2019年四川省雅安市中考数学试卷

2019年四川省雅安市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.不需写出解答过程，请把最后结

果填在题后括号内.

1.（3分）-2019的倒数是（）

A.-2019B.2019

2.（3分）32的结果等于（）

A.9B.-9

3.（3分）如图是下面哪个图形的俯视图（

A.6Wx<8B.6<xW8C.2«4D.2cx<8

5.（3分）已知一组数据5,4,x,3,9的平均数为5,则这组数据的中位数是（）

A.3B.4C.5D.6

6.（3分）下列计算中，正确的是（）

A.a4+a4—a5&78B.a4*a4—2a4

C.（a3）4,a2—a14D.34-6x3y2=:x3j

7.（3分）若a：6=3：4,且a+b=14,则2a-6的值是（）

A.4B.2C.20D.14

8.（3分）如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与向。

相似的是（）

9.（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=（X-2）2+1,下列说法中错误的是（）

A.y的最小值为1

B.图象顶点坐标为（2,1）,对称轴为直线x=2

C.当xV2时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小

D.它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

10.（3分）如图，在四边形ABCQ中，AB=CD,AC、BQ是对角线，E、F、G、H分别是

AD.BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE,则四边形EFG”的形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

11.（3分）如图，已知。0的内接六边形A8CDEF的边心距OM=2,则该圆的内接正三角

形ACE的面积为（）

A.2B.4C.6MD.473

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线小y=Y£+l与直线以y=J也交于点4,

3

过A作x轴的垂线，垂足为以，过Bi作/2的平行线交于42,过A2作x轴的垂线，

垂足为B2,过氏作/2的平行线交/l于A3,过A3作X轴的垂线，垂足为明…按此规律,

则点A”的纵坐标为（）

A.（2.）"B.（L"+ic.（A）D.3“T

22222

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.不需写出解答过程，请把最后结果

填在题中横线上.

13.（3分）在RtZXABC中，ZC=90°,AB=5,8c=4,则sinA=.

14.（3分）化简/-（x+2）（x-2）的结果是.

15.（3分）如图，△ABC内接于BD是。0的直径，NCBD=2l°,则NA的度数

为.

16.（3分）在两个暗盒中，各自装有编号为1,2,3的三个球，球除编号外无其它区别，

则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为.

17.（3分）已知函数y=（-x2+2x（x>0）的图象如图所示，若直线丫=户〃?与该图象恰有

三个不同的交点，则〃?的取值范围为

三、解答题（本大题共7小题，满分69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.(10分)(1)计算：|-2|+A/9-20190-2sin30"

22

（2）先化简，再求值：（一2=2旦-2）+工二幺，其中。=1.

a2-4a+4a-2a-2

19.（9分）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查,

根据调查结果制成了如下不完整的统计图.

根据统计图：

（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；

（2）补全折线统计图；

（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满

意”或“满意”的概率是多少？

20.（9分）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

商品甲乙

进价（元/件）x+60X

售价（元/件）200100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.

（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a230）,设销售

完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求卬与〃之间的函数关系式，并求出w的最

小值.

21.（10分）如图，口A8CD的对角线AC、8。相交于点O,EF经过O,分别交A8、C£）于

点、E、F,EF的延长线交CB的延长线于M.

（1）求证：OE=OF；

（2）若AD=4,AB=6fBM=1,求BE的长.

DF

22.（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=7+/«的图象与反比例函数y=k（x

x

>0）的图象交于A、8两点，己知A（2,4）

（1）求一次函数和反比例函数的解析式;

（2）求B点的坐标；

（3）连接AO、BO,求△AO8的面积.

23.（10分）如图，已知48是的直径，AC,BC是的弦，OE〃AC交8c于，过

点B作。。的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.

（1）求证：OC是。。的切线；

(2)若NA2C=30°,AB=8,求线段CF的长.

24.（12分）已知二次函数丫=以2QW0）的图象过点（2,-1）,点P（尸与。不重合）

是图象上的一点，直线/过点（0,1）且平行于x轴.PAf_L/于点点F（0,-1）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点P在线段的中垂线上；

（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点。，QN_U于点N,线段“尸的中垂线交/

于点R,求哒的值；

RN

（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.

2019年四川省雅安市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.不需写出解答过程，请把最后结

果填在题后括号内.

1.（3分）-2019的倒数是（）

A.-2019B.2019C.-二一D.-L-

20192019

【考点】17：倒数.

【分析】直接利用倒数的定义得出答案.

【解答】解：-2019的倒数是：-二—.

2019

故选：C.

【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键.

2.（3分）32的结果等于（）

A.9B.-9C.5D.6

【考点】1E：有理数的乘方.

【分析】根据乘方的意义可得：32=3X3=9；

【解答】解：32=3X3=9；

故选：A.

【点评】本题考查有理数的乘方；熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键.

3.（3分）如图是下面哪个图形的俯视图（）

【考点】U1：简单几何体的三视图.

【分析】根据各选项的俯视图进行判断即可.

【解答】解：A.球的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意;

B.圆柱的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意;

C.圆台的俯视图为两个同心圆，不合题意;

D.圆锥的俯视图为一个圆（含圆心），符合题意;

故选：D.

【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上往下看得到的平面图形.

%-2>4

4.（3分）不等式组，x/的解集为（）

A.6<x<8B.6VxW8C.2«4D.2cxW8

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解.

fx-2>4（D

【解答】解：f<40

由①得x>6,

由②得xW8,

不等式组的解集为6VxW8,

故选：B.

【点评】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较

大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

5.（3分）已知一组数据5,4,x,3,9的平均数为5,则这组数据的中位数是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】W1：算术平均数；W4：中位数.

【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，然后求出最中

间两个数的平均数即可.

【解答】解：：5,4,x,3,9的平均数为5,

（5+4+X+3+9）4-5=5,

解得:x—4,

把这组数据从小到大排列为：3,4,4,5,9,

则这组数据的中位数是4；

故选：B.

【点评】此题考查了平均数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重

新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是

求出x的值.

6.（3分）下列计算中，正确的是（）

A.a4+a4=«8B.a4*a4—2a4

C.（a3）4,a2=a14D.（Zr2y）3-^6x3>,2=x3^

【考点】41：整式的混合运算.

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幕的乘除运算法则、积的乘方运算法则分

别化简得出答案.

【解答】解：A、a4+a4=2a4,故此选项错误；

B、a4-a4=a8,故此选项错误；

C、（a3）4,a2=a14,正确;

D、（2j?y）34-6x3>,2=8x6y3-j-6x3y2故此选项错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

7.（3分）若a：b=3：4,且a+6=14,则2a-6的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【考点】SI：比例的性质.

【分析】根据比例的性质得到3b=4a,结合a+8=14求得〃、人的值，代入求值即可.

【解答】解：由a：b=3：4知初=4a,

所以6=四.

3

所以由a+b=14得到：4+&；=14,

3

解得4=6.

所以b=S.

所以2n-b=2X6-8=4.

故选：A.

【点评】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积.若且=£，则次/=儿.

bd

8.（3分）如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与

相似的是（）

【考点】S8：相似三角形的判定.

【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

【解答】解：因为△4B1C1中有一个角是135°,选项中，有135°角的三角形只有B,

且满足两边成比例夹角相等，

故选：B.

【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,

属于中考常考题型.

9.（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=（x-2户+1,下列说法中错误的是（）

A.y的最小值为1

B.图象顶点坐标为（2,1）,对称轴为直线x=2

C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x22时，y的值随x值的增大而减小

D.它的图象可以由y=W的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

【考点】H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值.

【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确.

【解答】解：二次函数产Q-2）2+\,«=1>0,

.•.该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点为（2,1）,当x=2时，y有最小

值1,当x>2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小;

故选项A、8的说法正确，C的说法错误；

根据平移的规律，y=/的图象向右平移2个单位长度得到旷=（x-2）2,再向上平移1

个单位长度得到丫=（x-2）2+1；

故选项D的说法正确，

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答

本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

10.（3分）如图，在四边形ABCC中，AB=CD,AC、BO是对角线，E、F、G、H分别是

AD.BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE,则四边形EFGH的形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【考点】L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判

定；LN：中点四边形.

【分析】根据三角形的中位线定理可得，E”平行且等于CD的一半，尸G平行且等于CD

的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到即和FG平行且相等，

所以EFGH为平行四边形，又因为EF等于的一半且AB=C£>,所以得到所证四边形

的邻边与EF相等，所以四边形EFG”为菱形.

【解答】解：F、G、H分别是A。、BD、BC、AC的中点，

...在△AOC中，EH为△AOC的中位线，所以EH〃。且EH=LCZ）；同理尸G〃C。且

2

FG=LCD,同理可得

22

则EH〃FGREH=FG,

四边形EFGH为平行四边形，又AB=CD,所以EF=EH,

四边形EFGH为菱形.

故选：C.

【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断

进行证明，是一道综合题.

11.（3分）如图，已知。0的内接六边形ABCQEF的边心距0M=2,则该圆的内接正三角

形ACE的面积为（）

A.2B.4C.6MD.4-73

【考点】KL：等边三角形的判定；MA：三角形的外接圆与外心；MM：正多边形和圆.

【分析】连接OC、0B,过。作ONLCE于N,证出△COB是等边三角形，根据锐角三

角函数的定义求解即可.

【解答】解：如图所示，连接OC、0B,过。作CW_LCE于N,

,/多边形ABCDEF是正六边形，

.•./CO8=60°,

"：OC=OB,

'•丛COB是等边三角形，

：.ZOCM=60°,

：.OM=OC-<mAOCM,

oc=_2^_=J2Zl.

sin6003

；NOCN=3Q°,

：.ON=LOC=2M“CN=2,

23

：.CE=2CN=4,

该圆的内接正三角形ACE的面积=3XLX4X3S=4«，

23

故选：D.

D

【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌

握正六边形的性质，由三角函数求出0C是解决问题的关键.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线小y=1+l与直线/2：丫=后交于点Ai，

3

过4作x轴的垂线，垂足为Bi，过81作/2的平行线交于42,过A2作x轴的垂线，

垂足为&,过B2作b的平行线交/（于A3,过43作x轴的垂线，垂足为助…按此规律,

则点4的纵坐标为（）

22222

【考点】D2：规律型：点的坐标；FF：两条直线相交或平行问题.

【分析】联立直线/I与直线/2的表达式并解得：X=返，y=3,故4（返，1）,依

2222

次求出：点A2的纵坐标为旦、A3的纵坐标为21，即可求解.

48

【解答】解：联立直线与直线/2的表达式并解得：x=返，y=2,故4（返，1）；

_2'222

则点Bi（1，0）,则直线B曲的表达式为：y=0+b，

2

将点Bi坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：丫3=后-3，

2

将表达式”与直线/1的表达式联立并解得：n=手，＞=卷，即点42的纵坐标为卷;

同理可得A3的纵坐标为名，

8

…按此规律，则点A“的纵坐标为(3)"，

2

故选：A.

【点评】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，

一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.不需写出解答过程，请把最后结果

填在题中横线上.

13.(3分)在RtZvWC中，ZC=90°,AB=5,BC=4,则sinA=_2_.

一互一

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【分析】根据正弦的定义解答.

【解答】解：在RtZ\ABC中，sinA=^=A,

AB5

故答案为：1.

5

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边。与斜边C的比叫做/A的

正弦，记作sinA.

14.(3分)化简--(x+2)(%-2)的结果是4.

【考点】4F：平方差公式.

【分析】先根据平方差公式化简，再合并同类项即可.

【解答】解：?-(x+2)(x-2)=x2-?+4=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键.

15.(3分)如图，ZvlBC内接于。0,BO是。。的直径，NCBD=21。，则NA的度数为

69°.

【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心.

【分析】直接利用圆周角定理得出/8。=90°,进而得出答案.

【解答】解：:△ABC内接于。0,B力是的直径，

AZBCD=90°,

VZCBD=21",

.♦./A=NO=90°-21°=69°.

故答案为：69°

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键.

16.(3分)在两个暗盒中，各自装有编号为1,2,3的三个球，球除编号外无其它区别，

则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为8.

一也一

【考点】X6：列表法与树状图法.

【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两球上的编号的积为偶数的结果

数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：画树状图为：

123

/N/N/N

123123123

共有9种等可能的结果数，其中两球上的编号的积为偶数的结果数为5,

所以两球上的编号的积为偶数的概率=".

9

故答案为”.

9

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果",

再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概

率.

f2

17.(3分)己知函数丫=［一*+2x(x>0)的图象如图所示，若直线与该图象恰有

.-x(x40)

三个不同的交点，则，〃的取值范围为0<〃?〈工.

4-

【考点】F7：一次函数图象与系数的关系；F8：一次函数图象上点的坐标特征；H3：二

次函数的性质.

【分析】直线与y=-x有一个交点，与y=-^+2x有两个交点，则有m>0,x+m=-

7+2x时，△=1-4根>0,即可求解.

【解答】解：直线y=x+〃?与该图象恰有三个不同的交点，

则直线与、=-x有一个交点，

•.•与>=-W+2x有两个交点，

.".x+m--JT+2X,

△=1-4〃z>0,

4

.".0</n<A；

4

故答案为OV,w<L.

4

【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行

分析，可以确定，”的范围.

三、解答题（本大题共7小题，满分69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.（10分）（1）计算：|-2|+F-2019°-2sin30°

22

（2）先化简，再求值：（-a-2」旦）+豆二幺，其中。=].

a2-4a+4a-2a-2

【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数哥；T5：特殊角的三角函

数值.

【分析】（1）根据绝对值、零指数塞和特殊角的三角函数值可以解答本题；

（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将〃的值代入化简后的式子即

可解答本题.

【解答】（1）|-2|+V9-20190-2sin30°

=2+3-1-2X1.

2

=2+3-1-1

=3；

（2）（a'2a_3）a2-9

a2-4a+4a-2a-2

一产(0-2)_3ja-2

2

(a-2)a-2(a+3)(a-3)

_(a_3)：a-2

a-2a-2(a+3)(a-3)

_a_3：a-2

a-2(a+3)(a-3)

=1

^3"

当a=l时，原式=1=1.

1+34

【点评】本题考查分式的化简求值、零指数特殊角的三角函数值，解答本题的关键

是明确它们各自的计算方法.

19.(9分)某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，

根据调查结果制成了如下不完整的统计图.

根据统计图：

(1)求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；

(2)补全折线统计图；

(3)根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满

意”或“满意”的概率是多少？

【考点】VB：扇形统计图；VD：折线统计图；X8：利用频率估计概率.

【分析】(1)首先求得总人数，然后根据百分比求得人数即可；

(2)根据(1)补全折线统计图即可；

(3)利用概率公式求解即可.

【解答】解：(1)由折线统计图知“非常满意”9人，由扇形统计图知“非常满意”占

15%,所以被调查学生总数为9・15%=60(人)，所以“满意”的人数为60-(9+21+3)

=27(人)；

(2)如图:

（3）所求概率为9+2匚=上.

605

【点评】本题考查了统计图及概率公式的知识，能够从统计图中整理出进一步解题的有

关信息是解答本题的关键，难度不大.

20.（9分）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

商品甲乙

进价（元/件）x+60X

售价（元/件）200100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.

（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为。件（”》30）,设销售

完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最

小值.

【考点】B7：分式方程的应用；FH：一次函数的应用.

【分析】（1）根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列

出方程，解方程即可；

（2）根据总利润=甲种商品一件的利润X甲种商品的件数+乙种商品一件的利润X乙种

商品的件数列出卬与。之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出w的最小值.

【解答】解：（1）依题意可得方程：*_=侬，

x+60x

解得工=60,

经检验x=60是方程的根，

/.x+60=120元，

答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元；

(2)•销售甲种商品为a件(g30),

.•.销售乙种商品为(50-a)件，

根据题意得：w=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40a+2000(a230),

V40>0,

.♦•w的值随。值的增大而增大，

.•.当a=30时，w及小值=40X30+2000=3200(元).

【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用.解决问题的关键是读懂题意，

找到关犍描述语，进而找到所求的量的数量关系.

21.(10分)如图，的对角线AC、B3相交于点O,EF经过O,分别交AB、CD于

点E、F,EF的延长线交的延长线于M.

(1)求证：OE=OF；

(2)若43=4,AB=6,BM=1,求BE的长.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判

定与性质.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得到O4=OC,AB//CD,证明△AOE丝△COF,根

据全等三角形的性质证明结论：

(2)过点。作0N〃8C交48于N,根据相似三角形的性质分别求出ON、BN,证明△

ONEsAMBE,根据相似三角形的性质列式计算即可.

【解答】(1)证明：1•四边形A8C。是平行四边形，

：.OA=OC,AB//CD,BC=AD,

：.ZOAE=ZOVF,

在△AOE和△COF中，

'N0AE=N0CF

<OA=OC，

ZAOE=ZCOF

:.△AOE沿XCOF(AS4),

：.OE=OF；

(2)解：过点。作ON〃BC交AB于N,

则△40NS/IAC3,

'：OA=OC,

；.0N=LBC=2,3N=LB=3,

22

'：ON//BC,

:AONEs4MBE,

•0N_NEHD2_3-BE

BMBE1BE

解得，BEG.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形

的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

22.(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数了=-/〃?的图象与反比例函数〉=上(x

x

>0)的图象交于A、B两点，已知A(2,4)

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求B点的坐标；

(3)连接AO、BO,求△408的面积.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】(1)由点A的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反

比例函数解析式;

(2)联立方程，解方程组即可求得;

(3)求出直线与y轴的交点坐标后，即可求出SAAOQ和SABOD,继而求出△AOB的面积.

【解答】解：(1)将A(2,4)代入》=7+机与》=四(x>0)中得4=-2+切，4=—,

x2

•••An—6,k=8»

一次函数的解析式为y=-x+6,反比例函数的解析式为)=&；

x

y=-x+6,,

(2)解方程组8得JX，或Jx=4,

V=—\y=4Iy=2

：.B(4,2)；

(3)设直线y=-x+6与x轴，y轴交于C,D点,易得。(0,6),

：.OD=6,

SAAOB=S^DOB-S^AOD=—X6X4-—X6X2=6.

22

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比

例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函

数解析式；利用分割图形求面积法求出aAOB的面积.

23.(10分)如图，已知A8是。。的直径，AC,3c是00的弦，OE〃AC交BC于E,过

点B作。。的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.

(1)求证：0c是。。的切线；

(2)若NABC=30°,AB=8,求线段CF的长.

【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质.

【分析】(1)连接OC,AC,根据平行线的性质得到N1=NAC8,由圆周角定理得到N

l=N4CB=90°,根据线段垂直平分线的性质得到。8=£>C,求得NOCE,根

据切线的性质得到NOBO=90°,求得OCLOC,于是得到结论；

(2)解直角三角形即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接OC,AC,

'：OE//AC,

N1=ZACB,

；AB是。。的直径，

.•./1=NAC8=9O°,

：.OD±BC,由垂径定理得0D垂直平分BC,

：.DB=DC,

:.NDBE=NDCE,

又，：OC=OB,

：.ZOBE=ZOCE,

即N£>BO=NOCQ,

为。。的切线，08是半径，

.•./£>BO=90°,

N0C£>=NOBO=90°,

即OCVDC,

：0C是。。的半径，

是。。的切线；

(2)解：在RtzMBC中，ZABC=30°,

.,.Z3=60°,又0A=0C,

.•.△A0C是等边三角形，

.♦./COF=60°,

在RtZ\COF中，tanNCOF=&L

0C

；.CF=4百

D

【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，

正确的作出辅助线是解题的关键.

24.(12分)已知二次函数y=a/(aWO)的图象过点(2,-1),点P(尸与。不重合)

是图象上的一点，直线/过点(0,1)且平行于x轴.于点〃，点产(0,-1).

(1)求二次函数的解析式；

(2)求证：点P在线段MF的中垂线上；

(3)设直线PF交二次函数的图象于另一点Q,QNLI干点、N,线段的中垂线交/

于点R,求岖的值；

RN

(4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)把点(2,-1)代入函数表达式，即可求解；

(2)yi=--Lxi2,即x/=-4y\,PM=|1-yi\,又PF=J(x1-0)2+(y[+].)2=

J-4yi+yj+2yi+l=»'Li尸PM即可求解；

(3)证明△PMR丝△Pf'R(SAS)、Rt/\RFQqRtARNQ(HL),即RN=FR,即

=RN,即可求解；

(4)在△PQR中，由(3)知PR平分NMRF,QR平分NFRN,则NPRQ=*(NMRF+

NFRN)=90°,即可求解.

【解答】解：(1),.〉=/(20)的图象过点(2,-1),

/.-l=aX22,即a=_L,J.y--Xx2；

44

（2）设二次函数的图象上的点尸（xi,yi）,则M（加，1）,

又PF=J(xi-0)2+(y[+l)2=J_4yi+yj+2vi+l=M'1|=PM,

即PF=PM,

...点P在线段MF的中垂线上：

(3)连接R凡

；R在线段MF的中垂线上，

：.MR=FR,

又,；PM=PF,PR=PR,

：./\PMR^/\PFR(SAS),

.../PFR=/PMR=90°,

:.RFLPF,

连接RQ,又在RSFQ和RtARNQ中，

•.•。在y=-L?的图象上，由Q)结论知.•.QF=QN,

4

•：RQ=RQ,

：.Rt^RFQ^Rt/XRNQ(.HL),

即RN=FR,

即MR=FR=RN,

.•・岖=1；

RN

(4)在△PQR中，由(3)知PR平分NMRF,QR平分NFRN,

：.ZPRQ=LQMRF+NFRN)=90°,

...点R在以线段PQ为直径的圆上.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识

等，其中（3）,证明△PMR丝△PFR（SAS）、Rt/\RFQgRt/\RNQ（HL）是本题解题的

关键.

2019年广西桂林市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符

合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1.（3分）2的倒数是（）

3

A.3B.-WC.-2D.2

2233

2.（3分）若海平面以上1045米，记做+1045米，则海平面以下155米，记做（）

A.-1200米B.-155米C.155米D.1200米

3.（3分）将数47300000用科学记数法表示为（）

473X105B.47.3X106C.4.73X107D.4.73X105

4.（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）

◎"\'等边三角形

—正五边形

5.（3分）9的平方根是（）

A.3B.±3C.-3D.9

6.（3分）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形,任意旋转这个转盘1次，则当

转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（）

A.1.B.1.C.kD.L

2346

7.（3分）下列命题中，是真命题的是（)

A.两直线平行，内错角相等

B.两个锐角的和是钝角

C.直角三角形都相似

D.正六边形的内角和为360°

8.（3分）下列计算正确的是（）

A.a1,ai=a6B.a84-a2=a4

C.c^+c^—la1D.(67+3)2=/+9

9.（3分）如果a>6,c<0,那么下列不等式成立的是（）

A.a+c>bB.a+c>b-c

C.ac-1>bc-1D.a(c-1)<b(c-1)

10.（3分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视

图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A.itB.2nC.3ITD.(V3+I)n

11.（3分）将矩形ABC。按如图所示的方式折叠，BE,EG,FG为折痕，若顶点A,C,D

都落在点。处，且点B,O,G在同一条直线上，同时点E,O,尸在另一条直线上，则他

AB

的值为（）

A.B.V2C.D.V3

52

12.(3分)如图，四边形ABC。的顶点坐标分别为A(-4,0),8(-2,-1),C(3,0),

D（0,3）,当过点B的直线/将四边形ABC。分成面积相等的两部分时，直线/所表示

的函数表达式为（）

A.y=Aljc+旦B.v=-2x+—C.y=x+lD.》=刍+工

1053342

二、填空题（共6小题.每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）

13.（3分）计算：|-20191=.

14.（3分）某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，王老师每周对各小组合

作学习的情况进行综合评分.下表是各小组其中一周的得分情况:

组别一二三四五六七八

得分9095908890928590

这组数据的众数是

15.（3分）一元二次方程（%-3）（%-2）=0的根是

16.(3分)若/+or+4=(x-2)2,贝!|。=

17.（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例y=k*>0）的图象和AABC都在第一象

X

限内，AB=AC=",BC〃x轴，且8c=4,点A的坐标为（3,5）.若将△ABC向下平

2

移机个单位长度，A,C两点同时落在反比例函数图象上，则,77的值为

18.（3分）如图，在矩形ABCO中，AB=M，40=3,点P是AO边上的一个动点，连接

BP,作点A关于直线BP的对称点4,连接4C,设4C的中点为0,当点尸从点A出

发，沿边运动到点。时停止运动，点。的运动路径长为.

三.解答题（本大题共8题，共66分，请将解答过程写在答题卡上）

19.（6分）计算：（-1）2019-仍工+tan60°+（n-3.14）°.

20.（6分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.我们将小正方形的

顶点叫做格点，△4BC的三个顶点均在格点上.

（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△4B1C1，画

出平移后的

（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐为（-4,3）；

21.」