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数学实验报告（一）一、实验题目：人口预测二、实验目的：1.分析用线性函数与指数函数两种模型对中国人口数据进行拟合的结果差异是否很大？哪一种模型的误差平方和更小？2.详细描述最小二乘法的特点，并通过实验验证最小二乘的理论；3.方程数多于未知数的线性方程组称为超定方程组,使误差平方和达到最小的求解方法称为最小二乘法,试用矩阵描述最小二乘法的解算步骤.三、实验内容和方法：1.通过多项式拟合程序T=[1991:1996]';N=[11.58,11.72,11.85,11.98,12.11,12.24]';L=polyfit(T,N,1);PL=polyval(L,T);figure(1),plot(T,N,'o',T,PL)RL=sum((N-PL).^2)E=polyfit(T,log(N),1);PE=exp(polyval(E,T));figure(2),plot(T,N,'o',T,PE)RE=sum((N-PE).^2)L2008=polyval(L,2008)E2008=exp(polyval(E,2008))分别得到线性函数拟合效果图：指数函数拟合效果图：由图可以看出两种方式的结果差异并不是很大其次，由程序可以得出，线性函数的误差平方和为：4.7619e-005指数函数的误差平方和为：1.1549e-004可见线性函数的误差平方和更小。2.曲线拟合的实际含义是寻求一个函数y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近。最小二乘法就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。这就类似于概率中的标准差，也是用距离的方式来定义，以求得误差最小。通过有实际意义的数值来判断比较并最终得到最好的拟合方法。编写程序，将实际折线图分别与线性拟合和指数拟合在同一个图中显示：折线图与线性拟合图：T=[1991:1996]';N=[11.58,11.72,11.85,11.98,12.11,12.24]';plot(T,N,'O',T,N)holdonL=polyfit(T,N,1);PL=polyval(L,T);plot(T,N,'*',T,PL)holdof折线图与指数拟合图：T=[1991:1996]';N=[11.58,11.72,11.85,11.98,12.11,12.24]';plot(T,N,'O',T,N)holdonE=polyfit(T,log(N),1);PE=exp(polyval(E,T));plot(T,N,'*',T,PE)holdoff由此可见，误差平方和更小些的线性拟合方法拟合出的图形与原图更加接近。3.描述最小二乘法的解算步骤：以指数函数拟合为例即已知N(t)=exp(a+bt)，求a,b的值。由下可编写程序：T=[1991:1996]';T0=[1;1;1;1;1;1];N=[11.58,11.72,11.85,11.98,12.11,12.24]';y=log(N);G=[T0,T];C=G\y;a=C(1);b=C(2)求得：a=-19.5230;b=0.01

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