河南博爱英才学校高三开学考试数学（文）试卷

文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合，，则中元素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．62．复数的虚部是 A． B． C． D．3．设一组样本数据的方差为0．01，则数据的方差为 A．0．01 B．0．1 C．1 D．104．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为 A．60 B．63 C．66 D．695．设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为 A． B． C． D．6．在平面内，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线7．在中，，，,则A． B． C． D．8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A． B． C． D．9．已知，则A． B． C． D．10．点到直线距离的最大值为 A．1 B． C． D．211．设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则（）A． B． C． D．12．设，，，则 A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．曲线在点处的切线方程为___________．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．15．若满足约束条件，则的最大值是________．16．函数的最小值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必选题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设等比数列满，．（1）求的通项公式；（2）设为数列的前n项和，若，求．18．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．21．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．答案1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A7．A 8．C 9．B 10．B 11．A 12．A13．y=3x 14． 15．7 16．−417（2020年高考全国三卷17题）18（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）．由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.19．解：（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.从而点C到平面的距离为.20．解：（1）由题设及正弦定理得．因为sinA0，所以．由，可得，故．因为，故，因此B=60°．（2）由题设及（1）知的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，从而．因此，面积的取值范围是．21（1）【解析】∵c＝2，C＝eq\f(π,3)，∴由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面积等于eq\r(3)，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，∴ab＝4，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4,ab＝4))，解得a＝2，b＝2.（2）【解析】∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，∴sinBcosA＝2sinAcosA，①当cosA＝0时，A＝eq\f(π,2)；②当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4,b＝2a))，解得a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3)，∴b2＝a2＋c2，∵C＝eq\f(π,3)，∴A＝eq\f(π,6).综上所述，A＝eq\f(π,2)或A＝eq\f(π,6