《常微分方程》福师期末试题参考

《常微分方程》福师期末试题参考常微分方程福师期末试题参考一、选择题1.常微分方程是指含有未知函数及其导数的方程。以下哪个方程不是常微分方程？A.$y''+y'+y=0$B.$yy''-(y')^2=0$C.$x^2y''-(xy')^2=0$D.$yy'''+(y'')^2=0$答案：D2.对于一阶线性常微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$，以下哪个条件是充分且必要的？A.$P(x)$和$Q(x)$都是连续函数B.$P(x)$和$Q(x)$都是一阶可导函数C.$P(x)$是连续函数，$Q(x)$是一阶可导函数D.$P(x)$是一阶可导函数，$Q(x)$是连续函数答案：A3.齐次线性微分方程是指形如$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$的方程，其中$P(x)$和$Q(x)$都是连续函数。以下哪个方程是齐次线性微分方程？A.$y''+2xy'+x^2y=e^x$B.$y''+2xy'+x^2y=0$C.$y''+2xy'+x^2y=\sin(x)$D.$y''+2xy'+x^2y=1$答案：B4.求解微分方程$y''+2y'+y=0$，其中$y(0)=1$，$y'(0)=0$。以下哪个解是正确的？A.$y=e^{-x}$B.$y=e^{-2x}$C.$y=1-e^{-x}$D.$y=1-e^{-2x}$答案：D5.对于微分方程$y''+2y'+y=0$，以下哪个解是正确的？A.$y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$B.$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}$C.$y=C_1e^{x}+C_2e^{-x}$D.$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}$答案：A二、填空题1.设$y_1(x)$和$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$的两个线性无关的解，则该微分方程的通解为$y(x)=\underline{\quad\quad\quad\quad}y_1(x)+\underline{\quad\quad\quad\quad}y_2(x)$。答案：$c_1$和$c_2$2.对于微分方程$y''+2y'+y=\sin(x)$，其中$y(0)=1$，$y'(0)=0$。它的一个特解为$y_p(x)=\underline{\quad\quad\quad\quad}$。答案：$\frac{1}{2}\sin(x)$三、解答题1.解微分方程$y''+2y'+y=0$。解：特征方程为$r^2+2r+1=0$，解得$r=-1$，所以通解为$y(x)=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}$。2.解微分方程$y''+2y'+y=\sin(x)$。解：对于齐次方程$y''+2y'+y=0$，特征方程为$r^2+2r+1=0$，解得$r=-1$，所以齐次方程的通解为$y(x)=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}$。对于非齐次方程$y''+2y'+y=\sin(x)$，猜测一个特解为$y_p(x)=A\sin(x)+B\cos(x)$，代入方程得：$-A\sin(x)-B\cos(x)+2A\cos(x)-2B\sin(x)+A\sin(x)+B\cos(x)=\sin(x)$整理得$2A=1$，$-2B=0$，解得$A=\frac{1}{2}$，$B=0$。所以非齐次方程的一个特解为$y_p(x)=\frac{1}{2}\sin(x)$。所以原方程的通解为$y(x