江苏省2024届高考数学重难点模拟卷（一）(含解析)

江苏省2024届高考数学重难点模拟卷（一）一、单选题1．若复数，则（

）A． B． C．1 D．2．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知向量，，则（

）A． B．C． D．4．已知数列满足，，则（

）A．3 B．2或 C．3或 D．25．的展开式中的系数为（

）A． B． C．20 D．306．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（

）A． B． C． D．7．在中，，，，则下列各式一定成立的是（

）A． B．C． D．8．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（

）A．15 B．16 C．22 D．23二、多选题9．下列选项中的两个集合相等的有（

）.A．B．C．D．10．如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数的最小正周期是C．D．11．定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（

）A．函数在上满足阶李普希兹条件B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解D．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有三、填空题12．已知复数，则z在复平面内对应的点所在的象限为象限.13．已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为．14．地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱的外接球体积为.(参考数据：)四、解答题15．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，求函数的最大值．16．设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.(1)求的通项公式；(2)令，为数列的前项积，证明：.17．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．(1)证明：；(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．18．已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．①若，求异面直线和所成角的余弦值；②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.(1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论）(2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.参考答案：1．A【分析】根据复数的除法运算，结合共轭的定义即可求解.【详解】，故，故选：A2．C【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断.【详解】命题“”的否定是“，”.故选：C.3．D【分析】结合向量的加减运算及数量积运算进行判断.【详解】解：因为，，所以，则，得.故选：D4．C【分析】根据递推公式计算即可.【详解】因为，，所以，所以，，，，所以或，故选：C.5．A【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可.【详解】，其展开式的通项公式为，令，则，而的展开式的通项公式为：，令，则的展开式中的系数为:,故选：A.6．B【分析】求出直线的方程，利用抛物线的性质，求出中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可得到抛物线方程．【详解】由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，以为直径的圆过点，可知的中点的纵坐标为：2，直线的方程为：，则，可得，则中的纵坐标为：，解得，该抛物线的方程为：．故选：B．7．B【分析】根据题意确定点在线段上靠近点的三等分处，然后根据三角函数比例关系以及二倍角公式化简得到，，最后化简可得.【详解】因为,所以，所以点在线段上靠近点的三等分处，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，

则，所以，，所以，，所以.故选：B.8．D【分析】由得，构造函数，利用导数求得的单调性，求得的取值范围，结合不等式的知识求得的最大值.【详解】因为，，所以，设，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，，，所以，，又，，要使得成立，只需，即，所以正整数的最大值为23.故选：D.【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法.解题的关键是由变换得，构造函数，由的单调性得，结合不等式的知识求得的最大值.9．AC【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断.【详解】解：对于A：集合表示偶数集，集合也表示偶数集，所以，故A正确；对于B：，，所以，故B错误；对于C：，又，所以，即，所以，故C正确；对于D：集合为数集，集合为点集，所以，故D错误；故选：AC10．AD【分析】根据质点运动规则可得角度，利用三角函数定义可求得该质点到轴的距离，再结合周期公式可得结论.【详解】由题可知，该质点的角速度为，由于起始位置为点，沿逆时针方向运动，设经过时间s之后所成的角为，则，根据三角函数定义可知点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离，可得D正确，C错误；由解析式可知其最小正周期为，即A正确，B错误；故选：AD11．ACD【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项，再利用反证法判断C选项，通过分类讨论可判断D选项.【详解】A选项：不妨设，，即，故，对，均有，A选项正确；B选项：不妨设，在单调递增，，，即，即对，恒成立，即在上单调递减，对恒成立，所以对恒成立，即，即的最小值为，B选项错误；C选项：假设方程在区间上有两个解，，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；D选项：不妨设，当时，，当时，，故对，，故D选项正确；故选：ACD12．第二【分析】根据题意，分别判断复数实部和虚部的正负号，即可求解.【详解】由，可知，，故z在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.故答案为：第二.13．/0.5【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.【详解】，假设两曲线在同一点处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，

所以的最大值为.故答案为：.14．【分析】由题设可知平面与面的夹角为，设正三棱柱的底面边长为，利用二面角可求出三棱柱的高，再利用内切球的性质可求出，即可求出三棱柱的底面边长及高，再利用三棱柱外接球的求法可得解.【详解】由题设可知平面与面的夹角为，取中点M，中点N，连接MN由二面角的定义可知为平面与面的夹角，即设正三棱柱的底面边长为，高为h，则所以，则又地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，即地球仪的最大圆与底面正三角形内切，所以内切圆的半径，解得所以三棱柱的高，底面边长为设三棱柱上、下底面中心，连线的中点O为球心，在直角，，所以三棱柱外接球的半径所以体积故答案为：【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．15．(1)在上为增函数；在上为减函数；(2)【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．【详解】（1）的定义域为，当时，，，当，解得：，当，解得：．在上为增函数；在上为减函数；（2）的定义域为，，当时，令，得，令时，得，的递增区间为，递减区间为．.16．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.【详解】（1）由是首项为、公差为的等差数列，故，即，当时，，故，当时，，符合上式，故；（2）由，，故，则，由，故，则.17．(1)证明见解析；(2)应该投资，理由见解析【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明；（2）由（1）可得，分析即得解【详解】（1）由题意，故分布列如下：12345678所以的数学期望，记，，作差可得，，则；（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元，试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品18．（1）；（2）①；②存在；．【分析】（1）由的周长可求出的值，从而由离心率的值可求得，进而由椭圆中的关系求出的值，即可得椭圆的标准方程.（2）①直线l的方程为，与椭圆方程联立求出点的坐标，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标，从而可得，再利用空间向量的夹角公式即可求解.②由8，可得，设折叠前，直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求出的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tan的值.【详解】解：（1）由椭圆的定义知：，所以的周长，所以，又椭圆离心率为，所以，所以，，由题意，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为；（2）①由直线：与，联立求得，（因为点在轴上方）以及，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．记异面直线和所成角为，则；②设折叠前，，折叠后，在新图形中对应点记为，，，，由，，故，将直线方程与椭圆方程联立，得，，，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）；，，所以，（i）又，所以，（ii）由（i）（ii）可得，因为，所以，即，所以，解得，因为，所以．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形周长的变化，得到，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.19．(1)函数具有性质；不具有性质.(2)，(3)证明见解析【分析】（1）利用定义判断即可；（2）假设函数具有性质，可求出，进而可得，从而可得，再根据定义进行验证，即可得到答案；（3）由函数具有性质及（2）可知，，进而可得在的值域为，且，由在区间上有且只有一个零点可证明当时不符合题意，再求解当时与是以为周期的周期函数矛盾，从而可得，即可证明.【详解】（1）因为，则，又，所以，故函数具有性质；因为，则，又，，故不具有性质.（2）若函数具有性质，则，即，因为，所以，所以；若，不妨设，由，得（*），只要充分大时，将大于1，而的值域为，故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即，因为，所以，所以，则，此时，则，而，即有成立，所以存在，使函数具有性质.（3）证明：由函数具有性质及（2）可知，