的两点，连接AZXAE,且AZ）=AE,

如果ABEsCBA,那么下列等式错误的是（）

A.AB2=BE，BCB.CD-AB=AD>AC

C.AE1=CD>BED.AB»AC=BE-CD

二、填空题

x1x+y

7.已知一=7；,那么一1的值为_____________.

y2x-y

8.计算：5(24—/7)+/?=.

9.计算：A/2cos450+sin260°=•

10.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个三角形的周长之比

为.

11.将抛物线y=2/-1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是

12.如图，一辆汽车沿着坡度为i=1：、Q的斜坡向下行驶50米，则它距离地面的垂直

高度下降了米.

13.已知抛物线y=Y-2x+c经过点A(—l,y)和8(2,%)，比较X与必的大小：X

必(选择“〉”或“〈”或“="填入空格).

14.如图，已知AC//EF//BD.如果AE：EB=2：3,CF=6.那么CD的长等于.

15.已知，二次函数=的部分对应值如下表，则3)=

试卷第2页，总6页

X-2-1012345

y50-3-4-30512

16.如图，点G为△A8C的重心.如果AG=CG,BG=2,4c=4,那么AB的长等于

17.如图，矩形ABC。沿对角线BQ翻折后，点C落在点E处.联结CE交边于点

F.如果。尸=1,BC=4,那么AE的长等于.

18.如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这

3

个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABC。中，AB=AC=6，AD=CD^-,

点E、点厂分别是边A£>,边8c上的中点.如果AC是凸四边形ABC。的相似对角线，

那么EF的长等于.

三、解答题

19.已知二次函数)二一万/一工+万.

(1)用配方法把该二次函数的解析式化为y=a(x+mf+k的形式；

(2)写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值)，随自变量

x的变化而变化的情况.

20.如图，四边形A8CD是平行四边形，点E是边A。的中点AC、8E相交于点。.设

BA=a,CB=b•

AE

（1）试用a、b表示BO；

（2）在图中作出co在CB、c。上的分向量，并直接用“、b表示（不要求写

作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）

4/7AP

21.如图，在A3C中，点。在边A8上，点E、点尸在边AC上，且

FEEC

lDE

（2）如果AF=2,EF=4,AB=6y/3,求'~~'的值.

BE

22.某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意

图.身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面历处时“测温门”开始显示额头温度,

此时在额头B处测得4的仰角为30。；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度,

此时在额头C处测得A的仰角为53。.如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98

米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计,

sin53°~0.8,cos53°=0.6,cot53°~0.75,»1.73•）

23.已知：如图，在RSABC中，/ACB=90。，CH1AB,垂足为点H.点D在边

BC上，联结AD,交CH于点E,且CE=CD.

试卷第4页，总6页

c

(1)求证：△ACE^AABD；

(2)求证：4ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项.

24.已知在平面直角坐标系屹y中，抛物线尸渡+法+2经过点A(—3,-6)、8(6,0),

与y轴交于点C.

y八

1-

।।।।।।_____।।।।।।.

o1X

(1)求抛物线的表达式;

(2)点0是抛物线上的点，且位于线段8c上方，联结CD.

①如果点。的横坐标为2.求cot/OCB的值;

②如果/£»CB=2NCBO,求点。的坐标.

25.己知，在矩形4BC£＞中，点M是边AB上的一个点(与点A、B不重合)，联结CM,

作NCMF=90。，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F.点G为线段

的中点，联结OG.

图2

(1)如图1,如果AO=AM=4,当点E与点G重合时，求AMFC的面积;

(2)如图2,如果AM=2,BM=4.当点G在矩形48CD内部时，设AO=x,DG2=y,

求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)如果4M=6,CD=8,ZF=ZEDG,求线段AO的长.(直接写出计算结果)

试卷第6页，总6页

参考答案

1.A

【分析】

根据三角函数的定义即可求解.

【详解】

用军：•cosB—,

AB

，BC=ABcosB=10cos50°.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查三角函数的定义.余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做NA的余弦，记

作cosA.即cosA=—.

C

2.D

【分析】

根据三角形相似和相似多边形的判定解答.

【详解】

A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；

B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；

C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；

D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大.

3.C

【分析】

由弓、是两个单位向量的方向不确定，从而判定A与B错误；又由平面向量模的知识,

即可判定选项C正确，选项D错误.

答案第1页，总21页

【详解】

解：•.•弓、4是两个单位向量，方向不一定相同，，与与e?不一定相等，选项A错误;

:q、6是两个单位向量，方向不一定相同，，〃与-不一定相等，选项B错误;

tr

=3,,选项C正确，选项D错误;

故选：C

【点睛】

本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向

性的.

4.C

【分析】

根据二次函数图象开口向下确定出。为负数，再根据二次函数图象与｝‘轴的交点即可确定出

C的正负情况，答案可解.

【详解】

解：•.•二次函数图象开口向下,

a<0,

•••二次函数图象与）'轴的正半轴相交,

c>0,

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与y

轴的交点与系数的关系是解题的关键.

5.C

【分析】

画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ、P8的长度，再根据

PQ=AQ+PB-AB即可求出PQ的长度.

【详解】

解：如图,

P0B

答案第2页，总21页

根据黄金分割点的概念，可知殁=箜=避二1,

ABAB2

：.AQ=PB,

AB=10,

JAQ=PB=xlO=5布-5,

・•.PQ=AQ+PB-AB=56-5+5百-5-10=10君-20=10（后-2）.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键.

6.D

【分析】

根据相似三角形的判定及性质对每一个选项一一证明即可.

【详解】

解：VABE^CBA,

ABBE//,

・・——=——,NBAE=NC,NAEB=/CAB,

BCAB

.•・A^nBEFC,（故选项A正确）

9

：AD=AEf

：.ZADE=ZAEDf

ZADE=ZCAB9

又,.・NC=NC,

・・・CQAsCAB,

.CDAD

AC-AFJ

・・・C7>AB=AQ・AC,（故选项B正确）

VZADE=ZAED,NBAE=NC,

：.ABEsCAD,

.AE_BE

••而一而‘

：.AE-AD=CD-BE,

答案第3页，总21页

又：AO=AE,

.".AE^^CD-BE,（故选项C正确）

,?/ADE=/AEDV90。，

NAOB=NAEC>90。，

：.AB>AD,AC>AE,

.".AB-AOAE1,

即A8・AC>CD'BE,（故选项D错误）

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键.

7.-3

【分析】

根据已知得到y=2无，代入所求式子中计算即可.

【详解】

X1

解：:―二彳，

y2

/.y=2xf

x+yx+2x3x.

；・-----=------=—=-3•

x-yx-2x-x

故答案为：-3.

【点睛】

本题考查了求分式的值，利用已知得到y=2x后再整体代入是解题的关键.

r1r

8.a+—b

2

【分析】

去括号，合并同类向量即可解得.

【详解】

-（2a-b}+b-a-—b+b-a+—b

2V>22

【点睛】

答案第4页，总21页

本题考查了向量的线性运算，属于基础题.

7

9.-

4

【分析】

根据cos45o=1,疝60。=正代入运算即可.

22

【详解】

解：原式=JE

=14

_7

-4

7

故答案为y

【点睛】

此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三

角函数值.

10.5:4

【分析】

根据相似三角形的性质可直接得出结论.

【详解】

解：；两个相似三角形的对应中线的比为5：4,

.其相似比为5：4,

这两个相似三角形的周长的比为5：4.

故答案为:5：4.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的

关键.

答案第5页，总21页

11.y=2x2—4

【分析】

函数图象上下平移时，根据“上加下减”求解即可.

【详解】

抛物线y=2/—1向下平移3个单位后表达式为：y=2f—i—3=2/一4,

故答案为：y=2x2-4.

【点睛】

本题考查函数图象平移，熟记平移法则是解题关键.

12.25

【分析】

设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可.

【详解】

解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了6x米.

根据勾股定理可得:X2+(6x)2=502.

解得x=25,

即它距离地面的垂直高度下降了25米.

【点睛】

此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tana(坡度)=垂直高度+水平宽

度，综合利用了勾股定理.

13.>

【分析】

把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得y与g的值，然后比较它们的

大小即可.

【详解】

抛物线y=f-2x+C经过点A(-l,x)和6(2,y2),

二y=3+c,y2=c,

y-%=3>o.

答案第6页，总21页

X>必，

故答案为：>.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数关

系式.

14.15

【分析】

根据平行线分线段成比例定理列出比例式首先求得CF的长，再求得DC的长.

【详解】

解：'JAC//EF//BD,CF=6,

AECF2

~BE~~DF~3,

，DF=9,

，CD=DF+CF=9+6=15.

故答案是：15.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，解题的关键是注意数形结合思想的

应用.

15.12

【分析】

根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x=-3时的函数值与x=5时的函数值相同.

【详解】

由图表数据可知，抛物线的对称轴为：x=l

且f(-3)=f(5)=12.

故答案为12.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解

题的关键.

16.V13

【分析】

答案第7页，总21页

先延长8G交AC与点Q,再根据重心的性质得出8。=3；证AAOGMACCG,得出BD1.AC,

再利用勾股定理求出AB的长.

【详解】

解：（如图）延长BG交AC与点。，

■:点G为4ABC的重心，BG=2,

：.AD=CD,BD=3,

又；AG=CG,GD=GD,

：.\ADG=\CDG,

二/ADG=NCDG,

：.BDA.AC,

"：AC=4,

：.AD=2,

AD2+BD2=>/22+32=713>

故答案为：713.

【点睛】

本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出B。、

A。的长以及证明&4DGMACDG是解决本题的关键.

17.

5

【分析】

由折叠的性质可得MABCDMMABED,由矩形的性质可证明QADABMMABCQ,故

可得RtM）AB=RMED,再证明放△BCDRfAC。77求得CD=2,在RfAAE/7中由勾

股定理可得解.

【详解】

答案第8页，总21页

解：：四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到,

:.RtkBCD勺Rt\BED，CELBD,

：.AD=BC=4,AB=CD=ED,

:四边形ABCD是矩形，

，AD=BC,AB=CD,

又BD=DB

RtADAB兰RtABCD

：.RtADABMRtkBED

:.AB=ED,NABD=NEDB

，四边形ABDE是等腰梯形，

CE1BD,AE//BD

：.CE1AE,ZEAD=ZADB=ZDBC

'：ZDBC+ZFCB=90°,ZFBC+ZFCD=90°

ZDBC=ZFCD

:.Rt\BCDRt\CDF

.FDCD1CD

••----=-----f即----=----

CDBCCD4

・・・CO=2或-2（舍去）

CD21

在Rt\DCB中，tan/DBC==—=—,

BC42

,:NEAD=/DBC

/.tanZEAD=—

2

在RfAAEF中，EF=-AE

2

由勾股定理得，AE?=AF?-EF?

即A6=（A。一/。）2一（；AE）?

/.AE2=（4-l）2--AE2

4

解得：AE=|0.

故答案为：逑.

5

答案第9页，总21页

【点睛】

本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称

变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

.8.回

4

【分析】

根据相似三角形的判定及性质可得BC,ZACB=ZCAD,继而可证根据等腰

13

三角形三线合一性质可得CF=BF=-8C=1,AE=-,NAFC=NFAE=90。，继而在

24

RSAFC中，根据勾股定理可得AF,继而在RSAEF中，由勾股定理即可求解.

【详解】

解：VAB=AC,DA=DC

△ABCs△DAC

AAC2^BC-AD，ZACB=ACAD

3

vAB=AC=V3.AD=CD=-,

：.BC=2

又NAC8=NC4。，

BC//AD,

VAB=AC

又点瓜点尸分别是边40，边BC上的中点.

13

，AFJ_BC,AF1AD,CF=BF=-8C=1,AE=~,

24

即/AFC=NFAE=90°,

在RtaAFC中，由勾股定理，得：

AF={AC?-CF?=J(可一《=V2,

...在RSAEF中，由勾股定理，得：

JA产+AE?=J(可+(?)=苧

答案第10页，总21页

【点睛】

本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是

求出综合利用所学知识求得BC,AF的长度.

19.(1)y=--(x+l)+4；(2)开口向下,顶点(—1,4),对称轴直线x=-l,xW-1时，

y随％增大而增大；x>-i时，y随％增大而减小.

【分析】

(1)根据配方法，先提取-然后配成完全平方式，整理即可；

2

(2)根据a是负数以及顶点式解析式分别求解即可.

【详解】

解:(l)y=一；(炉+2%)+g=-；(x+l)2+4

(2)①二次函数开口方向向下，

②顶点坐标(一1,4),对称轴直线％=-1,

③烂-1时，)随％增大而增大；x>-i时，随％增大而减小.

【点睛】

本题考查化一般式为顶点式和二次函数的性质.熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式

写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键.

2122

20.(1)BO=—a—b；(2)见解析，CO=—bH—a

3333

【分析】

(1)首先证明8。=18后，求出BE即可求解；

2

(2)证明CO=§C4,求出CA即可解决问题.

答案第11页，总21页

【详解】

解（1）；AD//BC

.OEAE\

：.BO=2BE

3

(2)VAE/7BC,

AOAE1

>•----------------------——

COCB2

：.CO=-CA,

3

CO^-CA=-(CB+BA\^-(b+a\=-h+-a

33、,3、,33

如图所示，CO在CB、CO上的分向量分别为CN和CM-

【点睛】

本题考查作图一复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意,

灵活运用所学知识点.

21.（1）见解析；（2）且

3

【分析】

ATAnAp

（1）由平行线分线段成比例，得到==/=K，即可得到。F〃BE；

ECBDFE

（2）根据题意，由相似三角形的判定定理，先证明即可求出匹的值.

BE

【详解】

证明：（1）DEIIBC,

答案第12页，总21页

.AEAD

••一，

ECBD

AFAE

•~FE^~EC9

.ADAF

••=，

BDFE

：.DF//BE；

（2）-：AF=2,EF=4,AB=65

.ADAF_2

•（-----,

BDFE42

AD=26,BD=4A/3，AE=AF+EF=6,

.AD2也也AE6百

••---------------,--------="—---,

AE63AB6V33

.ADAE

又NA=NA,

△ADEs/^AEB,

.DEAEV3

••--=----=----;

BEAB3

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例.解题的关键是利用平行线得出

相似三角形及比例，从而进行解题.

22.2.6

【分析】

延长BC交AD于点E,构造直角△ABE和矩形EDNC,设AE=x米，通过解直角三角形分

别求出BE、CE的长度，继而求出BC,进而可得关于x的方程，解方程求得x,即AE,继

而即可求解.

【详解】

解：延长BC交AD于点E,

：BM=CN且CN_LDM,BM±DM

；.BM〃CN,

二四边形BCNM是平行四边形,

答案第13页，总21页

VZCNM=ZBMN=90°

，四边形BCNM是矩形，

同理：四边形CEDN是矩形，

・・・DE=CN=BM=1.6米

ZAEC=90°

VBC=MN,

设AE=x米，

AEAE

Vtan53°=-----,tan30°=------,

CEBE

xx

；.CE=----------M.75x,BE=---------\.13x,

tan53°tan30°

ABC=BE-CE=1.73x-0.75x=0.98x,

又MN=0.98,

.,.0.98x=0.98,

；.x=1,

即AE=1米

：DE=CN=BM=1.6米

，AE+DE=1+1.6=2.6米

答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到矩形的判定及其性质解题的关键是做

辅助线构造直角三角形并解直角三角形.

23.(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)先证再证=利用相似三角形的判定求解即可；

答案第14页，总21页

SAESCD

（2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出产和丁侬=方"，再根

据△ACEsaABD,得出结果.

【详解】

证明（1）VZACB=90°,CH±AB,

AZCHA=90°=ZACB,

・・・NACH+NCAH=NCBH+NCAH,

・・・ZACH=ZB,

・；CE=CD,

：.NCED=NCDE,

,?ZCED+ZAEC=ZCDE+ZADB=180°,

・・・ZAEC=ZADB,

AfACE^ABD；

（2）:△ACE与△ACD同高，

♦SACE二AE

SACDAO

•:△ACD与△ABD同高，

・SACD二CD

ABDBD

VCD=CE,

・SAC。=CE

SABDBD

VAACE^AABD,

.AE_CE

・S^E:SAC。

*'q5，

■DABD

•••△ACD的面积是^ACE的面积与^ABD的面积的比例中项.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.

答案第15页，总21页

24.(1)y=」x2+3x+2；⑵①L②

332I3J

【分析】

(1)根据点A,B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

(2)①根据(1)中所求抛物线表达式，可以得到点8、C、。的坐标，根据坐标系中两

点间距离公式求出。3、BC、。。的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot/OCB

的值；

②过。作X轴的平行线，过。作)'轴平行线交于根据平行线的性质推导出

NDCH=NCBO,从而得出三角形相似，利用相似比求出点。的坐标.

【详解】

(1)将A(—3,—6)、8(6,0)代入尸加+必+2,

9。一3〃+2=—6

得，＜‘八7

36〃+6〃+2=0

1

a——

解得：]3,

b=—

[3

1,5

抛物线的表达式为y=x?+]x+2；

(2)①当x=2时，y=--x22+-x2+2=4,

33

当x=0时，y=2,

.•.£)(2,4),C(0,2),8(6,0),

；•DB=7(2-6)2+(4-0)2=472，

BC=7(6-0)2+(0-2)2=2A/IO,

DC=42-0)2+(4-21=2&,

BD2+CD2=BC2,

：.BOC为直角三角形，其中NO=90°,

DB4722

答案第16页，总21页

②过C作％轴的平行线，

过。作y轴平行线交于“，

，[5、

设点D坐标为+-m+2，则”（加,2）,

I33J

...DH——1机24—5m,

33

•••ZDCB=2NCB0=2/BCH=2ZDCH,

:.ZDCH=NCBO,

NCHD=NBOC=90。,

:ACHDABOC,

C（0,2）,8（6,0）,

OC—2,OB—6,

.DHCO

•«------——

CHBO3t

1o5

——m~+—mi

・•・33j

m3

解得:m=4,m=0（舍），

答案第17页，总21页

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、

余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答