2021-2022学年高二人教A版数学选修2-3练习：十三事件的相互独立性

十三事件的相互独立性

【基础全面练】(15分钟30分)

1.下列各对事件中，是相互独立事件的有()

A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”

B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”

C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没

有射中目标”

D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目

标但乙未射中目标”

选B.在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可

能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、乙各射击一

次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者

是相互独立事件；在C中，甲，乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”

与“甲、乙都没有射中目标“不可能同时发生，二者是互斥事件，不独

立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件M，“甲射中目标但乙

未射中目标”为事件N,则MN=N,因此当P(M)W1时，

P(MN#P(M)-P(N)，故A、B不独立.

2.一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a,第

二道工序的次品率为b,则该产品的正品率为.

由于经过两道工序才能生产出一件产品，当两道工序都合格时才能生

产出正品,又由于两道工序相互独立，则该产品的正品率为(1-a)(l

-b).

答案:(1-a)(l-b)

3.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺

母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型

螺栓的概率为.

从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M,从乙盒内取一个A型螺母记

为事件N,因事件M,N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型

螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)=P(M)P(N)=^=|.

3

冬室--

口木•5

4.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球.从

每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为.

若都取到白球,PiX*=|，若都取到红球,P2==7,

1

+

则所求概率p=p,+p2=l6-2

答案：:

5.(2020.北京高考)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相

应方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对

学生进行简单随机抽样，获得数据如表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

⑴分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概

率；

⑵从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估

计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

⑶将该校学生支持方案二的概率的估计值记为po，假设该校一年级

有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的

概率估计值记为P1，试比较po与力的大小.(结论不要求证明)

【命题意图】考查随机抽样、用样本估计总体、用频率估计概率、随

机事件的关系等.

⑴样本中，男生支持方案一的频率为;,女生支持方案

200+4003

3003

一的频率为";“=4，用样本估计总体，用频率估计概率，

300+1004

所以估计该校男生支持方案一的概率为g，女生支持方案一的概率为

⑵记事件Ai(i=1,2)为抽取的第i个男生支持，事件B为抽取的女

,I3——

生支持，则P(Ai)=-j,P(B)=4,所求概率p=P(AiA2B+A1A2B

—1131

+AIA2B)=P(AIA2B)+P(AiA2B)+P(AIA2B)x-x(l-1)+3

X(1-j)x1+(1-j)x|x|

_,13•

一36'

350+1501

⑶叱35。+25。+15。+25。=“估计全校男生支持方案二的概率

%.350二，女生支持方案二的概率为竟去平余_年

为K=1

350+250

级以外男生有100名，女生有100名，估计其中支持方案二的有七7

3

xl00（名），xl00（名），

73

-j^xl00+gXlOO23

P'-100+100-48,所以po>pi.

【综合突破练】（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和

0.7,在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为（）

人21「15厂21、9

A•44B•22C-50D'25

选A.根据题意，记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标

被击中为事件C,则P(C)=1-P(^)P(1)=1-(1-0.6)x(l-0.7)=

0.88；

则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P=

21

=44•

2.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次

跳跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时针方向跳的概率是顺时针

方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片上，则跳三

次之后停在A片上的概率是（）

选A.由题意知逆时针方向跳的概率为：2，顺时针方向跳的概率为1点，

青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按A-B-CTA,P,

2228辽一=+…,「-,c1111

=3X3X3=27；第一条：按A―C―B—A，P2=§xg--,

Q11

所以跳三次之后停在A上的概率为Pi+P2=^+方.

3.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获

得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队胜每局的概率相同，

则甲队获得冠军的概率为（）

八3八2一3一1

A.aB.QC.gD.2

选A.问题等价为两类：第一类，比赛一局甲赢,其概率P.=1；第

二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2=1x1=

13

.故甲队获得冠军的概率为P+P2=].

4.甲射击命中目标的概率是:，乙命中目标的概率是g，丙命中目

标的概率是1.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()

3「2—4

A-4B,3C,5D,10

选A设可命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目

标”为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.

又P(云"B~C)=P(AT)P(m)P(-C)=[1-P(A)][1-P(B)]-[1-

P(C)1

=(14)x(lJ)x(l局=f

_一一一3

故目标被击中的概率P=1-P(ABC)=4.

5.从甲袋中摸出一个红球的概率是:，从乙袋中摸出一个红球的概

率是之，且从两个袋中摸球相互之间不受影响，从两袋中各摸出一个

球，贝岭等于()

A.2个球不都是红球的概率

B.2个球都是红球的概率

C.至少有1个红球的概率

D.2个球中恰有1个红球的概率

选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=；,

1一一21

P(B)=2，由于A,B相互独立，所以1-P(A)P(B)=1-3><2=

2

5.根据互斥事件可知c正确.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可

分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一本书，

恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是

设“任取一本书是文科书”的事件为A，”任取一本书是精装书”的事件

为B,则A,B是相互独立的事件，所求概率为P(AB).根据题意可知

40270727

P(A)=T55=5,p(B)=Too=To，所以P(AB)=P(A>P(B)=§X—

=25•

7

答案：石

教师

【补偿训练】

某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六

晚上值班的概率为.

设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，

cl1P(AB)1

贝［JP(A)=—7,P(AB)=^y，故P(B|A)=———=7.

ClC7P(A)°

竺安•—

口木16

7.(2021.银川高二检测)甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲解决

这个问题的概率是3，乙解决这个问题的概率是最，那么恰好有一个

人解决这个问题的概率是_______.

记“甲解决问题”为事件A,“乙解决问题”为事件B,

“恰有一人解决问题”为事件C,则P(C)=P(A-B)+B)

=P(A)P(m)+P(T)P(B)+(1x|=看.

7

林室­—

口木■15

1——1

8.事件A,B,C相互独立，如果P(AB)=d,P(BC)=g,

P(AB_5)=|，贝!JP(B)=,P(TB)=.

一一1—1

因为P(ABC)=P(AB)P(C)=^P(C)=g,

、一31

所以P(C)=］，即P(C)=4.

——1

又P(BC)=P(B)-P(C)=g,

、——11

所以P(B)=2,P(B)=2.

又P(AB)=：，则P(A)=g,

——<n11

所以P(AB)=P(A)-P(B)=^l-3JX-=-.

答案:；I

P置l【补偿训练】

某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为,，乙当选的概

率为I,丙当选的概率为焉.

⑴求恰有一名同学当选的概率.

⑵求至多有两人当选的概率.

设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,

437

则P(A)=m,P(B)=1,P(C)=75-

⑴易知事件人逆工相互独立，

所以恰有一名同学当选的概率为P(A¥)+P(TB-c)+

p(7T-BC)

=P(A)P(B-)P(-C)+P(五)P(B)P(-c)+P()P(B-)P(C)

42313312747

——7—丫I—y—丫i—丫—丫----------

■551055105510一250,

(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)

43783

-15510~125,

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.某人忘记了电+话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设

拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

⑴第3次拨号才接通电+话.

⑵拨号不超过3次而接通电+话.

设Ai=｛第i次拨号接通电+话｝,i=l,2,3.

⑴第3次拨号才接通电+话可表示为AiA2A3,

于是所求概率为P(AiA2A3)=养x|x|$.

(2)拨号不超过3次而接通电+话可表ZF为Ai+A1A2+AiA2A3,

于是所求概率为P(A,+AIA2+AjA2A3)=P(Ai)+P(AIA2)+P(Ai

A2A3)

81

X-X_

98_3_

"To,

10.根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种

保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.

(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率.

⑵求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.

(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率.

记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题

意得A与B,A与后，飞与B,云与京都是相互独立事件，目

P(A)=0.5,P(B)=0.6.

(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”.

所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5x0.6=0.3.

⑵记D表示事件购买乙种保险但不购买甲种保险、则D=云B.

所以P(D)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.5)x0.6=0.3.

(3)记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种"则事件E包

括TTB,A石，AB,且它们彼此为互斥事件.

所以P(E)=P(XBUA-BUAB)=P(TB)+P(A-B)+P(AB)

=0.5x0.6+0.5x0.4+0.5x0.6=0.8.

教师专用＜【一题多解】解答第(3)题还可以用如下的方法解决：事

件，，至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不

购买”为对立事件.

所以P(E)=1-P(7T-B)=1-(1-0.5)x(l-0.6)=0.8.

【创新迁移练】

1.(2021.桂林高二检测)近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中

国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办闯关答题比

赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途

回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行

下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获

得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯

关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类

831

Q--1

题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为需943-

则该选手进入第二轮答题的概率为；该选手最终获得奖金的

概率为.

83

9X-X-

选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，概率为名94

8313

--

X-XX-X+

xj=|，第二轮通过的概率为E9494

9811983211112257

_