浙江省强基联盟2023-2024学年高一上学期12月综合测试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1浙江省强基联盟2023-2024学年高一上学期12月综合测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的真子集个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗根据题意可知集合中有3个元素，所以共有个，即有三个真子集.故选：A.2.若，则的否定为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题的否定为.故选：.3.若，，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗取，，满足，但，充分性不满足；反过来，成立，故必要性成立.故选：A．4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗不妨设正的外接圆半径，圆心为，取的中点为，连接，易知在上，且，；如下图所示：在中，，所以；依题意可知该圆弧长，所以圆心角.故选：C.5.已知为角终边上一点，则（）A.7 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗为角终边上一点，故，故.故选：B.6.若，，且，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以和一个大于，一个小于，因为，所以，因为，所以和一个大于，一个小于，因为，所以，因为，所以.故选：C.7.已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数，所以函数，当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当时，，排除C.故选：D．8.已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由一元二次不等式的解集为可得，利用韦达定理可得，即可得，且，；所以可得；易知，当且仅当，即时等号成立；即的最小值是2.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A选项：由，得，A选项正确；B选项：，B选项正确；C选项：，C选项错误；D选项：，D选项正确.故选：ABD.10.已知，且，则的值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由题意得，，因为，当时，因为，所以，此时，故B项正确；当时，因为，所以，此时，故C项正确.故选：BC11.已知定义在上的偶函数满足，则下列命题成立的是（）A.的图象关于直线对称 B.C.函数为偶函数 D.函数为奇函数〖答案〗BD〖解析〗因为函数为偶函数，所以函数关于轴对称，且，又，所以，且，所以函数关于点中心对称，且周期为，所以函数关于对称，A选项错误；，B选项正确；由向右平移一个单位得到，则关于点对称，为奇函数，C选项错误；由向左平移一个单位得到，则关于点对称，为奇函数，D选项正确.故选：BD.12.函数，已知实数，，且，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.存在，使得D.恒成立〖答案〗D〖解析〗由，可知函数在上单调递增，若，则，即，可得，A选项：，当且仅当时等号成立，又，则，A选项错误；B选项：，，则或，B选项错误；C选项：若，则，则恒成立，C选项错误；D选项：由，，又，当且仅当时成立，又，所以，则，即，D选项正确.故选：D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（其中第16题第一空2分，第二空3分）13.已知幂函数的图象过点，则__________.〖答案〗〖解析〗由函数为幂函数，得，即，所以，又函数过点，则.故〖答案〗为：.14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为4，则该矩形周长的最大值为____________.〖答案〗〖解析〗设直角三角形的两条直角边长分别为，，则，，矩形周长为，，故，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为.故〖答案〗为：.15.已知实数，且，则__________.〖答案〗〖解析〗由，换成以为底，可得，设，则，解得或，又，，则，所以，即即.故〖答案〗为：.16.已知函数，则函数的零点为__________；若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是__________.〖答案〗和〖解析〗根据题意可得当时，，令，解得或（舍）；当时，，令，解得，所以可得函数的零点为和；因此可得，画出函数图象如下图所示：令，则方程可转化为；结合图象可知，当时，函数与函数有三个交点，当或时，函数与函数有两个交点，当时，函数与函数有一个交点；若关于的方程有5个不同的实数根，则方程有两个不相等的实根，且满足或；若可得，解得，；经检验当时，方程即为，解得，不合题意；当时，关于的方程可化为，解得，不合题意；所以可知方程有两个不相等的实根需满足且；若，故，解得或，若，可得，即或；检验当时，关于的方程可化为，此时，满足题意；当时，关于的方程可化为，此时，满足题意；综上可知，实数的取值范围为或，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：和.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由，可得，由可得.（2）若可得，解得，所以实数的取值范围是.18.在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.（1）若，求及的值；（2）若，求点的坐标.解：（1）由已知角的终边与单位圆交于第二象限内的点，则，，，，且，由，得，则，再由诱导公式可得：.（2）由，得，，又，则，解得，所以，所以，所以，，即.19.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数关系式为（，且）（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？解：（1）由，，可知当时，取最大值为，即当这批机器运转第年时，可获得最大利润，最大利润为.（2）由已知可得年平均利润，，则，当且仅当，即时，等号成立，即当运转年时，这批机器的年平均利润最大.20.函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的〖解析〗式；（2）利用单调性定义证明在上为增函数；（3）解不等式.解：（1）对于，都有，所以；又函数是定义在上的奇函数，所以，即，可得，所以；由可得，解得；所以，因此的〖解析〗式为.（2）取，且，则，因为，且，所以，即，可得，所以，即；所以在上为增函数.（3）将不等式转化为，又是定义在上的奇函数，所以可得，再根据（2）中的结论可知，解得；即不等式的解集为.21.已知函数.（1）当时，解关于的方程；（2）当时，恒有，求实数取值范围；（3）解关于的不等式.解：（1）当时，方程即为，解得或.（2）当时，不等式可化为，依题意可知，需满足，由于函数在上单调递增，函数在上单调递增；所以函数在上单调递增，因此，即实数的取值范围是.（3）由可得，①当时，可得，不等式等价，此时不等式解集为；②当时，方程有两根，即，且；此时不等式解集为；③当时，方程仅有一根，即，此时不等式解集为；④当时，方程有两根，即，且；此时不等式解集为.22.设，若满足，则称比更接近.（1）设比更接近0，求的取值范围；（2）判断“”是“比更接近”的什么条件，并说明理由；（3）设且，试判断与哪一个更接近.解：（1）根据题意可得，即；可得，解得；即的取值范围为.（2）充分性：显然，由可得，①若，则，可得；又可得，所以；即可得，此时可以得出“比更接近”；②若，则，可得；又可得，所以；即可得，此时可以得