(1.10)-5.2 无限长单位脉冲响应（IIR）系统的基本网络结构

5.3无限长单位脉冲响应（IIR）系统的基本网络结构

IIR网络的基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。1．直接型将N阶差分方程重写如下：对应的系统函数为对于差分方程：y(n)由两部分组成：

第一部分是表示将输出y(n)加以延时，组成N节延时结构，加权相加，由于含有延时部分，是一个反馈网络。

第二部分表示将输入x(n)及延时后的输入，组成一个M节延时结构，加权相加，是一个横向网络。

其方框图结构如下：Z-1Z-1x(n)y(n)a1a2b0改为流图表示。怎么画图？

设M=N=2，差分方程为画出网络结构图。b0b1b2z-1z-1z-1z-1a1a2x(n)x(n-1)x(n-2)y(n)y(n-1)y(n-2)H1(z)H2(z)图5.3.1(a)先零点后极点=H1(z)·H2(z)根据交换律，也可以写成H(z)=H2(z)·H1(z),按照该式，相当于将图5.3.1(a)中两部分流图交换位置，如图5.3.1(b)所示。x(n)y(n)b0b1b2z-1z-1z-1z-1a1a2w2w1H2(z)H1(z)图5.3.1(b)先极点后零点=H2(z)·H1(z)b0b1b2z-1z-1z-1z-1a1a2x(n)x(n-1)x(n-2)y(n)y(n-1)y(n-2)H1(z)H2(z)图5.3.1(a)该图中节点变量w1=w2，因此前后两部分的延时支路可以合并。x(n)y(n)b0b1b2z-1z-1z-1z-1a1a2w2w1H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z-1z-1图5.3.1(c)合并形成如图5.3.1(c)所示的网络结构流图，我们将图5.3.1(c)所示的这类流图称为IIR直接型网络结构。M=N=2时的系统函数为对照图5.3.1(c)的各支路的增益系数与H(z)分母分子多项式的系数可见，可以直接按照H(z)画出直接型结构流图。图5.3.1IIR网络直接型结构【例5.3.1】设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。

解由H(z)写出差分方程如下：按照差分方程画出如图5.3.2所示的直接型网络结构。图5.3.2例5.3.1图上面我们按照差分方程画出了网络结构，也可以按照H(z)表达式，直接画出直接型网络结构，这里需要用到Masson公式。下面讲述直接型的MATLAB的表示与实现。在MATLAB中，直接型结构由2个行向量B和A表示，B和A与数字滤波器系统函数的关系如下：A=[a0,a1,a2,…,aN],

B=[b0,b1,b2,…,bM]则直接型系统函数为调用1.4.2节介绍的MATLAB信号处理工具箱函数filter就是按照直接型结构实现滤波器。如果滤波器输入信号向量为xn，输出信号向量为yn，则yn=filter(B,A,xn)按照直接型结构实现对xn的滤波，计算系统对输入信号向量xn的零状态响应输出信号向量yn，yn与xn长度相等。2．级联型在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：（5.3.1）式中：A是常数;cr和dr分别表示H(z)的零点和极点。由于多项式的系数是实数，cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)。（5.3.2）式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这样H(z)就分解成一些一阶或二阶的子系统函数的相乘形式：

式中Ｈi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的子系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示，H(z)则由k个子系统级联构成。Hj(z)如下式：（5.3.3）(a)直接型一阶网络结构(b)直接型二阶网络结构图5.3.3一阶和二阶直接型网络结构【例5.3.2】设系统函数H(z)如下式：试画出其级联型网络结构。

解将H(z)的分子、分母进行因式分解，得到：为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出级联结构图如图5.3.4所示。图5.3.4例5.3.2图级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。在（5.3.2）式中，调整β0j、β1j和β2j三个系数可以改变一对零点的位置，调整α1j和α2j可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，其优点是调整方便。此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。3．并联型（略）如果将级联形式的H(z)展成部分分式形式，则得到：（5.3.4）对应的网络结构为这k个子系统并联。上式中，Hi(z)通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果β1i=α2i=0，则构成一阶网络。由（5.3.4）式，其输出Y(z)表示为上式表明将x(n)送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出y(n)。【例5.3.3】画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解：将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。图5.3.5例5.3.3图在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。

MATLAB信号处理工具箱提供了14种线性系统网络结构变换函数，实现各种结构之间的变换。可惜缺少并联结构于其他结构之间的变换函数，参考文献[10，18]中开发了直接型与并联型的相互变换函数tf2par和par2tf。本书涉及的3种常用结构（直接型、级联型、格型）之间的变换函数有如下4种：

(1)tf2sos直接型到级联型结构变换。

(2)sos2tf级联型到直接型网络结构的变换。

(3)tf2latc直接型到格型结构变换。

(4)latc2tf格型到直接型结构变换。下面先简要介绍变换函数tf2sos和sos2tf及其调用格式，tf2latc和latc2tf在5.7节介绍。

(1)[S,G]=tf2sos(B,A):实现直接型到级联型的变换。B和A分别为直接型系统函数的分子和分母多项式系数向量，当A=1时，表示FIR系统函数。返回L级二阶级联型结构的系数矩阵S和增益常数G。S为L×6矩阵，每一行表示一个二阶子系统函数的系数向量，第k行对应的2阶系统函数为级联结构的系统函数为H(z)=H1(z)H2(z)…HL(z)例5.3.2的求解程序如下：

B=[8，-4，11，-2]；

A=[1，-1.25，0.75，-0.125]；

[S，G]=tf2sos(B,A)运行结果：S=1.0000-0.190001.0000