16.1 二次根式 2023-2024学年人教版数学八年级下册

教案教学基本信息课题二次根式的概念及性质（第一课时）学科数学学段：第三学段年级初二教材书名：义务教育教科书数学八年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年12月教学目标及教学重点、难点本节课主要学习二次根式的概念及性质.在生成概念的过程中体会类比方法的运用和作用.共设计四道例题，涉及二次根式概念辨析，确定二次根式有意义的条件,二次根式的双重非负性的应用等.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入概念从代数运算看“式”的概念产生，体会知识之间的联系.单项式是由数与字母的乘法运算来定义的.而多项式是几个单项式的和.分式是由整式的除法运算来定义的.数或字母做开方运算得到的式子是什么呢？（二）在实际问题中体会应用1.电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系，其中R是地球半径，R≈6400km．2.汽车刹车时的速度v与汽车刹车后滑行的距离S之间存在关系其中，g是常数9.8，μ是摩擦系数.在解决交通肇事问题时，可以通过测量刹车后车轮滑过的距离，来计算车辆行驶的速度.3.爱因斯坦的相对论，是家喻户晓的关于时空和引力的理论.根据爱因斯坦的相对论，地球上的1秒钟，宇宙飞船内只经过秒，其中v是宇宙飞船的速度，c指光速.4.推导一元二次方程求根公式，利用勾股定理表示直角三角形的边长…建立知识之间的联系，通过“温故”促进“知新”.类比已学过的式的相关概念下定义的方法，尝试给二次根式下定义.体会无论是数学内部发展的需要，还是生产生活，科学研究中的实际需求，对于二次根式的学习都是非常必要的.抽象概念1.在例子中出现的，都是二次根式.你能说出二次根式具体对应的是哪种代数运算吗？2.类比分式的定义给出二次根式的定义.3.由二次根式的定义中，为什么要求“a≥0”，引出二次根式的双重非负性.4.在对式的运算的梳理的基础上，给出代数式定义.在学习新知的过程中，体现知识生长的脉络.在与旧知建立联系的基础上，逐渐拓展.有利于对知识形成“整体”的认识和感知.典型例题例1根据二次根式定义进行判断(1)下列式子一定是二次根式的是()（A）（B）（C）（D）(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？总结：求使代数式有意义的字母取值范围的条件：二次根式型：被开方数大于或等于0；分式型：分母不等于0；零指数幂型：底数不等于0；复合型：由分式、根式、零指数幂组成的复合型代数式．例2二次根式双重非负性的应用（1）当x取何值时，的值最小，最小值是多少？（2）若，则a+b-c=.总结：1.二次根式的最小值是0.2.梳理常见的具有非负性的式子.例3二次根式双重非负性作为隐含条件的应用（1）若是正整数，则n的最大整数值是.（2）已知a满足，则.例4二次根式双重非负性作为隐含条件的应用已知：a、b为等腰三角形的两边长，且满足等式.求这个等腰三角形的周长.巩固对二次根式定义的理解.根据二次根式中的被开放数是非负数来确定字母的取值范围.一颗星题目最为基础；二颗星题目被开方数的形式比一颗星题目更为复杂；三颗星、四颗星题目更为综合.题目难度的设置上层层递进，激发学生参与的热情.题目的选择上既体现巩固新知，又起到温习旧知的作用.联系旧知，进一步理解二次根式的非负性.体会二次根式的双重非负性作为隐含条件，在解决问题的过程中所发挥的作用.在解决综合问题的过程中，体现对思考问题全面性的培养.提升练习1.下列式子中是二次根式的有()①；②；③(m＞2)；④；⑤；2.在下列式子：①；②(x－3)0；③中，x不可以取3的是()A．只有① B．只有② C．①和② D．①和③巩固本节课核心内容的理解和掌握.归纳小结1.二次根式的定义.2.二次根式的双重非负性．梳理本节课所学内容，提炼本节课知识核心.布置作业１．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（１）；（２）；（３）；（４）．2．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（１）；（２）；（３）;（４）.3．（１）已知是整数，求自然数n所有可能的值；（２）已知是整数，求正整数n的最小值．巩固对二次根式定义及二次根式的双重非负性的掌握.教案教学基本信息课题二次根式的概念及性质（第二课时）学科数学学段：第三学段年级初二教材书名：义务教育教科书数学八年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年12月教学目标及教学重点、难点本节课继续学习二次根式的性质.在归纳性质的过程中体会从特殊到一般的研究数学问题的思路方法.共设计两道例题，涉及运用二次根式的性质进行计算等.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图规律探究，获得猜想在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加与减、乘与除、乘方与开方运算之间存在着互逆的关系.互逆的运算在计算中常常呈现“相互抵消”的效果.如：类比猜想：==a.通过对问题的探究获得猜想，继而通过验证猜想得到二次根式的性质，让“知识的学习”发生的更加自然.也借此引导学生，在学习的过程养成乐于思考、勇于探索的精神.验证猜想，获得性质(一)验证猜想1：从具体例子入手，根据算术平方根定义，进行推理.从特殊到一般，得到二次根式的性质(二)验证猜想2：1.从具体例子入手，根据算术平方根定义，进行推理.从特殊到一般，得到.2.当a<0时，通过举反例说明：不成立.从具体例子入手，推理出当a<0时，方法1：模仿前面的探究过程，留待课后完成.3.根据算术平方根定义进行推理，得到由此，得到二次根式的性质（三）对比与①性质含义；②的取值范围；③运算结果.体会从特殊到一般的研究数学问题的思路方法用算术平方根的定义对猜想进行分析，培养用代数语言进行推理的能力.体会两条性质的区别与联系.运用性质例1运用性质进行计算（1）运用进行计算:（2）运用进行计算:（3）若，则a的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）例2性质运用的辨析（1）请你判断下列等式是否成立（2）对于题目“化简并求值：，其中a＝”，甲、乙两人的解答不同.谁的解答是正确的?为什么?甲的解答如下：乙的解答如下：在对新知的运用中，加深对新知的理解.运用不同的性质解决问题.体会知识的灵活运用，体会方法的多样性.以辨析题的形式呈现易错点，让学生在析错的过程加深对性质的理解.并且,对于易错点的充分认识，有利于巩固正确的认知，从而规避出现同类错误.逆用性质1.：任意一个非负数都可以写成一个非负数的平方的形式.2.：任意一个非负数都可以写成一个非负数的算术平方根（二次根式）的形式.归纳小结1.二次根式的定义.2.二次根式的性质.(1)二次根式的双重非负性.(2)