特征值与特征向量(高等代数课件)

特征值与特征向量(高等代数课件)2024-01-24CATALOGUE目录特征值与特征向量基本概念矩阵对角化及其条件特征值与特征向量求解方法特征值与特征向量在矩阵分析中的应用特征值与特征向量在微分方程和差分方程中的应用特征值与特征向量在数据分析和机器学习中的应用01特征值与特征向量基本概念特征值与特征向量定义特征值设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值。特征向量对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值m的特征向量。特征多项式设A是n阶方阵，则行列式|λE-A|称为A的特征多项式，其中E是n阶单位矩阵，λ是变量。要点一要点二特征方程特征多项式|λE-A|=0的根称为A的特征根，也称为A的特征值。特征多项式与特征方程输入标题02010403特征值与特征向量性质不同特征值对应的特征向量线性无关。若λ1是方阵A的一个r重特征值，则A对应于λ1的线性无关的特征向量的最大个数为r。若λ1,λ2,…,λk是方阵A的k个特征值，p1,p2,…,pk依次是与之对应的特征向量，若λ1,λ2,…,λk各不相等，则p1,p2,…,pk线性无关。同一特征值对应的特征向量不一定线性无关。02矩阵对角化及其条件定义：若存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=Lambda$，其中$Lambda$是对角矩阵，则称$A$可对角化，且$Lambda$是$A$的相似标准型。对角矩阵的幂易于计算：$Lambda^n=(P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP$。对角矩阵的特征值即为其对角元，特征向量可由可逆矩阵$P$的列向量得到。性质矩阵对角化定义与性质判定方法计算矩阵$A$的特征多项式，求出其全部特征值。若得到的所有特征向量线性无关，则$A$可对角化。对于每个特征值$lambda_i$，求解齐次线性方程组$(A-lambda_iI)X=0$，得到对应的特征向量。条件：$ntimesn$矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。可对角化矩阵条件及判定方法相似变换：设$A,B$都是$ntimesn$矩阵，若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则称$A$与$B$相似，记作$AsimB$。对角化过程1.求出矩阵$A$的全部特征值和特征向量。2.将特征向量正交化、单位化，得到可逆矩阵$P$。3.计算$P^{-1}AP$，得到对角矩阵$Lambda$。相似变换与对角化过程03特征值与特征向量求解方法求解特征多项式根通过求解特征多项式$|lambdaE-A|=0$的根，可以得到矩阵A的特征值。重根与重数若$lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_k$是特征多项式的k个重根，则它们的重数分别为$m_1,m_2,cdots,m_k$，且有$sum_{i=1}^{k}m_i=n$。特征多项式设A是n阶方阵，记$|lambdaE-A|$为A的特征多项式，其中$lambda$是A的特征值，E是n阶单位矩阵。求解特征多项式根的方法特征向量定义设A是n阶方阵，若存在数$lambda$和非零向量X，使得$AX=lambdaX$，则称$lambda$是A的一个特征值，X是A的对应于特征值$lambda$的一个特征向量。求解线性方程组将$AX=lambdaX$改写为$(lambdaE-A)X=0$，通过求解这个线性方程组，可以得到对应于特征值$lambda$的特征向量X。特征向量性质对应于不同特征值的特征向量线性无关；对应于同一特征值的线性无关的特征向量的最大个数等于该特征值的重数。求解线性方程组求特征向量迭代法基本思想通过构造一个迭代格式，使得当迭代收敛时，得到的近似值就是所求的特征值和特征向量。幂法幂法是求矩阵主特征值和对应特征向量的一种迭代法。其基本思想是任取一非零向量作为初始向量，然后构造一迭代格式，使得当迭代收敛时，得到的近似值就是所求的主特征值和对应特征向量。反幂法反幂法是求矩阵按模最小特征值和对应特征向量的一种迭代法。其基本思想与幂法类似，只是迭代格式略有不同。迭代法求近似特征值和特征向量04特征值与特征向量在矩阵分析中的应用定理n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。方法计算矩阵A的特征多项式，求出所有的特征值。对于每个特征值，计算其对应的特征向量。如果所有特征向量线性无关，则A可对角化。例子判断矩阵A=[[2,1],[1,2]]是否可对角化。010203判断矩阵是否可对角化定理方法例子计算矩阵的幂和指数函数设A是n阶矩阵，λ是A的一个特征值，α是A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意正整数k，α也是A^k的属于特征值λ^k的一个特征向量。利用特征值和特征向量的性质，可以简化矩阵幂的计算。对于矩阵A的k次幂，可以通过计算其特征值的k次方和对应的特征向量来得到。计算矩阵A=[[2,1],[1,2]]的10次幂。010203定义矩阵A的条件数是指A的范数与A的逆的范数的乘积，用于衡量矩阵求解线性方程组的稳定性。方法利用特征值和特征向量的性质，可以估计矩阵的条件数。对于对称正定矩阵，其条件数等于其最大特征值与最小特征值之比。对于一般矩阵，可以通过计算其特征值的模的最大值和最小值来估计条件数。例子估计矩阵A=[[4,1],[1,3]]的条件数，并分析其稳定性。估计矩阵条件数及稳定性分析05特征值与特征向量在微分方程和差分方程中的应用根据微分方程组的系数矩阵，写出其特征方程。写出微分方程组的特征方程求解特征方程，得到特征根。求解特征方程的根根据特征根，写出微分方程组的通解形式。根据特征根求解微分方程的通解利用初始条件或边界条件，确定通解中的常数。确定通解中的常数常系数线性微分方程组的解法ABCD差分方程组的解法写出差分方程组的特征方程根据差分方程组的系数矩阵，写出其特征方程。根据特征根求解差分方程的通解根据特征根，写出差分方程组的通解形式。求解特征方程的根求解特征方程，得到特征根。确定通解中的常数利用初始条件或边界条件，确定通解中的常数。稳定性定义介绍稳定性的概念及分类。应用举例列举一些实际问题中利用特征值和特征向量进行稳定性分析的例子，如控制系统、生态系统等。稳定性判据给出判断系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据等。数值计算与仿真介绍一些数值计算方法和仿真软件，用于求解和分析特征值和特征向量在微分方程和差分方程中的应用。稳定性分析及应用举例06特征值与特征向量在数据分析和机器学习中的应用主成分分析（PCA）原理及实现过程010203实现过程1.对原始数据进行标准化处理，消除量纲影响。2.计算标准化后的数据矩阵的协方差矩阵。主成分分析（PCA）原理及实现过程3.求出协方差矩阵的特征值和特征向量。4.将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P。5.Y=PX，即为降维到k维后的数据。010203主成分分析（PCA）原理及实现过程LDA原理：通过寻找最佳投影方向，使得同类样本投影后尽可能接近，异类样本投影后尽可能远离，从而达到分类的目的。线性判别分析（LDA）原理及实现过程实现过程2.计算类内散度矩阵Sw和类间散度矩阵Sb。1.计算各类样本的均值向量mi以及总体均值向量m。线性判别分析（LDA）原理及实现过程3.计算矩阵Sw-1Sb的特征值和特征向量。4.将特征向量按对应特征值大小进行排序，选择前k个最大特征值对应的特征向量构成投影矩阵W。5.对原始样本进行投影，得到新的样本集合。线性判别分析（LDA）原理及实现过程神经网络中权值调整策略梯度下降法通过计算损失函数对权重的梯度，并沿着梯度的反方向更新权重，使得损失函数逐渐减小。动量法在梯度下降法的基础上引入动量项，使得权重更新不仅