2021北京高中数学期中汇编：函数的性质综合（教师版）

2021北京高中数学期中汇编：函数的性质综合

选择题(共11小题)

1.如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到fo时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度

为加.水面高度人是时间r的函数，这个函数图象只可能是()

2.(2021春•西城区校级期中)函数y=-3•在()

1+x2

A.(-oo,4-oo)内是增函数

B.(-CO,+oo)内是减函数

C.(-1,1)内是增函数，在其余区间内是减函数

D.(-1,1)内是减函数，在其余区间内是增函数

3.(2021春•丰台区期中)已知函数y=/(x)的图象如图所示，那么下列各式正确的是()

y

A./(1)>f(2)>f(3)B./(1)>f(3)>f(2)

C.f(3)>f(2)>/(1)D.f(3)>/(1)>f(2)

xlnx,x〉0

5.（2021春•房山区期中）若函数-如:+10在（-2,1）上是减函数，则实数机的取值范围是（）

A.[2,+oo)B.[-4,+oo)C.(-00,2]D.(-oo,-4]

6.（2021春•海淀区校级期中）己知f（x）为偶函数，其局部图象如图所示，那么（）

A.f(2)=2B・/(2)=-2C.f(2)>2D.f(2)<2

7.(2021春•昌平区校级期中)下列函数中，在[0,上递增，且周期为n的偶函数是()

A.y=siarB.y=cos2xC.y=tan(-x)D.y=|siax|

8.（2021春•海淀区校级期中）函数/（x）=2siru:-cos2x在区间［0,2用上的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

9.（2021春•海淀区校级期中）若函数/（x）=lnx-ax+\,“GR有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A.(-oo,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(1,2)

10.（2021春•丰台区期中）已知函数f（x）=-^，则该函数的大致图象是（）

x+1

11.（2021春•海淀区校级期中）己知函数/（x）=x3+ax+b,其中a,bGR,则下列选项中的条件使得/（x）仅有一

个零点的有（）

A.a<b,f（JC）为奇函数B.a=ln（ft2+l）

C.a=-3,b1-4>0D.a=-1,b=—

3

二.填空题（共8小题）

12.（2021春•海淀区校级期中）小明用A=（a\,ai，…，g0）记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小

时内到家，方法为：当第k天半小时内到家时，记以=1,当第k天不能半小时内到家时，记以=7（仁仁30）；

用8=出,岳，左0）记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第左天半

小时内到家时，记仇=1,当预测第&天不能半小时内到家时，记仇=-1（1W任30）；记录完毕后，小明计算出

AB=22,其中AB=a向+政岳+…+内也30，那么该交通软件预测准确的总天数是.

13.（2021春•海淀区期中）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器

官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和

耳机的主动降噪技术方面.

（1）若甲声波的数学模型为力（/）=sin2007t/,乙声波的数学模型为力（/）=sin（200m+（p）（（p>0）,甲、乙声

波合成后的数学模型为=/（r）+f2（0.要使/（力=0恒成立，则中的最小值为；

（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为4（f）,其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是

由S2两种不同的声波合成得到的，S”S2的数学模型分别记为/G）和gG），满足“（力=/（力+g（f）.已

知S，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个.

®y=sin---1；②y=sin27U；③y=sin3?u；④y=2sin3兀九

14.（2021春•海淀区期中）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：机3）与融化时间/（单位：h）近似满足函数关

系：V（0=H（10-i）3CH为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为1

10

（加"）.那么f”及，自，久中，瞬时融化速度等于（加/力）的时刻是图中的

15.（2021春•海淀区校级期中）从4G到5G通信，网络速度提升了40倍.其中香农公式C=Wlog2（1+§）是被

N

广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽卬、

信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中§叫做信噪比.

N

根据香农公式，以下说法正确的是.

①若不改变信噪比得，而将信道带宽W增加上倍，则C增加&倍.

②若不改变信道带宽卬和信道内信号的平均功率S,而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍.

③若不改变带宽W,而将信噪比§从15提升至127,C增加了50%.

N

④若不改变带宽W,要使得C增加一倍，则需要将信噪比§从63提升至1023.

N

16.(2021春•海淀区校级期中)如图，将一边长为6根的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿

虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为m.

x]xa

17.(2021春•海淀区校级期中)已知函数/(x)=\.",其中a>0.如果对于任意X”X2GR,且

-x+2x-3,x<a

X|<X2,都有/(M)<f(X2).则实数a的取值范围是.

18.(2021春•东城区校级期中)已知函数/(X)=上(e是自然对数的底数)，则函数/(x)的最大值

X

e

为：若关于x的方程V(x)F+2/G)+2「1=0恰有3个不同的实数解，则实数/的取值范

围为.

19.(2021春•西城区校级期中)记/(x),g'Cx)分别为函数/(x),g(x)的导函数.若存在xoCR,满足/(即)

=g(xo)且/(xo)=g'(X0),则称Xo为函数/(x)与g(X)的一个"S点

(1)以下函数f(x)与g(x)存在"S点”的是.

①函数/(x)=》与8(x)=f+2x-2；

②函数f(x)=x+\与g(x)=F；

③函数/(x)=siar与g(x)=cosx.

(2)已知〃?，nGR,若函数/(x)=/raP+nx与g(x)=/nx存在"S点”，则实数，"的取值范围为.

三.解答题(共3小题)

20.(2021春•房山区期中)某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量。(单位：千克)与销售价格x(单

位：元/千克)满足关系式。=」一+10(x-6)2,其中3Vx<6.该产品的成本为3元/千克.

x—3

(I)写出该产品每千克的利润(用含X的代数式表示);

(II)将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格X的函数；

(III)试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.

21.(2021春•西城区校级期中)对于定义域分别是小，劣的函数)=/(x),y=g(x),规定：函数

f(x)*g(x),当x^Df且x^Dg，

h(x)=-f(x),当x^Df，且x在Dg，.

g(x),当x主Df且xE%.

(I)若函数/(x)=——,g(x)=si*x£R,写出函数〃(x)的解析式并求函数人(x)值域；

sinx-1

(II)若g(x)—f(x+a),其中。是常数，且ae[0,it],请设―■个定义域为R的函数>=/(x)及一个a的

值，使得〃(x)=cos4x,并予以证明.

22.(2021春•海淀区期中)若定义域R的函数f(x)满足：

①Vxi，x2eR,(xi-%2)[f(xi)-/(^2)]>0,②三7>0,VxCR,f(x+T)=,f(x)+1.则称函数/(x)满足性

质尸(T).

(I)判断函数/(x)=2x与g(x)=siar是否满足性质尸(T),若满足，求出T的值；

(II)若函数f(x)满足性质P(2),判断是否存在实数a,使得对任意xWR,都有/(x+a)-f(x)=2021,

并说明理由；

(III)若函数/(x)满足性质尸(4),且/(-2)=0.对任意的xG(-2,2),都有/(-x)=-/(X),求函

数g(t)=---------——「的值域.

f(t)+f(t)f(y)

2021北京高中数学期中汇编：函数的性质综合

参考答案与试题解析

一.选择题（共it小题）

1.（2019春•海淀区期中）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到而时刻水灌满容器时

停止注水，此时水面高度为生.水面高度/?是时间f的函数，这个函数图象只可能是（）

【解答】解：容器是球形，两头体积小，中间体积大,

在一开始单位时间内体积的增长速度比较慢，超过球心后体积的增长率变快,

故对应的图象是C,

故选：C.

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象的增长速度是解决本题的关键.

2.（2021春•西城区校级期中）函数y=-2在（）

1+x2

A.（-00,+8）内是增函数

B.（~CO,+8）内是减函数

C.（-1,1）内是增函数，在其余区间内是减函数

D.(-1,1)内是减函数，在其余区间内是增函数

【分析】对函数进行求导，当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减.

1+x2

2

【解答】解：•••函数尸37.4=上"？

22

仙.(l+x)

当y'>0时，解得故原函数的增区间为：(-I,1)

当y'<0时，解得x<-1或x>l故原函数的减区间为：(-oo,-1),(1,+8)

故选：C.

【点评】本题主要考查通过求函数的导数来确定原函数单调区间的问题.导数大于0时原函数单调递增，当导数

小于0时原函数单调递减.

3.(2021春•丰台区期中)已知函数y=/(x)的图象如图所示，那么下列各式正确的是()

A./(1)>/(2)>f(3)B.f(1)>f(3)>f(2)

C.f(3)>f(2)>/(1)D.f(3)>f(1)>f(2)

【分析】由导函数的几何意义，结合图象即可得出答案.

【解答】解：/(xo)表示函数/(X)在x=xo处的切线斜率,

由图可知，f(1)>f(2)>f(3).

故选：A.

【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.

xlnx,x〉0

4.(2021春•海淀区期中)已知函数/(x)="则函数y=/(x)的图象大致是(

弋，x<0)

ex

X

A.

【分析】根据题意，由函数的解析式分析区间(0,1)和(1,+oo)上函数值的符号,排除BCD,即可得答案.

'xlnx,x>0

【解答】解：根据题意，函数/(x)=•弋，’

e

在区间(0,1)上，f(x)=xlnx,x>0而/"x<0,有/(x)<0,排除C,

在区间(1,+oo)_t,f(x)=xlnx,x>0而/nx>0,有f(x)>0,排除B£),

故选：A.

【点评】本题考查函数的图像分析，涉及函数值的符号的判断，属于基础题.

5.(2021春•房山区期中)若函数/(x)=~-如+10在(-2,1)上是减函数，则实数的取值范围是()

A.[2,+oo)B.[-4,+oo)C.(-00,2]D.(-oo,-4]

【分析】由己知结合二次函数的性质即可直接求解.

【解答】解；因为f(x)-〃a+10在(-2,1)上是减函数,

所以当〉1，

解得论2.

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题.

6.(2021春•海淀区校级期中)已知/(x)为偶函数，其局部图象如图所示，那么()

A./⑵=2B./⑵=-2C.f(2)>2D.f(2)<2

【分析】根据题意，由函数的图象可得了(-2)<-2,结合函数的奇偶性可得答案.

【解答】解：根据题意，由函数的图象可得/(-2)<-2,

又由函数为偶函数，则/(2)=/(-2)<2；

故选：D.

【点评】本题考查函数奇偶性的性质应用，涉及函数的图象分析，属于基础题.

7T

7.(2021春•昌平区校级期中)下列函数中，在［0,上递增，且周期为兀的偶函数是()

2

A.y=siorB.y=cos2,rC.y=tan(-x)D.y=|siar|

【分析】由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可得出结论.

【解答】解：对于A,y=sinx为奇函数，不符合题意；

对于B,y=cos2x为偶函数，周期但在［0,萼］上递减，不符合题意；

对于C,y=tan(-x)为奇函数，不符合题意；

TT

对于。，y=|sinx|为偶函数，周期7=兀，当£［0,勺］时，y=sirrr为增函数，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查三角函数的单调性、奇偶性与周期性，属于基础题.

8.(2021春•海淀区校级期中)函数/G)=2siiu-cos2x在区间［0,2加上的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【分析】利用二倍角公式化简，通过方程求根，推出结果即可.

【解答】解：函数/(x)=2sinr-cos2x=2sinA--l+2sin2x,

-$■2sin2x+2sinx-1=0,解得sinx=^^-sinx=-(舍去)，

22

所以sinx=J^-l,在区间［0,2河上有2个根，

故选：A.

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，三角方程的解法，是基础题.

9.(2021春•海淀区校级期中)若函数/GO=lnx-ax+\,“GR有两个零点，则实数a的取值范围是()

A.(-co,1)B.(0,1)C.(-1,I)D.(1,2)

【分析】由题意可得/(X)=0即“=1叱L有两个不等的实数解.令g(x)求出导数和单调区间、

XX

极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论.

【解答】解：函数y(x)-Inx-ar+1,aGR有两个零点，

等价为/(x)=0即。=上空L有两个不等的实数解.

X

令g(x)g，(x)=邛，

XX2

当x>l时，g'(x)<0,g(x)递减；当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)递增.

g(x)在x=l处取得极大值，且为最大值1.

当X—>+oo,y—fO.

画出函数y=g(x)的图象，

由图象可得0<aVl时，y=g(x)和y=a有两个交点，

即方程有两个不等实数解，/(x)有两个零点.

故选：B.

【点评】本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合

的思想方法，属于中档题.

10.(2021春•丰台区期中)已知函数£6)=直-，则该函数的大致图象是()

x+1

【分析】求出函数的定义域，利用极限思想，导数研究函数的单调性，利用排除法进行求解即可.

【解答】解：函数的定义域为1},排除A,

当犬<0且_«--8,f(x)—>0,排除£),

函数的导数/(X)=£%+止式

(x+1)2(x+1)2

则当x>-l时，当/(x)>0得x>0,此时函数为增函数,

由/(x)<0得-l<x<0时;此时函数为减函数,

排除C,

故选：B.

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的定义域，极限思想研究导数研究函数的单调性是解决

本题的关键，是中档题.

11.(2021春•海淀区校级期中)已知函数f(x)=x3+ax+h,其中a,h&R,则下列选项中的条件使得/(x)仅有一

个零点的有()

A.a<h,f(x)为奇函数B.a=ln(〃+1)

C.a=-3,b2-4>0D.a=-b=—

3

【分析】利用导数得出函数的极值点结合奇函数的性质，即可得出/(x)有三个零点，即可判断A是否正确；

由〃+整1,得出歪0,从而得出函数/(X)单调递增，即可判断B是否正确；

取匕=2,利用导数得出/(x)的极大值为/(-1)=4,极小值为/(1)=0,从而得出/(x)有两个零点，即可

判断C是否正确；

得出了(X)的极大值和极小值，并判断正负，即可得出了(X)仅有一个零点，即可判断。是否正确.

【解答】解：f(x)=3f+a,

对于A：由/(x)是奇函数，知6=0,

因为a<0,

所以f(x)存在两个极值点，

由/(0)=0知I,/(X)有三个零点，故A错误；

对于B：因为〃=G1,所以生0,f(x)>0,

所以/(x)单调递增，则仅有一个零点，故8正确；

对于C：若6=2,f(x)=3/-3,

则/(x)的极大值为/(-I)=4,极小值为/(I)=0,

此时f(x)有两个零点，故C错误；

对于£)：f(x)=丁-万+方，

f(x)=3f-1,

令/(x)=0,得xi=-Y^,X2=Y^,

33

当xW(-oo,-时，f(x)>0.f(x)单调递增，

3

当XG(-浮，孚)时，f(X)<0,f(x)单调递减，

33

当xC（T，+00）时，f（x）>0,f（x）单调递增，

f（x）的极大值为/（-返）=&^+工>0,极小值为返）=-冬巨+工〈0,

393393

所以/（X）有三个零点，故。错误.

故选:B.

【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题.

二.填空题（共8小题）

12.（2021春•海淀区校级期中）小明用A=（0,a2,的0）记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小

时内到家，方法为：当第上天半小时内到家时，记以=1,当第上天不能半小时内到家时，记以=-1（仁限30）；

用8=（历，历，①。）记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第％天半

小时内到家时，记以=1,当预测第％天不能半小时内到家时，记以=7（1W仁30）；记录完毕后，小明计算出

A3=22,其中48=。曲+。2历”+。3仍30，那么该交通软件预测准确的总天数是。

【分析】由题意可得，若以加=1（1W%30）,则表示第k天预报正确，若以瓦=-1（1W仁30）,则表示第％天预

报不正确，假设其中有x天预报正确，则有30-x天预报不正确，把48=4/1+“2岳+…+a3（期0=22转化为关于x

的方程求解.

【解答】解：依题意，若以a=1（仁仁30）,则表示第Z天预报正确，

若以父=-1（1S仁30）,则表示第4天预报不正确，

由A,仍计他历+…+仅曲30=22,

假设其中有X天预报正确，则等式左边有X个1,30-X个（-1）,

则x+（30-x）x（-1）=22,解得x=26.

该交通软件预测准确的总天数是26.

故答案为：26.

【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是基础题.

13.（2021春•海淀区期中）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器

官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和

耳机的主动降噪技术方面.

（1）若甲声波的数学模型为力（f）=sin2007rr,乙声波的数学模型为欠（f）=sin（2OO7tr+（p）（（p>0））甲、乙声

波合成后的数学模型为=力（r）+fi（/）.要使/（f）=0恒成立，则中的最小值为；

（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为4（f）,其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是

由S2两种不同的声波合成得到的，S”S2的数学模型分别记为/G）和gG），满足“（力=/（力+g（f）.已

知S，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个.

®y=sin-^-1;②y=sin2irf；③y=sin3?tf；④y=2sin37tr.

则S，S2两种声波的数学模型分别是②④.（填写序号）

【分析】（1）由函数fC）的解析式以及正弦型函数的性质，即可解出；

（2）由函数图象分析可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2,由此可知④是必选，再利用函数图象及其周

期性可作出判断.

【解答】解：⑴由题意可知sin200jU=-sin（200兀f+（p）,

X,**sin（n+a）=-sina>

••〃加=兀，

（2）由图像可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2,由此可知④是必选，

当1=1时、y=2sin37i=O,即/（I）=0且H（l）=0,

：.g⑴=0,...排出①，

由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（f）,gG）的周期不同，

排出③，

故答案为：兀，②④.

【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题.

14.（2021春•海淀区期中）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：机3）与融化时间单位：h）近似满足函数关

系：V（r）=H（io-A-r）3（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为与

10

（加/〃）.那么人，力，白中，瞬时融化速度等于V（//〃）的时刻是图中的/3

【分析】反映的是VC）图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可

得到答案.

【解答】解：V=V（100）-V（0）,反映的是V（?）图象与坐标轴交点连线的斜率，

100-0

观察可知/3处瞬时速度（即切线的斜率）与平均速度一致.

故答案为：13.

【点评】本题考查了图象的识别，关键理解平均速度表示的几何意义（即斜率），属于基础题.

15.（2021春•海淀区校级期中）从4G到5G通信，网络速度提升了40倍.其中香农公式C=Wlog2（1+得）是被

广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、

信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中§叫做信噪比.

N

根据香农公式，以下说法正确的是①.

①若不改变信噪比§，而将信道带宽W增加左倍，则C增加k倍.

N

②若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S,而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍.

③若不改变带宽W,而将信噪比§从15提升至127,C增加了50%.

N

④若不改变带宽W,要使得C增加一倍，则需要将信噪比§从63提升至1023.

N

【分析】根据已知公式对应各个选项逐个求解即可判断正误.

【解答】解：对于①：若不改变信噪比而将信道带宽W增加上倍，即AW10g2（1+£）=kC,则C增力02倍，

NN

①正确，

对于②：若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S,而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，

即Mog2（1+曾）=Wlog2（1+孕）Kwiog』l*+《）2]=2Mog2（1+4）＜②错误，

♦N4NNN

2

对于③：若不改变带宽W，而将信噪比反从15提升至127,

N

7

Wlog/l+127）log927Q

则.初.：丁=一一1=——所以C增加了75%，故③错误，

4

%吟（1+15）i0g2244

对于④：若不改变带宽W,若将信噪比§从63提升至1023,

N

10

Wlog/1+1023）log92109

则^--1=—―-1*-1=4，即C增加了约66.7%，没有增加I倍，故④错误，

6

Vlog2（l+63）iog2263

故答案为：①.

【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题.

16.（2021春•海淀区校级期中）如图，将一边长为6机的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿

虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为1m.

【分析】根据题意先设小正方形边长为x,计算出容器体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进

而求得此函数的最大值即可.

【解答】解：设剪去小正方形的边长为X,

则容器的容积为：v=(6-2x)lx(0<x<3),

V=(6-2x)(6-6x),

令V=0,则制=3(舍去),X2=l,

当0<x<l时，V>0,函数单调递增，

当l<x<3时，V<0,函数单调递减，

所以当x=l时铁盒的容积最大，

故截去的小正方形边长为\m.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查导数在解决实际问题中的应用，属于中档题.

x1nxxa

17.(2021春•海淀区校级期中)已知函数/(x)=\.',其中a>0.如果对于任意加，x2^R,且

-x+2x-3,x<a

X|<%2.都有一(XI)<f(x2),则实数。的取值范围是_己，1]_.

e

【分析】把题意翻译为函数/(X)在R上单调递增，则两段函数分别递增，且在分界处右端点大于等于左端点的

函数值即可.

【解答】解：对于任意XI，X26R,且即<及，都有f(X!)<f(X2)成立，即函数/(X)在R上单调递增，

先考察函数g(x)=-f+2x-3,XWR的图象，

配方可得g(X)=-(X-1)2-2,

函数g(x)在(-00,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，且g(x)mLX—g(1)--2,

1,

以下考察函数h(x)=xlnx,尢£(0,-Foo)的图象，

则h'(x)=lnx+l,令hf(x)=阮什1=0,解得

e

随着x变化时，h(x)和W(%)的变化情况如下：

X(0.-)-

ee

(―,g)

e

hr(x)0+

h(x)单调递减极小值单调递增

即函数h(X)在(0,工)上单调递减，在d，400)上单调递增，且h(x).=h(—)=—•

eeminee

对于任意为，MWR,且X\<X2f都有f(X])<f(X2)成立，

」>-2，即h(X)min>g(X)mg

e

：.a的取值范围为[工，1].

e

故答案为：R,i].

e

【点评】本题考查分段函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查数学抽象的核心素

养，属于难题.

18.(2021春•东城区校级期中)已知函数/(x)=工(e是自然对数的底数)，则函数/(X)的最大值为1；

X—P一

ee

若关于X的方程[/•(X)]2+2tf(x)+2「1=0恰有3个不同的实数解，则实数z的取值范围为_(6二L,工)_.

2e2

【分析】求导，判断函数/(x)的单调性，进而得出最大值，解原方程可得/(%)=1-2，或/(外=-1,作出

函数/(x)的图象，由图象可知，f(x)=-1有一个解，要使原方程有3个不同的解，则由此

e

解得答案.

【解答】解：fy(x)=--~xe-=^-,

1B(XX2X

(e)e

令了(x)<0,解得x>l,令f(x)>0,解得x<l,

函数/(x)在(-8,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，

二f(x,-f(1)=工

JildXg

由[/■(x)F+2/(x)+2f-1=0得V(x)+2t-1]|/(x)+1]=0,即/(无)=1-2/或/(x)=-1,

作出函数/(x)的大致图象如下图所示,

由图可知，f(%)=-1有一个解，要使关于x的方程[/■(x)]2+2tf(x)+2f-1=0恰有3个不同的实数解，则，

(x)—I-2f有两个解,

即需函数)=f(x)的图象与直线y=l-2f有两个交点，故0<l-2t<2，解得自二

e2e2

故答案为：—；(生工，工).

e、2e2'

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题.

19.(2021春•西城区校级期中)记/(x),g'(x)分别为函数/(x),g(x)的导函数.若存在满足/(冲)

=g(XO)且/(必)=g'(Xo))则称确为函数/(x)与g(X)的一个"S点

(1)以下函数f(x)与g(x)存在“S点”的是②.

①函数/(x)=》与8(x)—^+2x-2；

②函数/(x)=x+l与g(X)="；

③函数/(x)=sirtx与g(x)=cosx.

(2)已知机，”GR,若函数/(x)=m「+加与g(x)=/nx存在"S点”，则实数刈的取值范围为I--

2e3

+8)

【分析】(1)根据题意看方程/(xo)=g(xo)与/(xo)=g'(xo)是否有公共解即可;

(2)由/(沏)=g(xo)且/(xo)=g'(沏)，得到机关于必的函数，通过求函数值域，可求得机取值范围.

【解答】解：(1)①由函数/(无)=%与8(x)=f+2x-2得/(%)=1与9(x)=2x+2,

根据题意解方程：出=冲2+2XO-2得3=-2或1,

由为+2=1解得xo=-工，两方程无公共解，.•.不选①.

2

②由函数f(x)=x+l与g(x)得/(x)=1与g，(x)=e\

根据题意解方程：沏+1=/。得沏=0,

由1=6"。得为0=。,

・•・存在M=0,满足/(的)=g(Xo)且/(Xo)=g'(沏)，

0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”，・,•选②.

③由函数/(x)=siar与g(x)=cos%得/(x)=cosx与g'(x)=-siar.

根据题意解方程：sinxo=cosx()且cosxo=-sinxo，

可知两方程无公共解.，不选③.

(2)由若函数/(x)=九^+公与g(x)=Inx得/x)=2"优+"与g(x)=—,

x

根据题意解方程：7HKO2+；1ro=%；0且2mro+〃=Jj

x0

1-lnXQ

得tnx(r+lnxo=],；・tn=--------(xo>O),

x0

-3+21nxnol-lnXn

m,=----------,由〃2'>0得/nxo>—,；・xo>e2,函数，〃=-------(%0>0)

v32

x0x0

33

的单调递增区间是(6万，+oo),单调递减区间是(0,A

3

得函数，(x>0)的最小值是『I；e2=

01

3

x02(T22e

(e})

〃?e[--1—,+oo).

2e3

故答案为：[—-^-T-,+8).

2e3

【点评】本题考查函数与方程应用、导数运算应用，考查数学运算能力，属于难题.

三.解答题(共3小题)

20.(2021春•房山区期中)某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量。(单位：千克)与销售价格x(单

位：元/千克)满足关系式Q=-1-+10(x-6)2,其中3<xV6.该产品的成本为3元/千克.

(I)写出该产品每千克的利润(用含X的代数式表示)；

(II)将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格X的函数；

(III)试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.

【分析】(I)根据利润等于每千克的售价减去每千克的成本，即可解出：

(II)利润等于销售价格乘以销售量，即可得出函数关系；

(III)利用(2)求出函数的最大值即可.

【解答】解：(I)由题意可知每千克的利润为x-3；

(II)由题意可知y=[-？-+10(x-6)2](x-3)=1°(尤-3)3-60(x-3)2+90(%-3)+2,(3<x<6),

x-3

(III)由(2)知y'=30(x-4)(x-6),

令y'=0,解得x=4,或x=6；

函数在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，

••.x=4时，函数取得最大值为42,

即售价为4元时日利润最大为42元.

【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题.

21.(2021春•西城区校级期中)对于定义域分别是力，劣的函数y=/(x),y=g(x),规定：函数

f(x)*g(x),当xEDf且x^Dg，

人(x)=,f(x),当x^Df，且x生Dg，.

g(x),当"Df且xE%.

(I)若函数/(x)=——,g(x)=sinx,xGR,写出函数〃(x)的解析式并求函数〃(x)值域；

sinx-1

(II)若g(x)=f(x+a),其中〃是常数，且aW[0,n],请设id'*一个定义域为R的函数y=/(x)及一个a的

值，使得〃(x)=