微积分高等数学课件

微积分高等数学课件2024-01-24微积分基本概念微分学基础积分学基础微分中值定理及其应用多元函数微积分学无穷级数与微分方程初步目录01微积分基本概念古代微积分思想的萌芽01古希腊时期，阿基米德利用穷竭法计算面积和体积，中国古代数学家刘徽提出割圆术，这些都是微积分思想的雏形。17世纪微积分的建立02牛顿和莱布尼茨在17世纪分别独立地建立了微积分学，其中牛顿注重物理应用，莱布尼茨则更关注数学形式。18-19世纪微积分的发展03柯西、魏尔斯特拉斯等数学家对微积分进行了严格的数学化，建立了实数理论和极限理论，使微积分学成为数学的一个重要分支。微积分的起源与发展微分微分是研究函数局部变化率的一种数学方法。对于函数$f(x)$，其在点$x_0$处的微分$df(x_0)$定义为$f(x)$在$x_0$处的变化率，即$df(x_0)=lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax)-f(x_0)}{Deltax}$。积分积分是研究函数全局性质的一种数学方法。对于函数$f(x)$，其在区间$[a,b]$上的定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$定义为$f(x)$在$[a,b]$上与$x$轴围成的面积。微分与积分的定义03微分与积分的互逆性微分和积分是互逆的运算，即先微分后积分或先积分后微分可以恢复原函数。01以直代曲微积分的基本思想之一是以直代曲，即用直线段近似代替曲线段，从而简化计算过程。02无限逼近通过取极限的方式，使得近似值无限逼近真实值，从而得到精确的结果。微积分的基本思想02微分学基础导数的定义通过极限概念定义函数在某点的导数，反映函数在该点的变化率。导数的性质包括可导性与连续性、导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。导数的几何意义切线斜率、法线方程等。导数的定义与性质包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。微分的基本法则通过基本法则推导出的微分公式，如乘积的微分、商的微分等。微分的计算公式求函数的极值、判断函数的单调性、求曲线的弧长等。微分的应用微分法则与公式函数导数的导数称为高阶导数，反映函数更高阶的变化率。高阶导数的定义高阶导数的性质高阶导数的应用与一阶导数类似的性质，如可导性、连续性等。判断函数的凹凸性、求函数的拐点、求解某些微分方程等。030201高阶导数及其应用03积分学基础不定积分的性质包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质等。原函数与不定积分的关系原函数是不定积分的结果，不定积分是求原函数的过程。不定积分的定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，表示了函数图像与x轴围成的面积。不定积分的概念与性质定积分的性质包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质、保号性、绝对值不等式等。定积分与不定积分的关系定积分可以通过不定积分进行计算，但需要注意上下限的确定。定积分的定义定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表示了函数图像与x轴围成的面积。定积分的概念与性质包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的积分公式。基本的积分公式包括乘积的积分、幂函数的积分、三角函数的积分、分式的积分等法则。积分法则如换元法、分部积分法等，用于解决一些特殊函数的积分问题。特殊的积分方法积分法则与公式04微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分学中的一组重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。微分中值定理的核心思想是，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则该函数在区间内至少存在一点，使得该点的导数与区间两端点的函数值之差与区间长度的比值相等。这些定理在解决微积分学中的许多问题，如函数的单调性、极值、不等式证明等方面有着广泛的应用。微分中值定理的概述洛必达法则是求解未定式极限的一种有效方法，适用于分子分母同时趋于0或无穷大的情况。使用洛必达法则时，需要对分子分母分别求导，然后利用导数的极限性质求解原极限。洛必达法则在求解复杂函数的极限问题时非常有用，可以简化计算过程并得出正确的结果。010203洛必达法则及其应用泰勒公式及其应用泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，可以将一个复杂的函数表示为一个简单的多项式形式。泰勒公式在求解函数的极值、拐点、渐近线等问题时非常有用，可以通过对多项式进行分析来得出原函数的性质。此外，泰勒公式还可以用于数值计算中的近似计算，通过将函数展开为多项式形式，可以简化计算过程并提高计算精度。05多元函数微积分学010203多元函数的定义设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的表示法二元函数一般用$z=f(x,y)$表示，三元函数一般用$u=f(x,y,z)$表示，以此类推。多元函数的定义域使多元函数有意义的自变量组合的全体，称为多元函数的定义域。多元函数的基本概念偏导数的定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y0$而$x$在$x0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时的极限存在，那么称这个极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$处对$x$的偏导数。要点一要点二全微分的定义如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依赖于$Deltax,Deltay$而仅与$x,y$有关，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，此时称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而$ADeltax+BDeltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。偏导数与全微分设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某邻域内有定义。如果对于该邻域内异于$(x0,y0)$的任一点$(x,y)$，都有$f(x,y)<f(x0,y0)$（或$f(x,y)>f(x0,y0)$），则称函数在点$(x0,y0)$有极大值（或极小值）。多元函数的极值设函数$z=f(x,y)$在闭区域$D$上有定义。如果存在点$(x0,y0)inD$，使得对于任意点$(x,y)inD$，都有$f(x,y)leqf(x0,y0)$（或$f(x,y)geqf(x0,y0)$），则称函数在闭区域$D$上有最大值（或最小值），并且称$(x0,y0)$是最大值（或最小值）点。多元函数的最值多元函数的极值与最值06无穷级数与微分方程初步无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个数相加而成的和，即$sum_{n=1}^{infty}a_n=a_1+a_2+a_3+cdots$。收敛与发散如果无穷级数的部分和序列有极限，则称该无穷级数收敛，否则称该无穷级数发散。绝对收敛与条件收敛如果无穷级数的每一项的绝对值所构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛；如果原级数收敛但其绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。无穷级数的概念与性质常微分方程的基本概念如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，则称该微分方程为线性微分方程；否则称为非线性微分方程。线性与非线性微分方程常微分方程是含有未知函数及其导数（或微分）的方程，且导数（或微分）的阶数是常数。常微分方程的定义微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。微分方程的阶可分离变量法形如$frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的微分方程，可以通过分离变量法求解，即两边同时积分得到通解。齐次方程法形如$frac{dy}{dx}=frac{f(y)}{g