2017年高考理数真题试题（新课标全国Ⅰ卷）(答案+解析)

2017年高考理数真题试卷（新课标I卷）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.（共12题；共60分）

1.已知集合A={x|x<l},B={x|3x<l},则（）

A.AnBXx|x<0}B.AUB=RC.AUB={x|x>l}D.AnB=0

2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方

形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

3.设有下面四个命题

Pi：若复数z满足JWR,则zWR；

p2：若复数z满足z2£R,则zGR；

P3：若复数Z1,Z2满足Z1Z2WR,则Z1=%;

P4：若复数z£R,则zGR.

其中的真命题为（）

A.Pl,p3B.Pl,P4C.p2,P3D,P2,P4

4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,s6=48,则{aj的公差为（）

A.1B.2C.4D.8

5.函数f（x）在（-8,+8）单调递减，且为奇函数.若f（1）二-1,则满足-l<f（x-2）<1的x的取

值范围是（）

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

6.（1+4）（1+x）6展开式中x2的系数为（）

xz

A.15B.20C.30D.35

7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为

2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）

C.14D.16

8.如图程序框图是为了求出满足3。-2n>1000的最小偶数n,那么在两个空白框

中，可以分别填入（）

A.A>1000和n=n+lB.A>1000和n=n+2

C.A<1000和n=n+lD.A<1000和n=n+2

9.已知曲线Ci：y=cosx,C2：y=sin（2x+—）,则下面结论正确的是（）

A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移£个单位长度，得

O

到曲线C2

B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移行个单位长度，得

到曲线

C2

C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的；倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得

Lo

到曲线

c2

D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，

得到曲线C2

.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线直线与交于、两

10FC：y2=4xFk,12,kCAB

点，直线12与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

11.设x、y、z为正数，且2x=3Y=5，，则（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解

数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：己知数列1,1,2,1,2,

4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是2。，接下来的两项是2。，21,再接下来的

三项是2。，2］，22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为

2的整数基.那么该款软件的激活码是（）

A.440B.330C.220D.110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（共4题；共20分）

13.已知向量a,b的夹角为60。，|a\=2,\b1=1,贝力d+23|=.

%4-2y<1

14.设x,y满足约束条件｛2x+y>-l,则z=3x-2y的最小值为.

x-y<0

15.已知双曲线C：-4=l（a>0,b>0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲

a2

线C的一条渐近线交于M、N两点.若NMAN=60。，则C的离心率为.

16.如图，圆形纸片的圆心为。，半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为。.D、E、F为圆。上

的点，ADBC,△ECA,AFAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,

CA,AB为折痕折起ADBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所

得三棱锥体积（单位：err?）的最大值为.

三、解答题：共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共5题；共60分）

”.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为，＜.（12分）

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=l,a=3,求△ABC的周长.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABIICD,且NBAP=NCDP=90°.(12分)

（1）证明：平面PAB1.平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其

尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

N（山o2）.（12分）

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（p-3o,u+3o）之外的零件数，

求P（X21）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在5-3°,p+3o）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的

生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得x=专密&々=9.97,s=品优1（%一君2=（猪1々2—i6产）=0.212,其中为

为抽取的第i个零件的尺寸，i=l.2，…，16.

用样本平均数x作为U的估计值〃，用样本标准差s作为。的估计值0,利用估计值判断是否需对当

天的生产过程进行检查？剔除（〃-3〃+3°）之外的数据，用剩下的数据估计U和。（精确到

0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布N(内a2),JJllJP(p-3a<Z<n+3a)=0.9974,0.9974磔0.9592,7^008

=0.09.

.已知椭圆四点西)，更)

20C：1+A=1(a>b>0),Pi(1,1),P2(0,1),P3(-1,P4(1,

a2b222

中恰有三点在椭圆C上.(12分)

(1)求C的方程；

(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：I过

定点.

21.己知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

四、选考题(共2题；共20分)

22.［选修4-4,坐标系与参数方程］

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为｛j；々鬻(0为参数)，直线I的参数方程为

(t为参数).(10分)

(1)若a=-l,求C与I的交点坐标；

(2)若C上的点到I距离的最大值为VT7,求a.

23.［选修4-5：不等式选讲］

已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+l|+|x-1|.(10分)

(1)当a=l时，求不等式f(x)>g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)>g(x)的解集包含［-1,1］,求a的取值范围.

答案解析部分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.【答案】A

【考点】并集及其运算，交集及其运算，指数函数的图象与性质

【解析】【解答】解：..,集合A={x|x<l},

B={x|3x<l}={x|x<0},

AnB={x|x<0},故A正确，D错误；

AUB={x|x<l},故B和C都错误.

故选：A.

【分析】先分别求出集合A和B,再求出ACB和AUB,由此能求出结果.

2.【答案】B

【考点】几何概型

【解析】【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1,则正方形的边

长为2,

则黑色部分的面积S=三，

则对应概率P=1=,

48

故选：B

【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可.

3.【答案】B

【考点】命题的真假判断与应用，复数的基本概念

【解析】【解答】解：若复数z满足}WR,则zWR,故命题pi为真命题；

P2：复数z=i满足z?=-16R,则Z邳，故命题P2为假命题；

P3：若复数Zl=i,Z2=2i满足Z1Z2GR,但Z1H为，故命题P3为假命题；

P4：若复数zWR,则z=zGR,故命题P4为真命题.

故选：B.

【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案.

4.【答案】C

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和

【解析】【解答】解：rSn为等差数列{aj的前n项和，a4+a5=24,S6=48,

+3d+%+4d=24

[6al+d=48

解得ai=-2,d=4,

，｛an｝的公差为4.

故选：C.

【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出｛aj的公差.

5.【答案】D

【考点】函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合，抽象函数及其应用

【解析】【解答】解：：函数f(x)为奇函数.

若f(l)=-l,则

又,.・函数f(x)在(-8,+8)单调递减，-lsf(X-2)<1,

f(1)<f(x-2)<f(-1),

-l<x-2<1,

解得：xG[1,3],

故选：D

【分析】由己知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式-14f(x-2)S1化为-14X-2S1,解得答案.

6.【答案】C

【考点】二项式定理的应用

【解析】【解答】解：(1+4)(1+x)6展开式中：

若(1+妥)=(1+X-2)提供常数项1,则(1+X)6提供含有X2的项，可得展开式中X2的系数：

若(1+或)提供/2项，则(1+X)6提供含有x，的项，可得展开式中X2的系数：

由(1+X)6通项公式可得Crxr.

可知r=2时，可得展开式中x2的系数为Cl=15.

可知r=4时，可得展开式中x2的系数为以=15.

(1+点)(1+X)6展开式中x2的系数为:15+15=30.

故选C.

【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.

7.【答案】B

【考点】由三视图求面积、体积，组合几何体的面积、体积问题，由三视图还原实物图

【解析】【解答】解：由三视图可画出直观图，

该立体图中只有两个相同的梯形的面，

S(««=x2x(2+4)=6,

这些梯形的面积之和为6x2=12,

故选：B

【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计

算即可

8.【答案】D

【考点】循环结构，程序框图

【解析】【解答】解：因为要求A>1000时输出，且框图中在"否"时输出，

所以"内不能输入"A〉1。。。"，

又要求n为偶数，且n的初始值为0,

所以"I「中n依次加2可保证其为偶数，

所以D选项满足要求，

故选：D.

【分析】通过要求A>1000时输出且框图中在“否"时输出确定"<二>"内不能输入"A>1000”,进而通

过偶数的特征确定n=n+2.

9.【答案】D

【考点】函数y=Asin(3X+4))的图象变换

【解析】【解答】解：把Q上各点的横坐标缩短到原来的之倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，

再把得到的曲线向左平移3个单位长度，得到函数y=cos2(x+3)=cos(2x+?)=sin(2x+f)的图

1Z12o3

象，即曲线C2,

故选：D.

【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.

10.【答案】A

【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】解：如图，11±12,直线11与C交于A、B两点，

直线L与C交于D、E两点，

要使|AB|+|DE|最小,

则A与D,B,E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1,

又直线L过点（1,0）,

则直线L的方程为y=x-1,

联立方程组｛必=轨则y2-4y-4=0,

y=x-1

yi+Y2=4,yiy2=-4,

|DE|=Jl+表«|yi-y2|=ex闻=8,

J.|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16,

故选：A

【分析】根据题意可判断当A与D,B,E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1,|AB|+|DE|最小，根据弦

长公式计算即可.

11.【答案】D

【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质，对数值大小的比较，不等式比较大小

【解析】【解答】解：X、v、z为正数，

令2x=3v=5z=k>l.lgk>0.

则X二处，y二逖，Z二变.

lg2ylg3IgS

.igk_igkigk

•o.3y=,'2x=南'5Z=诉.

•••V3=V9>V8=V2，V2=W>XV25=V5.

•••lgV3>lgV2>Ig逅>0.

/.3y<2x<5z.

故选：D.

【分析】x、v、z为正数，令2x=3y=5z=k>l.lgk>0.可得x=翳，y=翳，z=翳.可得3y=,2x=

及，5z=森.根据游=班>迩=戊，诧=।侬>|侬=迩.即可得出大小关系.

12.【答案】A

【考点】数列的求和

n

【解析】【解答】解：设该数列为｛an｝,设bn=a”里+1+...+即(丁)=2-1,(nGN+),则2kl瓦=

n(n+i)

y2-a,,

4=1

由题意可设数列｛an｝的前N项和为SN,数列｛bn｝的前n项和为Tn，则Tn=2i-1+22-1+...+2。-1=2。-n

-2,

可知当N为凶罗时(nEN+),数列｛aj的前N项和为数列｛6｝的前n项和，叩为2。-n-2,

容易得到N>100时,n>14,

A项，由=435,440=435+5,可知S44o=T29+bs=23。-29-2+25-1=23。，故A项符合题意.

B项，仿上可知箸=325,可知S330=T25+b5=226-25-2+25-1=226+4,显然不为2的整数幕，故B项不

符合题意.

C项，仿上可知空尹=210,可知S220=T2o+bio=22i-20-2+2】。-1=221+2］。-23,显然不为2的整数累，故

C项不符合题意.

D项，仿上可知—=105,可知Sno=Ti4+b5=2i5-14-2+25-1=215+15,显然不为2的整数基，故D项不

符合题意.

故选A.

2°2。，212°,21,222°,21，22,…，23-1

方法二：由题意可知:

第二项第三项第n项

第一项

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21-1,22-1,23-1，…，2n-1,

每项含有的项数为：1,2,3,n,

总共的项数为N=l+2+3+...+n=阴也

所有项数的和为Sn：21-1+22-1+23-l+...+2n-1=(21+22+23+...+2n)-n=2(1~2，>)-n=2n+1-2-n,

1-2

由题意可知：2"i为2的整数基.只需将-2-n消去即可，

则①1+2+(-2-n)=0,解得：n=l,总共有空詈+2=2,不满足N>100,

②1+2+4+(-2-n)=0,解得：n=5,总共有创普+3=17,不满足N>100,

③1+2+4+8+(-2-n)=0,解得：n=13,总共有M+.Q+4=95)不满足N>100,

④1+2+4+8+16(-2-n)=0,解得：n=29,总共有(住皆乡+5=440,满足N>100,

•••该款软件的激活码440.

故选A.

【分析】方法一：由数列的性质，求得数列｛bj的通项公式及前n项和，可知当N为竺罗时(nWN+),

数列｛an｝的前N项和为数列｛>｝的前n项和，即为2n-n-2,容易得到N>100时，n>14,分别判断，即可

求得该款软件的激活码；

方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+-2-n,及项数，由题意可知：2nn为2的整数

幕.只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】2痘

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【解答】解：向量2,B的夹角为60。，且|a|=2,|b1=1，

(a+2b)2=a2+4a•g+4g2

=22+4x2xlxcos600+4xl2

=12,

Ia+2b|=2V3.

故答案为：2V3.

【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.

14.【答案】-5

【考点】简单线性规划

x+2y<1

【解析】【解答】解：由x,y满足约束条件｛2x+yN-l作出可行域如图,

x-y<0

由图可知，目标函数的最优解为A,

联立二)，解得A(-1,1).

.z=3x-2y的最小值为-3x1-2x1=-5.

故答案为：-5.

【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案.

15.【答案】2

3

【考点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：双曲线C：4-71=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),

以A为圆心，b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.

若NMAN=60°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=—b，

2

可得：泻/=-b,即2=西，可得离心率为：e=2.

vaz+bz2c23

故答案为：空I.

3

【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a,c的关系，然后求解双曲线的离心率即可.

16.【答案】4V15err?

【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：由题意，连接OD,交BC于点G,由题意得ODLBC,OG=立BC,

6

即OG的长度与BC的长度成正比，

设OG=x,贝ljBC=2V3x,DG=5-x,

三棱锥的高h=y/DG2-OG2=V25-10x+x2-x=>/25-lOx,

S“BC-2VX3xXi=3V3x2，

243

则V=1SAABC=V3xxV25-10%=V3-V25x-10x，

令f(x)=25x4-10x5,xF(0,|),f(x)=100x3-50x4,

令f(x)>0,即x4-2x3<0,解得x<2,

则f(x)<f(2)=80,

V<V3xV80=4V15cm3,体积最大值为4V15cm3.

故答案为：4尺cm3.

【分析】由题，连接0D,交BC于点G,由题意得OD_LBC,0G=史BC,设0G=x,则BC=2bx,DG=5

6

三棱锥的图，求出2力二43令

-x,h=V25—10%SAABC=3V3X»V=-S^ABCx0•V25x—10x，f(x)

=25x4-10x5,xe(0,|),fz(x)=100x3-50x4,f(x)<f(2)=80,由此能求出体积最大值.

三、解答题：共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【答案】(1)解：由三角形的面积公式可得SAABC=|acsinB=上，

23sinA

3csinBsinA=2a,

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,

/sinA*O,

2

sinBsinC=-；

(2)解:6cosBcosC=l,

/.cosBcosC=-，

6

cosBcosC-sinBsinC=

632

cos(B+C)=--,

2

cosA=-,

2

0<A<n,

n

A=-,

不遍，

sinA7=stnB=—stnCp=2R=--=2

.c.…bcbebe2

••sinBsinC=—•—==—=",

2R2R(2V3)2123

bc=8,

,/a2=b2+c2-2bccosA,

b2+c2-bc=9,

/.(b+c)2=9+3cb=9+24=33,

/.b+c=V33

周长a+b+c=3+y/33.

【考点】两角和与差的余弦公式，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算

【解析】【分析】(1.)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，

（2.）根据两角余弦公式可得cosA=|,即可求出人=g,再根据正弦定理可得bc=8,根据余弦定理即可

求出b+c,问题得以解决.

18.【答案】（1）证明：NBAP=NCDP=90°,PA_LAB,PD±CD,

ABIICD,AB±PD,

又TPAnPD=P,且PAc5]2面PAD,PDc?P面PAD,

ABJ"平面PAD,又ABc^f面PAB,

平面PABJL平面PAD；

（2）解：,.・ABUCD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形，

由（1）知ABJL平面PAD,J.ABJ_AD,则四边形ABCD为矩形，

在AAPD中，由PA=PD,NAPD=90。，可得△PAD为等腰直角三角形,

设PA=AB=2a,贝!]AD=2近a.

取AD中点O,BC中点E,连接P。、OE,

以。为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、yz轴建立空间直角坐标系,

则：D(-&a,0,0),B(V2a,2a,0),P(0,0,&a),C(-y[2a,2a,0).

PD=(-V2a,0,-V2a),PB=(V2a,2a,-V2a),BC=(-2V2a,0,0).

设平面PBC的一个法向量为元=(x,y,z),

由色.空=°，得｛&x+2眠-&z=0,取g,得有=(o,i,伪.

n-BC=0-2y[2ax=0

丫AB_L平面PAD,ADc5?面PAD,AB±AD,

又PD_LPA,PAnAB=A,

PD_L平面PAB,则PD为平面PAB的一个法向量，PD=(-V2a,0,-V2a).

---cos<而,n>=燃含=--?==■

\PD\\n\2axV33

由图可知，二面角A-PB-C为钝角，

二面角A-PB-C的余弦值为-f

【考点】平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1.）由己知可得PA_LAB,PD±CD,再由ABIICD,得ABLPD,利用线面垂直的判定

可得ABJ"平面PAD,进一步得到平面PAB_L平面PAD；

（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知ABJ_平面PAD,得至ljAB_LAD,则四边形ABCD

为矩形，设PA=AB=2a,则AD=2&a.取AD中点。，BC中点E,连接PO、0E,以。为坐标原点，分别

以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PDJ_平

面PAB,得而为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-C的余弦值.

19.【答案】(1)解：由题可知尺寸落在(n-3o,n+3o)之内的概率为0.9974,

则落在(R-3o,n+3o)之外的概率为1-0.9974=0.0026,

因为P(X=0)=脸x(1-0.9974)°x0.997416=0.9592,

所以P(X>1)=1-P(X=0)=0.0408,

又因为X〜B(16,0.0026),

所以E(X)=16x0.0026=0.0416；

(2)(i)由(1)知尺寸落在(H-3o,n+3o)之外的概率为0.0026,

由正态分布知尺寸落在卬-3o,n+3o)之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程方法合理；

(ii)因为用样本平均数x作为口的估计值〃，用样本标准差s作为。的估计值°,

且X=以鼠%=9.97,s=&££@一定)2=J歌比]Xi2_16产)=0.212,

3

所以M-(T=9.97-3x0.212=9.334,4+30=9.97+3x0.212=10.606,

所以9.22C(〃-3"〃+3〃)=(9.334,10.606),

因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除(〃〃-3Oer[〃I+3(“J)之外的数据9.22,

则剩下的数据估计u=牢产=10.02,

15

将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知。2=0.008,

所以o=0.09.

【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重

复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【解析】【分析】(1.)通过P(X=0)可求出P(X>1)=1-P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式

计算可得结论；

(2.)(i)由(1)及知落在(n-3o,n+3o)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；

(ii)通过样本平均数X、样本标准差s估计林〃、(“J可知(〃-3。b，林..+3O,)=(9.334,10.606),

进而需剔除(〃〃-3。“，林〃+3(万J)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.

20.【答案】(1)解：根据椭圆的对称性，P3(-1,玄)，P4(1,夜)两点必在椭圆C上，

22

又P4的横坐标为1,.•.椭圆必不过Pl(1,1),

P2(0,1),P3(-1,攻)，P4(1,—)三点在椭圆C上.

22

把P2(0,1),P3(-1,立)代入椭圆C,得：

2

_L=1

，解得a2=4,b2=l,

装+京=1

.1.椭圆C的方程为-+y2=1.

4

(2)证明：①当斜率不存在时，设I：x=m,A(m,YA),B(m,-YA)»

v直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,

kpA+kpN—=-1,

22=-m-----1-m—m

解得m=2,此时I过椭圆右顶点,不存在两个交点，故不满足.

②当斜率存在时，设I：y=kx+b,(b#l),A(xi,yi),B(X2,y2),

联立｛2：；手■?R整理，

得(l+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,

+4yz-4=0

-8kb4b2-4

，X1X=------

-l+4k22l+4k2

则kpzA+kPzB=宇+胃=

X1X2

22

8kb-8k-8kb+8kb，八、

------R2------8k(b-l)

=组=4(b+i)(t>-i)=-乂DHL

1+4H

b=-2k-1,此时a=-6妹，存在k,使得△>()成立，

直线I的方程为y=kx-2k-1,

当x=2时，y=-1,

I过定点(2,-1).

【考点】直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合

【解析】【分析】(1.)根据椭圆的对称性，得到P2(0,1),P3(-1，立)，P4(1,更)三点在椭

22

圆C上.把P2(0,1),P3(-1,—)代入椭圆C,求出a2=4,b2=l,由此能求出椭圆C的方程.

2

(2.)当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设I：y=kx+b,(bwl),联立｛c，得

(l+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线I过

定点(2,-1).

21.【答案】(1)解:由f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,求导f(x)=2ae2x+(a-2)5-1,当a=0时，f

(x)=2ex-l<0,当xGR,f(x)单调递减，当a>0时，f(x)=(2ex+l)(aex-1)=2a(ex+|)(ex

-}),令？(x)=0,解得：x=ln5,当F(x)>0,解得：x>lnj,当「(x)<0,解得：x<ln5,

xG(-g,In工)时，f(x)单调递减，xG(In-,+°°)单调递增；

aa

当a<0时，f(x)=2a(ex+-)(ex--)<0,恒成立，

2a

・•・当xWR,f(x)单调递减，综上可知：当a《0时，f(x)在R单调减函数，

当a>0时，f(x)在(-g,In)是减函数，在(In(,+°°)是增函数；

(2)①若尤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，

②a>0时，由(1)可知,当x=・lna时，f(x)取得最小值，f(x)in=f(-Ina)=l-ln-,

maa

当时，f(-Ina)=0,故f(x)只有一个零点，

-1i

当a£(1,+8)时，有l」-ln±>0,即f(-Ina)>0

aa

故f(x)没有零点

当aC(0,1)0t,l—ln-<0,f(-Ina)<0

aa

有f(-2)=ae4+(a-2)e-2+2>-2e2+2>0

故f(x)在(-co,-Ina)有一个零点

nnn

假设存在正整数no,满足no>ln(^-1),则f(no)=e°(ae°+a-2)-n0>2°-n0>0

有In(—1)>-lna

a

因此在(-Ina,+8)有一个零点

Aa的取值范围是(0,1).

【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定

理

【解析】【分析】(1.)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；

(2.)由(1)可知：当a>0时才有个零点，根据函数的单调性求得f(x)最小值，由f(x)min<0,g(a)