（人教A版2019必修第一册）高一数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 4.1 指数【附答案解析】

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)第四章指数函数与对数函数4.1指数【考点梳理】重难点考点n次方根与分数指数幂考点一n次方根、n次根式1．a的n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)a∈Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．考点二根式的性质1.eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．2．(eq\r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．3.eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．4.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．考点三分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义考点四有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．重难点考点无理数指数幂及其运算性质考点五无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．考点六二实数指数幂的运算性质1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．【题型归纳】题型一：利用根式的性质化简或求值1．（2020·江苏南京市第二十九中学）回答下列问题.（1）正数，满足，求的值.（2）若，求的值.2．（2023·上海高一专题练习）已知，求的值.3．（2023·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1）； （2）；（3）； （4）.题型二：根式与分数指数幂的互化4．（2023·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）.5．（2020·上海高一专题练习）把下列根式化成分数指数幂：（1）； （2）；（3）； （4）.6．（2023·全国高一）化简（1） （2）题型三：运用指数幂运算公式化简求值7．（2023·全国高一课时练习（理））计算下列各式：（1）；` （2）．8．（2019·长沙市南雅中学高一月考）计算：（1）；（2）.9．（2023·昭通市昭阳区第二中学）化简求值：（1）；题型四：分数指数幂运算的综合应用10．（2023·江西高安中学高一月考）计算：（1）； （2）已知：，求的值．11．（2023·全国高一课时练习（理））对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．12．（2023·全国高一课时练习（理））（1）设a＞0，化简：；（2）若x＋x＝，求的值．【双基达标】一、单选题13．（2020·南京航空航天大学附属高级中学高一月考）已知，则下列运算中正确的是（）A． B．C． D．14．（2023·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）已知，，化简得（）A． B． C． D．15．（2020·上海市第三女子中学高一期中）设，下列计算中正确的是（）A． B． C． D．16．（2022·全国高三专题练习（文））下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（）A． B．C． D．17．（2023·安徽省安庆九一六学校高二月考（文））设，都是正整数，且，若，则不正确的是（）A． B．C． D．18．（2023·全国高一课时练习）设a>0，b>0，化简的结果是（）A． B． C． D．-3a19．（2023·全国高一单元测试）若，，则的值为（）A．7 B．10 C．12 D．3420．（2023·全国）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y（y＜0）C．xy＝（x＞0，y＞0） D．x＝－（x≠0）21．（2023·全国）下列式子中，错误的是（）A． B．C． D．【高分突破】一：单选题22．（2023·全国高一课时练习）若代数式有意义，则（）A． B． C． D．23．（2020·江苏南京·高一月考）设是非零实数，已知，则（）A． B． C．2 D．324．（2023·上海高一专题练习）若，则化简的结果是（）A． B． C． D．25．（2023·全国高三专题练习（文））已知正数、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．26．（2022·全国高三专题练习）已知，则（）A．120 B．210 C．336 D．50427．（2023·江苏）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，亿､兆､京､垓､秭､壤､沟､涧､正､载.三等者，谓上､中､下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也.中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也.从亿至载，终于大衍.下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用.故其传业，唯以中数耳.”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即万，亿，兆，京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是（）A．21 B．20 C．25 D．2428．（2022·浙江高三专题练习）化简(a>0，b>0)的结果是（）A． B． C． D．29．（2023·全国）化简的结果是（）A． B． C． D．30．（2023·全国）下列等式中，不可能成立的是（）A． B．C． D．二、多选题31．（2023·全国高一课时练习）若，，则下列四个式子中有意义的是（）A． B．C． D．32．（2023·全国高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A． B．C． D．33．（2020·江苏金沙中学高一月考）下列运算（化简）中正确的有（）．A． B．C． D．34．（2022·江苏高三专题练习）（多选题）下列计算正确的是（）A． B．C． D．已知，则三、填空题35．（2023·上海高一单元测试）__________．36．（2020·上海市进才中学高一期中）若，，化简=________.37．（2023·全国高三专题练习）已知则的值为__________．38．（2023·全国高一课时练习（理））计算：________.39．（2023·全国高一课时练习（理））若a＝2，b＞0，则的值为________．40．（2023·全国高一专题练习）已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可)41．（2023·上海高一专题练习）下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是________（只填序号）.①②③④四、解答题42．（2023·全国）（1）计算×+80.25×（2）已知＝3，求的值．43．（2020·江西鹰潭一中高一月考）（1）计算：；（2）化简：.44．（2020·江苏高一月考）（1）计算：；（2）已知，求．45．（2020·广东省黄冈中学广州学校高一月考）已知，求下列各式的值：（1）； （2）； （3）； （4）.46．（2020·广西崇左高中高一月考）(1)计算：；(2)化简(，).47．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）（1）计算：；（2）化简：；（3）已知，，求的值.48．（2020·南京外国语学校高一月考）（1）化简：（a＞0，b＞0）；（2）先化简，再求值．已知，，求的值．【答案详解】1．（1）；（2）.【详解】（1）由可得，即，则或，由，为正数，可得，则.（2）.2．【详解】解:因为，所以，所以原式.3．（1）-2；（2）；（3）π-3；（4）.解：（1）=-2；（2）；（3）=|3-π|=π-3；（4）原式=，当x≥y时，原式=x-y+y-x=0；当x<y时，原式=y-x+y-x=2（y-x）.所以原式=4．（1）；（2）；（3）.【详解】（1）原式====.（2）原式======.（3）原式===.5．（1）；（2）；（3）；（4）.【详解】（1）=；（2）；（3）；（4）==.6．（1）；（2）4【详解】（1）由题知，原式；（2）原式7．（1）6y；（2）x2y.解：（1）；（2）.8．（1）100；（2）.【详解】（1）（2）9．（1）；（2）（1）.10．（1）；（2）．【详解】（1），.（2）由，平方得，即，平方得，即，所以原式=．11．a＝2，b＝5，c＝7.解：∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴.同理，可得．.∴，，即，又＝＋＋，a，b，c为正整数，∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.12．（1）；（2）.解：（1）原式＝＝a.（2）若x＋x＝，则x＋x－1＝4，x2＋x－2＝14，故＝＝.13．B解：A选项：，∴，又，∴，∴，故A错误；B选项：，∴，故B正确；C选项：，，，，，故C错误；D选项：，故D错误，故选：B.14．B由题意：，故选：B15．D【详解】解：，A错；，B错；，C错；，D正确.故选：D.16．D【详解】对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误；对于B，当时，，而无意义，故B错误；对于C，，故C错误．对于D，．故D正确．故选：D.17．C【详解】因为，都是正整数，且，若，则：A.，故正确；B.，故正确；C.，故错误；D.任意非零数的0次幂都是1，故正确.故选：C18．D【详解】因为，，所以.故选：D.19．C【详解】因为，，所以，故选：C20．C【详解】对于A，－＝－x，故A错误；对于B，当y＜0时，＞0，y＜0，故B错误；对于C，xy＝（x＞0，y＞0），故C正确；对于D，x＝（x≠0），故D错误.故选：C21．C【详解】对于A，原式，A正确；对于B，原式，B正确；对于C，原式,C错误；对于D，原式，D正确.故选：C.22．B【详解】由有意义，得解得．所以所以．故选：B．23．A因为，所以，所以，，所以，，，故选：A24．B【详解】因为，所以，所以.故选:B.25．C【详解】，所以，，因为、均为正数，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.26．C【详解】，得，解得：，所以.故选：C27．C由题意相邻记数单位后面的比前面的多4位．1兆＝，13位数，因此1京是17位､1垓是21位､1秭是25位，5.965秭也是25位数．故选：C．28．B【详解】故选：B29．C【详解】由分数指数幂的运算法则可得：原式.故选:C.30．D【详解】对于A：左边，右边，左边右边，故A正确；对于B：左边，右边，左边右边，故B正确；对于C：左边，右边，左边右边，故C正确；对于D：若，则左边，右边,故D错误.故选：D31．AC【详解】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义；B选项中，，无意义；C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义；D选项中，当时，式子无意义．故选：AC．32．CD【详解】对于A：，故A错；对于B：，故B错；对于C：；故C正确，对于D：，故D正确.故选：CD.33．ABD【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：ABD34．BC【详解】A.，故错误；B.，故正确；C.，故正确；D.因为，所以，则，故错误；故选：BC35．2【详解】，故答案为：236．【详解】因为，，所以.故答案为：.37．【详解】因为所以，∴，∴，故答案为：．38．【详解】原式答案：.39．【详解】原式，故答案为：.40．③【详解】①中，(－2)2n>0，∴有意义；②中，根指数为5，∴有意义；③中，(－3)2n＋1<0，∴没有意义；④中，根指数为9，∴有意义.故答案为：③41．③【详解】对于①，，故①错误；对于②，当y<0时，，故②错误；对于③，，故③正确；对