2021-2022学年第一学期人教版九年级数学期末模拟卷二（详解版）

2021-2022学年第一学期人教版九年级数学期末模拟卷二

(详解版)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题(共30分)

1.把方程E+3=4x配方，得()

A.(x-2)2=1B.(X+2)2=28

C.(x-2)2=7D.(x+2)2=21

【答案】A

【详解】

略

2.若"是方程Y+x-l=0的根，贝!)/+,"+2020的值为()

A.2022B.2021C.2019D.2018

【答案】B

【分析】

利用一元二次方程根的定义，代入变形计算即可.

【详解】

”是方程+X-1=0的根，

m2+m—1=0，

-•-m2'+m=«\i

/•/+加+2020=2021,

故选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的定义，熟练把方程的根转化为所含字母的一元二次方程是

解题的关键.

3.已知二次函数,丫=©2+。(。>0),如果当+l时，p<y<q,则下列说法

正确的是()

A.4有最大值，也有最小值B.4一〃有最大值，没有最小值

C.没有最大值，有最小值D.〃没有最大值，也没有最小值

【答案】C

【分析】

根据二次函数的性质，表示出〃、4的值，即可求解.

【详解】

解：•.,二次函数尸加+。（。＞0）.

•••开口向上，对称轴为x=0,

当xNO时，y随X增大而增大.

:.q_p=y=a（m+1）2+c—am2—c=2am+a.

.-q-p=2am+a.即4一〃是m的一次函数.

a＞0,

二一次函数上升趋势.

••国一〃有最小值，没有最大值.

故选：c.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，一次函数的性质.关键在于表示出g-p的代数值，从而转

化为一次函数的性质.比较综合.

4.如图，抛物线＞=以2+法+。（〃*0）与X轴交于点（一3,0）,其对称轴为直线l=-3，结

合图象分析下列结论：①必c＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，）'随x的增大而增大；

④一元二次方程cV+bx+a=O的两根分别为%=-；,x2=1；⑤若加,〃（机＜〃）为方程

。（8+3乂》一2）+3=0的两个根，贝］用＜—3且及＞2,其中正确的结论有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正

确，从而可以解答本题.

【详解】

解：由函数图象可得，

a<0,b<0,c>0,

则。儿,0,故①正确；

・.・x=—3时，y=9a-3Z?+c=0,

/.6ci+c=0,

c=-6a,

.\3a+c=3a-6a=-3a>0,故②正确；

由图象可知，当时，>随x的增大而增大，当-：<x<o时，>随方的增大而减

22

小，故③错误；

,••抛物线>=加+法+以4*0)与》轴交于点(-3,0),其对•称轴为直线x=-g,

•••该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(2,0),

0¥?+法+°=0的两个根为玉=-3,12=2,

.,・"+匕’+"1)2=0的两个根为石=-3,r=2,

XX"

二一元二次方程以"x+“=o的两根分别为%=q,x2=1,故④正确；

•••该函数与X轴的两个交点为(-3,0),(2,0),

，该函数的详解式可以为y="(x+3)(x-2),

当y=-3时、-3=a(x+3)(x-2)

当y=-3对应的x的值一个小于-3,一个大于2,

.♦.若“，〃(，〃<")为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则,"<-3且〃>2,故⑤错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与工轴的交点、二次函

数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结

合的思想解答.

5.如图，两个全等的正方形的四种不同摆放中，中心对称图形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形就叫做中心对称图形，据此可得结论.

【详解】

解：第一个图形不是中心对称图形，不合题意；

第二个图形是中心对称图形，符合题意；

第三个图形是中心对称图形，符合题意；

第四个图形不是中心对称图形，不合题意.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键.

6.如图，48是。。的弦，且48=6,点C是弧48中点，点O是优弧4B上的一点，

NA£>C=30。，则圆心0到弦AB的距离等于（）

A.3>/3B.1C.G口.乎

【答案】C

【分析】

连接OA,AC,OC,OC交48于E,先根据垂径定理求出4E=3,然后证明三角形OAC

是等边三角形，从而可以得到N04E=3O。，再利用三线合一定理求解即可.

【详解】

解：如图所示，连接04,AC,OC,0C交A3于巴

是弧45的中点，AB=6,

：.0C±AB,AE=BE=3f

,/ZADC=30°,

・・・ZAOC=2ZADC=60°,

又,.・0A=。。，

•••△O4C是等边三角形，

■:0CLAB,

.•.0C=0E=20C=(A。，OE2+AE2^AO\

22

O£2+32=4OE2

/.0E=y/3

二圆心。到弦A8的距离为6，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定

理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

7.如图平面直角坐标系中，P在第一象限，。尸与x轴、y轴都相切，过矩形AO3C的

顶点C,与8c交于点。，。尸半径为5,A坐标是(0,8),则。坐标是()

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【答案】A

【分析】

设圆与X轴，y轴的切点分别是E,F,连接EP,并延长，交4c于点N,连接FP,并

延长，交BC于点M,连接PC,PD,利用切线的性质，垂径定理，勾股定理计算

CM的长即可.

【详解】

如图，设圆与x轴，y轴的切点分别是E,F,连接EP,并延长，交4c于点N,连接

FP,并延长，交BC于点、M,连接PC,PD,

♦0P与x轴、y轴都相切，

.PEA.OB,PFLOA,

'FOLOE,PE=PF,

•四边形PFOE是正方形，

♦0P的半径为5,

.PE=PF=PC=PD=5,

•四边形A02C是矩形，

.PNLAC,PM1BC,

.四边形40EN,四边形NEBC都是矩形,

•点A的坐标是（0,8）,

.OA=EN=8,

.AF=PN=CM=3,

•NC=4PC2-PN2=正4=4,

.AC=OB=AN+NC=9,

"PM±BC,

.CM=DM=3,

.BD=BC-CD=8-6=2,

.点。的坐标为（9,2）.

故选A.

【点睛】

本题考查了切线的性质，正方形的判定，矩形的性质和判定，勾股定理，垂径定理，根

据题意熟练运用切线的性质是解题的关键.

8.如图，平面图形曲由直角边长为1的等腰直角△A。。和扇形80。组成，点P在

线段48上，PQ-LAB,且PQ交AO或交C8于点Q.设AP=x（0<x<2）,图中阴影

部分表示的平面图形AP。（或APQO）的面积为y,则函数关于x的大致图象是（）

【答案】D

【分析】

根据点。的位置，分点。在AZ）上和点。在弧8。上两种情况讨论，分别写出y和X的

函数详解式，即可确定函数图象.

【详解】

解：当。在AO上时，即点尸在A0上时，有O<x,l,

此时阴影部分为等腰直角三角形，

该函数是二次函数，且开口向上，排除8,C选项;

当点。在弧上时，补全图形如图所示，

D

阴影部分的面积等于等腰直角AAOQ的面枳加上扇形30。的面枳，再减去平面图形

PBQ的面积即减去3弓形。防的面枳,

设/QOB=0,则NQOF=26,

砌T?

•Q=lxlxl=l

…0AAOD'S弓形QBF

22180

5S弓S=?_gx"x¥n1

当/=45。时，AP=x=l+—«1.7----,

242

1万1/九■1、341

y=—I-----(-----)=—I—al.15,

2424248

当夕寸，AP=x=1.86,S引珍例•=.一；xgx0=着一，,

」+3+J.45,

42年

2286

在A,。选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项。符合题意.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决

问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键.

9.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0,2）.将弓形沿x轴正方向无滑动滚

动，当圆心经过的路径长为202反时，圆心的横坐标是（

MV

A.2020万B.1010^+2020C.2021/rD.101U+2020

【答案】D

【分析】

求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为2021万时圆心的位置，故可

求解.

【详解】

如图，圆心在（0,2）,可得厂2

OA=—x1.71r=n,AB=2r=4,BC=—x2/rr=TT,‘晒=1/2仃

44%

...一个周期圆心经过的路径长为OA+，检+L+BC=47,

：.C（4+2万，0）,

故当圆心经过的路径长为2021万时,

202br+4万=505..」

.•.圆心的横坐标是505x（4+2乃）+乃=10111+2020

此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长.

10.某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个

镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（）

A2010「5c10

A.—BR.C.D.--

8181243243

【答案】B

【分析】

因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有36种情况,

而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是3xC；,

根据概率公式求解.

【详解】

解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有3,种情况，有4个人的镇可能是3

个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为3x6x5,

所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率=当9=£,

故选：B.

【点评】

选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.

二、填空题（共24分）

11.在一个不透明的布袋中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种颜色的球共40个，

从中任意摸出一个球，若摸到黄球的概率为④则布袋中黄球的个数为.

【答案】18

【分析】

利用摸到黄球的概率为玲，然后根据概率公式计算即可.

【详解】

解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：

二=2

40-20,

解得：418,

即布袋中黄球可能有18个，

故答案为：18.

【点睛】

此题考查了概率，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关

键，是一道常考题型.

12.如图，在正十边形AA2A34444444。中，连接44、A4，则/A4A4=°

45

【分析】

设正十边形的圆心O,连接4。、40,再求出最后运用圆周角定理解答即可.

【详解】

解：如图：设正十边形的圆心。，连接40、4。，

•••正十边形的各边都相等

3

二"04=—x360°=108°

10

二ZA44A=108吗=54。.

【点睛】

本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周

角是解答本题的关键.

13.如图，。。的半径。4=6,以A为圆心，OA为半径的弧交于8、C点，贝IJBC

的长度是.

【答案】6百

【分析】

连接A8,OB,AC交04于。，由。0的半径为。4=6,以4为圆心，。4为半径的弧

交。O于8,C两点，可得OA=A8=OB,由等边三角形可得N304=60。，根据AB=AC,

可得用B=??C，可证BC_L04，可得4Z)=O£)=goA=3，BD=CD=^BC,在RtA40。

中，由勾股定理60=而京=3"=后二？'=3。即可.

【详解】

连接A8,08,4c交。4于力，

：。0的半径为。4=6,以A为圆心，0A为半径的弧交。0于8,C两点，

OA=AB=OB,

：.N804=60°,

\'AB=AC,

・•・舛8=今。，

：.BCLOA,

：.AD=OD=-0-4=3,BD=CD=-BC,

22

在Rt/iA。。中，由勾股定理比）=JOB?-。£>2-乎=班，

，BC=2BD=66.

故答案为.

【点睛】

本题考查半径相等的弧与圆相交问题，等边三角形判定与性质，垂径定理，勾股定理,

掌握半径相等的弧与圆相交问题，等边三角形判定与性质，垂径定理，勾股定理是解题

关键.

吁\&那么金

14.如果

【答案】.

【分析】

观察图象的变化，先旋转了180,上半部分再作轴对称变换，即可解决问题.

【详解】

解：由题意可知，先旋转J'180,上半部分再作轴对称变换，可得图形:

【点睛】

本题考查了图形的旋转、轴对称变换，掌握图形的旋转、轴对称变换的作图方法是关键.

15.如图是足球守门员在0处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它

是一条经过A、M、C三点的抛物线.其中4点离地面1.4米，M点是足球运动过程中

的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点.那

么足球第一次落地点c距守门员的水平距离为一米.

v

【分析】

设抛物线的详解式为y=a(x-6)2+3.2,将点40,1.4)代入求出。的值即可得到详解式，求

出y=0时X的值即可得.

【详解】

解：(1)设抛物线的详解式为)，=心-»+3.2,

将点40,1.4)代入，得：38+3.2=1.4,

解得：a=-0.05,

则抛物线的详解式为y=-0.05(x-6)2+3.2；

当y=0时，-0.05(x-6)2+3.2=0,

解得：士=-2(舍)，々=14,

所以足球第一次落地点C距守门员14米，

故答案是：14.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数详解式及将实

际问题转化为二次函数问题的能力.

16.定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直

角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”.如图，一组抛物线的顶点片(1,勿)，

82(2,)2),B3(3,J3),...y“)(〃为正整数)依次是直线+；上的点，这组

抛物线与x轴正半轴的交点依次是Ai(m,0),42(30),A3(a3,0),…A“+i(a“+i,0)(0

<ai<L"为正整数).若这组抛物线中存在和美抛物线，则ai=__.

【答案】沁

【分析】

由抛物线的对称性可知：抛物线的顶点与抛物线与X轴的两个交点构成的三角形必为等

腰直角三角形，该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，0<4<1,该等腰直角三角形

的斜边长小于2,斜边上的高小于1（即抛物线顶点纵坐标小于1）,由此求解即可.

【详解】

解：由抛物线的对称性可知：抛物线的顶点与抛物线与x轴的两个交点构成的三角形必

为等腰直角三角形，

该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，

•/0<fl,<1,

该等腰直角三角形的斜边长小于2,斜边上的高小于1（即抛物线顶点纵坐标小于1）,

117

:当x=i时，=—

2111

当x=2时，y=-+-=—<1.

当x=3时，y=ln—=—>1,

44

美丽抛物线的顶点只有用和层，

7

若方为顶点，则瓦（1,上），

•175

•.a,=1----=—,

'1212

同理当当为顶点，求得4=£，

故答案为:1或行.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与x轴交点，抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握相

关知识进行求解.

17.如图，在平行四边形A8C。中，AD=5,AB=2币,N8是锐角，于点

E,F是AB的中点，连接。尸，EF,若NE尸。=90。，则AE的长为.

AD

【答案】26

【分析】

先设BE=x,再通过作辅助线构造平行四边形AGBE,用x来表示出。E,最府分别在

QA4BE和放乂£>£中得到用x表示的式子，建立方程后，求出x,代入后即可求

出AE的长.

【详解】

解：设BE=x,

则在RtAABE中有AE?=AB2-x2=（2V7）2-%2=28-x2,

如图，延长E尸至点G使FG=EF,连接AG、DE、BG,

•••点/是AB的中点，

二四边形4E8G是平行四边形，

：.AG//BE,AG=8E=x,

又：a4BCD中有A。〃8C,

AG,A、。三点共线，

DG=AG^-AD=x^-5,

,?ZEFD=90°,

・・・。/垂直平分EG,

/.DE=DG=x+5,

VA£1BC,AD//BC,

，AE2=DE2-AD2=（x+5）2-52=x2+10x,

•*-x2+10x=28-x2

解得再=2,X2=-7（舍）

JA£2=X2+10X=24,

***AE=2>/6.

故答案为：2任.

【点睛】

本题综合考查了平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、

一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形,

能利用勾股定理建立方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查

了学生的综合分析能力.

18.如图，在等边三角形ABC中，。是AC的中点，尸是边A8上的一个动点，过点产

作交8c于点E,连接DP,DE.若=是等腰三角形，则的长

是.

A

C

【答案】-3+四或4或12-4拓.

【分析】

过点。作DFLBC,垂足分别为G、F,根据△PDE是等腰三角形，分三种

情况讨论，利用勾股定理列出方程即可.

【详解】

解：过点。作。GLAB,DFLBC,垂足分别为G、F,

VAB=8,NA=60。，。是AC的中点，

.♦.AG=^AD=^AB=2,DG=^AD2-AG2=2^>

同理，CF=2,OF=26，

设BP为x,同理可得，BE=2x,PE=6X,

PG=6-x,EF=6-2x,

当0P=PE时,

(2>/3)2+(6-X)2=(>/3X)2,

解得，玉=—3—(舍去)，x,=—3+y/33；

当DP=DEKi，

(2扬2+出_=(2>/3)2+(6-2x)2,

解得，占=。(舍去)，々=4；

当DE=PE时，

(2后+(6-2x)2=(6x)2,

解得，百=12+4"(舍去)，x2=12—45/6；

故答案为：-3+后或4或12-4瓜.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是熟练对等

腰三角形分类讨论，利用勾股定理列出方程.

三、解答题(共46分)

19.(本题4分)解方程：

(1)(x-1)(x+3)=2x+4；

【答案】(I)x'=币，X2=-5;(2)原分式方程无解

【分析】

(1)先将方程整理成一般式，再利用直接开平方法求解即可；

(2)两边都乘以x(x-1),将分式方程化为整式方程，再进一步求解即可.

【详解】

解：(1)整理，得：N-7=0,

/.x2=7,

则x=士币，

即xijy，xi=~；

(2)两边都乘以x(x-1),得：2/-4》+3=0,

：△=(-4)2-4x2x3=-8<0,

方程无解，

故原分式方程无解.

【点睛】

此题考查计算能力：解一元二次方程，解分式方程，正确掌握各自的特点及解法是解题

的关键.

20.(本题8分)为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作，保障广大师生员工生命安全和

身体健康，重庆某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资学校原计划订购84消毒液

和医用酒精共5000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元.

(1)据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，那么原计划最多购买消

毒液多少瓶？

(2)后来，学校决定就以112000元的总资金按照(1)中消毒液的最大数量进行购买

但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议,

在原计划的基础上消毒液少订购了10。瓶，医用酒精多订购了原计划的4％,医药生产

厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低5a%元，消毒液单价不变，最终学校花费和

原计划一样多就完成了订购，求。(。=0)的值.

【答案】(1)3000瓶；(2)60

【分析】

(1)设原计划购买消毒液x瓶，则原计划购买医用酒精(5000-x)瓶，根据学校计划购

买防疫物资的总资金不超过112000元，即可得出关于X的一元一次不等式，解之取其

中的最大值即可得出结论；

(2)根据最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，即可得出关于“的一元二次方

程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】

解：(1)设原计划购买消毒液x瓶，则原计划购买医用酒精(5000-x)瓶，

依题意,得：24x+20(5000-x)<112000,

解得：x<3000.

答：原计划最多购买消毒液3000瓶.

(2)依题意，得：(3000-10a)x24+2000(l+a%)(20-5a%)=l120()0,

令a%=r,则a=100f,

(3000-10()0r)x24+2(XX)(1+r)(20-5r)=112(X)0,

整理得：10--6f=0,

解得：4=0或£2=66,

q=0或出=60,

；"0,

Z.。=60,

答：”的值为60.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据

各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次

方程.

21.(本题10分)如图，抛物线y=-x2+公+c与F轴相交于点C(0,3),与x正半轴

相交于点8,负半轴相交于点A,A点坐标是(-1,0).

(1)求此抛物线的详解式；

(2)如图1,点P在第一象限的抛物线上运动，过点尸作轴，垂足是点O,线

段BC把线段PD分成两条线段，其中一条线段长是另一条线段长的2倍，求P点坐标；

(3)如图2,若点E在抛物线上，点厂在x轴上，当以8、C、E、尸为顶点的四边形

是平行四边形时，请直接写出点尸的坐标.

【答案】⑴⑵P点坐标为(1,%⑵3)；⑶F.(L。),

Fi(5,0),Fi(近一2,0),Fa(->/7-2,0)

【分析】

(1)利用待定系数法，把点4、C代入计算，即可求出详解式；

(2)先求出直线8c的详解式，设尸。交8c于点H,则H。"，-m+3),结合线段

8C把线段尸。分成两条线段，则有PH=2O”或。〃=2PH,分别求出的值，即可

得到点P的坐标；

(3)根据题意，设点E为(x,-x2+2x+3)，点尸为(。，0)；当以8、C、E、F为

顶点的四边形是平行四边形时，可分成四种情况进行讨论：①当CE〃BF时，点F在线

段08之间时；②当CE〃8F时，点尸在点8的右边时；③当BC〃EF时，点尸在线段

之间时.；④当8C〃E尸时，点F在线段点4的左边时；分别求出点F的坐标即可.

【详解】

解：(1)•••抛物线丫=-公+法+。经过点A(-1,0),C(0,3),

，抛物线的详解式为：y=-x2+2x+3.

(2)令＞=0可得-X2+2X+3=0，

解得：玉=-1,%=3,

：.B(3,0)；

VC(0,3),

：.OC=OB=3,由此可求得直线BC详解式为y=-x+3,

设-〃P+2%+3),

设PO交8c于点H,则，(机，-m+3),

PH=（—m2+2m+3）—（—m+3）=—nr+3m

DH=-m+3

由题意得PH=2。”或DH=2PH

当PH=2O〃时

-nT+3m=2（-m+3）

解得叫=2,?=3（不合题意，舍去）

这时，-w2+2/n+3=-22+2x2+3=3

当Z）”=2PH时

一，"+3=2（-；n2+3m）

解得：町=；，网=3（不合题意，舍去）

这时，―>+2m+3=—（；）-+2x—+3=—

224

综上可知，P点坐标为（；，丝）或（2,3）.

24

（3）根据题意，若点E在抛物线上，点尸在x轴上，

设点E为（X,一/+2犬+3），点尸为（。，0）：

当以8、C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，则

①当CE〃8F时，点尸在线段之间时，如下图：

解得：占=0,X,=2,

.•.点E坐标为（2,3）；

:*CE=2,

：.BF=2,

•:点、B为(3,0),

二点尸为(1,0)；

②当CE〃8F时，点F在点8的右边时，如下图:

.,•点尸为(5,0)；

③当BC〃EF时，点尸在线段08之间时，如下图:

,:点、B为(3,0),

，点E的纵坐标为-3,

A-X2+2X+3=-3，

解得：X=1±A/7,

•.•点E在点8的右边，

二点E的坐标为(1+77,-3),

二从点B到点E,横坐标向右平移：1+币-3=币-2,

二点尸的坐标为("-2,0)；

④当BC〃EF时，点F在线段点A的左边时，如下图：

此时点E为(1-77,-3),

从点8到点E,横坐标向左平移：3-(l-V7)=2+V7,

二点尸的横坐标为:0-(2+V7)=-2-V7,

二点尸的坐标为(-2-5/7,0)；

综合上述，点尸的坐标为：Fi(1,0),Fi⑸0),Fi(V7-2,0),FA(-万-2,0)；

【点睛】

本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、平行四边形的定义、平移的

性质、坐标与图形等知识，解题的关键是学会圆分类讨论的思考思考问题，学会添加常

用辅助线，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题.

22.(本题10分)在正方形ABC。中，M是8c边上一点，且点M不与3、C重合，点产

在射线4W上，将线段”绕点4顺时针旋转90。得到线段AQ,连接BP,DQ.

(1)依题意补全图1,并求证：△ABgaADQ.

(2)连接。P,若点尸，Q,。恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2.

【答案】(I)画图见详解，证明见详解；(2)证明见详解.

【分析】

(1)利用正方形与旋转的性质，得至IJAO=AB,AP^AQ,利用/D48-/D4M与

ZPAQ-ZDAM相等，即可用边角边证明AABP当AADQ:

(2)连接BD,如图2,用同样的方法证明△AB尸丝△ADQ,然后证明N8PD=90。，再

利用直角三角形DAB与直角三角形DPB的三边关系即可证明.

【详解】

(1)解：补全图形如下图；

证明：为正方形，

：.AB=AD,ZDAB=90°,

•••线段AQ是由线段AP绕点A顺时针旋转90。得到的,

N限690°,AP=AQ,

：.ZDAB^ZPAQ=90°,

ZDAB-ZDAM=ZPAQ-ZDAM,

即/BAP=NZMQ,

在/XABP和△AOQ中，

AB=AD

<NBAP=/DAQ,

AP=AQ

：.(SAS).

：.AB=ADtZDAB=90°,

・・•线段AQ是由线段AP绕点A顺时针旋转90。得到的,

AZPAQ=90°fAP=AQf

：.ZDAB=ZPAQ=900,

：./DAB・/DAM=/PAQ-/DAM,

即Z1=Z2,

在AA3尸和△AOQ中，

AB=AD

<Z1=Z2,

AP=AQ

：.Z^ABP^^ADQ(SAS),

:・DQ=BP,N2=N3,

;在RSQAP中，Z2+Z(2B4=90°,

JZBPD=Z3+ZQPA=90°/BPD=/3+ZQPA=90°,

・•・ABPD为直角三角形,

・•・DP?+BP1=BD?，

又•:DQ=BP,BD2=AD2+AB2=2AB2

:.DP2+DQ2=2AB2.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明以及勾股定理，熟练掌握旋转的性质，全等

三角形的证明方法以及直角三角形的三边关系，是解决本题的关键.

23.(本题14分)在平行四边形中，已知NA=45。，AD±BD,点E为线段8c

上的一点，连接OE,以线段OE为直角边构造等腰K/AOEF,EF交线段A8于点G,

连接AF、DG.

(1)如图1,若AB=12母,BE=5,则。E的长为多少？

(2)如图2,若点H,K分别为线段8G,OE的中点，连接求证：AG=2HK；