高一数学人教B版必修4课时作业2-2-2向量的正交分解与向量的直角坐标运算

课时作业19向量的正交分解与向量的直角坐标运算(限时：10分钟)1．若A(1,3)，B(2,1)，则eq\o(BA,\s\up9(→))的坐标是()A．(－1,2)B．(2，－1)C．(1，－2)D．(－2,1)答案：A2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b等于()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)答案：D3．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(AB,\s\up9(→))相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x的值为()A．－1B．－1或4C．4D．1或－4解析：∵eq\o(AB,\s\up9(→))＝(2,0)，又∵a＝eq\o(AB,\s\up9(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2,x2－3x－4＝0))，∴x＝－1.答案：A4．设a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，若c＝pa＋qb，则实数p，q的值为()A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝4C．p＝0，q＝4D．p＝1，q＝－4解析：利用坐标相等列方程组求解．答案：B5．已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0,6)、C(－8,10)，求向量eq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(BC,\s\up9(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))的坐标．解析：eq\o(AB,\s\up9(→))＝(－2,10)，eq\o(BC,\s\up9(→))＝(－8,4)，eq\o(AC,\s\up9(→))＝(－10,14)．∴eq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(BC,\s\up9(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))＝(－2,10)＋2(－8,4)－eq\f(1,2)(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．(限时：30分钟)1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中，正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标是终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．答案：B2．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝()A．(－3,4)B．(5，－12)C．(1，－4)D．(－4,8)解析：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，－8，①,a－b＝－8，16.②))①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)，∴a答案：A3．已知向量eq\o(OA,\s\up9(→))＝(3，－2)，eq\o(OB,\s\up9(→))＝(－5，－1)，则向量eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(1,2)))C．(－8,1)D．(8,1)解析：eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)[(－5，－1)－(3，－2)]＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2))).答案：A4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3aC．－a＋3bD．a＋3b解析：令c＝λa＋μb，∴(4,2)＝λ(1,1)＋μ(－1,1)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝4，,λ＋μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝－1.))∴c＝3a－b.答案：B5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up9(→))＝2eq\o(AD,\s\up9(→))，则顶点D的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2)D．(1,3)解析：令D(x，y)，由已知得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－0＝3－－1，,2y－2＝1－－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2).))∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))).答案：A6．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于()A．{(1,2)}B．{(1,2)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．∅解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3λ1＝－2＋4λ2，,2＋4λ1＝－2＋5λ2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1，,λ2＝0.))故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．答案：C7．已知A(2,3)，B(1,4)，且eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＝(sinα，cosβ)，α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝__________.解析：∵eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(－1,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－eq\f(1,2)且cosβ＝eq\f(1,2)，∴α＝－eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,3)或－eq\f(π,3).∴α＋β＝eq\f(π,6)或－eq\f(π,2).答案：eq\f(π,6)或－eq\f(π,2)8．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有eq\o(OC,\s\up9(→))＝λeq\o(OA,\s\up9(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up9(→))，λ∈R，则x＝__________.解析：取O(0,0)，由eq\o(OC,\s\up9(→))＝λeq\o(OA,\s\up9(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up9(→))得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－λ＋1－λ，,5＝－λ＋31－λ.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝2.))答案：29．已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且eq\o(AC,\s\up9(→))＝2eq\o(BD,\s\up9(→))，则x＋y＝__________.解析：eq\o(AC,\s\up9(→))＝(－1,2)，eq\o(BD,\s\up9(→))＝(x－2，y－3)．又eq\o(AC,\s\up9(→))＝2eq\o(BD,\s\up9(→))，∴(－1,2)＝2(x－2，y－3)＝(2x－4,2y－6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4＝－1，,2y－6＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝4，))∴x＋y＝eq\f(11,2).答案：eq\f(11,2)10．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以eq\o(AB,\s\up9(→))、eq\o(AC,\s\up9(→))为一组基底来表示eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)).解析：∵eq\o(AB,\s\up9(→))＝(1,3)，eq\o(AC,\s\up9(→))＝(2,4)，eq\o(AD,\s\up9(→))＝(－3,5)，eq\o(BD,\s\up9(→))＝(－4,2)，eq\o(CD,\s\up9(→))＝(－5,1)，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝meq\o(AB,\s\up9(→))＋neq\o(AC,\s\up9(→))，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝－12，,3m＋4n＝8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝32，,n＝－22.))∴eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝32eq\o(AB,\s\up9(→))－22eq\o(AC,\s\up9(→)).11．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋teq\o(AB,\s\up9(→))，试求t为何值时，(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第一象限．解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴eq\o(OA,\s\up9(→))＝(1,2)，eq\o(AB,\s\up9(→))＝(3,3)．∴eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋teq\o(AB,\s\up9(→))＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－eq\f(2,3)；(2)若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－eq\f(1,3)；(3)若点P在第一象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t＞0，,2＋3t＞0，))∴t＞－eq\f(1,3).12．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．(1)证明：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)＝(3,5)成立的向量c.解析：(1)证明：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则f(ma＋nb)＝f(mx1＋nx2，my1＋ny2)＝(my1