2022届新高考复习必备数学试卷分项12 立体几何与空间向量（解答题）解析版

2022届新高考复习必备-2021届山东高考冲刺数学试卷分项解析

专题12立体几何与空间向量（解答题）

42.（2021・山东日照•高三其他模拟）已知多面体中，ADEF为正方形,平面ADEFJ_平面A8CZ）,

ABHCD,BC1,CD,AB=旧,BC=^~,BD=2.

（1）证明：AEVBF-,

（2）求平面庞产与平面BCE所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）名叵.

21

【分析】

（1）通过证明BDLAD,根据条件得BD_L平面ADEF,证得AEJ_8D和。尸_LAE,从而有AE_L平面BDF,

进而得证；

（2）以D4为x轴，OB为N轴，£>E为z轴建立空间直角坐标系，利用面的法向量计算二面角的余弦值即

可.

【详解】

（1）因为80=2,BC=—,BC1CD,由勾股定理，可得。。=拽，

55

DRD

因为AB=石，所以==不，因为AW/CD，所以NBDC=NAB3,

BDAB

所以△BCD^AADB,

因为8C_LC£>,所以3E)J_A£)

又因为平面ABCD1平面ADEF,平面ABCDA平面ADEF=AD,

所以BD_L平面ADEF,

由AEu平面ADEF,可得4E_L8£).

在正方形中，有DF_LAE,

Mu平面班*,Z)Fu平面BDF,BDcDF=F,

A£J_平面尸，B尸u平面8。尸，BFYAE-.

(2)以ZM为x轴，£>8为y轴，£>E为z轴建立空间直角坐标系，可得

8(020),£(0,0,1),"1,0,1),cf0),

uuiuuuuur(42、

BE=(O,-2,l),EF=(l,0,0),CB=l-,-,0j

设平面BEF的法向量为克=(3,X,4),平面BCE的法向量。=(W，%，z?)

BEm=0,_2y+Z1=0,

可得令y=i，得到沅=(o,i,2),

EF,沅=0,xt=0,

-2%+z2=0

BEn=Q,=(1,-2,-4),

可得《42八令马=1，可得。

CBn=0,9+/=0，

rr

/rmn-102V105

8soM=郭

21

所以平面班F与平面BCE所成锐二面角的余弦值为名晅.

21

43.(2021•山东日照•高三月考)如图，在多面体ABCC史中，四边形88E是矩形，AADE为等腰直角三角

形，且ZA£>E=90。，

LAB=AD=6,BE=2.

2

(1)求证：平面ADEL平面A8E；

TT

⑵线段8上存在点P,使得二面角的大小为"试确定点P的位置并证明.

【答案】(1)证明见解析；(2)点P为线段CD的中点；证明见解析.

【分析】

(1)由和可得BE1平面4DE,进而由BEu平面ABE可证得平面ADEJ•平面住；

(2)建立空间直角坐标系，根据线段长度求出所需点的坐标，设尸(x,y,z),根据点尸在线段8上，可设

OP=2DC=2EB-进而用/表示出点P的坐标，然后求出平面和平面AE£＞的法向量，用空间向量的

夹角可列方程，求解即可确定P的位置.

【详解】

(1)证明：由己知，等腰直角三角形AADE中AO=0，得AE=2,

又近BE=AB=2®，所以AE2+8E2=A52，因此他_1庞，

X.DELBE,AEC\DE=E,

可得BE1平面AOE,乂BEu平面ABE,

所以平面ADE_L平面ABE.

TT

(2)点P为线段OC的中点，使得二面角P-AE-。为大小为了，

4

以E为原点，E4为x轴，£»为＞轴，过E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系E-个z,

则E(OQO),71(2,0,0),8(0,2,0),易得。(1,0,1),

设P(x,y,z),由丽=2反=7丽，/le(O,l)

即(x-1,y,z—1)=2(0,2,0),得P(l,24,1).

设平面AEP的一个法向量为匕=(X]，x，zJ,

则目=°,即产=。

EPh}=0[%+2办+4=0

不妨设％=1,取％=(0,1,-22).平面4把的一个法向量为%=(04,0)

TT

因为二面角p—花一。的大小为二

于是cos[=|cos（4,万,=——,1==.

41、〃1XV1+4A22

解得2=g或（舍去）.

TT

所以当点P为线段8的中点时，二面角PYE”的大小为“

历

44.（2021•山东高三月考）已知四边形A6CQ,ZBAC=ZADC=90°,DC=DA=—AB,将△AOC沿AC

2

翻折至△%€：.

C

P

（1）若PA=PB,求证R4_L8C；

⑵若二面角P-心5若，求直线8c与平面的所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

6

【分析】

（1）利用勾股定理逆定理得PALPB,再由已知垂直处E4,平面尸8C,证得线线垂直；

（2）取AC的中点E,8C的中点尸，连结EF,PE,证得NPE尸为：：面角P-AC-B的平面角，以E为

原点，胡为x轴，EE为V轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角的正弦.

【详解】

（1）证明：因为。C=ZM=^AB,PA=PB,

2

所以PB=P4=DA=@A8,

2

在△PAB中，有PA2+P82=LA82+，AB2=A82,

22

所以F4_LP8，

又NADC=90。，即NAPC=90。，所以24,PC,

因为PBcPC=P,PB,PCu平面P3C,

所以PA_L平面PBC,

又BCu平面PBC,

所以P4_LBC；

（2）解：取4c的中点E,BC的中点F,连结EF,PE，则防〃43,

因为N8AC=90。，所以A8LAC,所以E尸_LAC,

因为DC=D4,即PC=PA,所以PE_LAC,

TT

所以N尸样为二面角P—AC—B的平面角，NPEF=1

4

设£>C=ZM=EAB=&，则AC=VBF7市'=2=A5，PE=；AC=CE=AE=1,

22

以点£为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

（历

则，4（1,0,0）,5（1,2,0）,C（-1,0,0）,P0,芋,号,

\7

所以CB=（2,2,0）,AB=（0,2,0）,AP=,

设平面PBC的一个法向量为〃=（x,y,z）,

（——（2y=0

则卜噂7即「及及，

[n-AP=0-x+—y+—z=0

i2-2

令x=l,贝ljy=。，z=72,故〃=（1,0,血），

所以cos伍如儡J=诉邛,

故宜线BC与平面八$所成角的正弦值为四.

6

45.（2021•山东）在图1所示的平面图形45CZ）中，△A8O是边长为4的等边三角形，8。是N4）C的平

分线，且3O_LBC,"为A。的中点，以BM为折痕将AABM折起得到四棱锥A-BCDW（如图2）.

(1)设平面ABC和4DM的交线为/,在四棱雉A-3CDM的棱AC上求一点N,使直线〃/;

(2)若二面角A-3/W-。的大小为60。，求平面A8D和ACO所成锐二面角的余弦值.

3

【答案】(1)N为棱4C的中点；(2)

【分析】

(1)延长C8,DM.其交点为E，则直线AE为平面A8C与AMD的交线/,依题可知8为EC的中点，当

取AC中点N时，利用三角形中位线即可证明BNHI；

(2)取MD的中点。为坐标原点，建立坐标系，分别求出平面丽和ACD的一个法向量，结合向量夹角公

式即可求出二面角的余弦值.

【详解】

解：(1)延长CB,DM,其交点为E,如图所示，

因为点A,E既在平面43c内，又在平面AMD内，

所以直线AE为平面ABCyAMD的交线/,

因为8。为是NADC的平分线，且8£>J_5C,所以8为EC的中点，

取AC中点N,连接2N,则BN为AAEC的中位线，

所以直线5N〃AE,BPBN//I,

故N为棱AC的中点.

(2)因为所以4M£)=60。，

又因为AM=ME>,

所以为等边三角形，取的中点。为坐标原点，以所在直线为*轴，在平面BQDAf内过点。且

和MD垂直的直线为y轴,以OA所在直线为Z轴，建立如图5所示的空间直角坐标系,

所以:仇—1,0,0),A(o,o,aC(-5,4^,0),B(l,273,0)

所以方=(1,0词,DC=(-4,473,0),=(2,273,0),

-

设平面4co的法向量为蔡=(x,y,z),则-n，

'/in-DC=0

x+Gz=0「

即｛r，令Z=—，则X=3,y=,

-4工+4岛=0

所以标二(3,月，-石),

>?DA=0

设平面ABZ）的法向量为〃=（〃,8c）,则

n-DB=0

a+6c=0厂

即《L,令C=-g,则4=3,b=—6

2。+2屏=0

所以Z=(3,-g,-g),

设平面AB。和ACO所成锐二.面角的大小为e,

〔3x3+^3x(―^5)+(-x-^3j|

3

所以cos®==

~5,

3

所以平面ABO和ACO所成锐二面角的余弦值为:.

46.（2021•山东省实验中学高三二模）如图，已知斜三棱柱A8C-ASG的底面是正三角形，点M,N分

别是线G和的中点，AA,=AB=BM=2,ZA,AB=60°.

N

AiBi

C

(1)求证：BN工平面ABCi;

(2)求二面角AB-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)亭.

【分析】

(1)通过判断BN，A片和EV_LMN即可证明；

(2)取AB的中点0,连结A。，以点。为原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面ABC的个法

向量，利用向量关系即可求解.

【详解】

(1)证明：连结MV,A«.侧面是平行四边形，且4,48=60。，

所以为正三角形，

又点N分别是4用的中点，所以BN1A再

又因为AA===2,所以BN=由,MN=1.

所以SM+MN=B"，所以BN工MN,

又A、B、cMN=N,所以&V_L平面AS£.

(2)取A8的中点。，连结A。，则AQ//BN.

由(1)知AOJ-平面ABC，CO±AB,

如图，以点。为原点，直线OE,oc,。4所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则0(0,0,0),A(0,-l,0),6(0,1,0),C(6,0,0),《0,0,6)，片(0,2,也)，M^,-,73,

I22J

设平面MAB的一个法向量为)=(x,y,z),

则W.

百

Tx+—y+y/iz=0

所

以2,可取1=(2,0,-1),

石

一

2%+]y+Gz=o

易得平•面A5C的一个法向量为％=(0,0,1)

——————■5I—

所以cos<"|,%>=^pp=|="Y

因为二面角A-AB-M为锐角，所以其余弦值为4

47.(2021•山东高三其他模拟)如图，在正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心)

P-ABCDAB=2,PA=2®,AC与BD交于点O,平面ZJMQN为直线的垂面，且与以，PC,PD

分别交于M,N,Q三点，点E在线段PD上，且满足PE=3ED.

(1)证明：OE〃平面BMQN-,

(2)求直线N。与平面以B所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)立.

7

【分析】

(1)连结8Q,根据线面垂直的性质和线面平行的性质可证得8Q_LPD,再由线面平行的判定可得证;

(2)根据三角形的余弦定理可求得点N为线段尸C上靠近C的三等分点，以。为坐标原点，建立空间直角

坐标系，运用线面角的向量求解方法可求得答案.

【详解】

(I)证明：连结BQ,由题意可知，PD_L平面8MQM因为BQu平面BMQN,所以

因为在中，BD=PB=PD=2后,所以。为P力的中点，因为尸E=3ED,所以

则QE=PD-DE-PQ=PD-^PD-^PD,即QE=ED,

因为80=0力，所以。E〃8Q,又OEu平面8MQN,BQu平面

所以0E〃平面BMQN；

PC。+PD2-CD，=(20)2+(2收＞-4_3

(2)解：在APCD中,cosZCPD=

2PCPD2x2及x2及4

在RNPNQ中,NNQP=土,cosZ0P/V=,

2PNPN4

所以PN=逑，CN=PC-PN=巫,即点N为线段PC上靠近C的三等分点,

33

以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则。(0,0,0),4(0,-五,0),8(夜，0,0),C(0,41,0),

N9平，净，

。(-五，0,0),P(0,0,V6),e(-

iiAB=0及x+\/2y=0

设平面PAB的法向量为而=(x,y,z),则B|J-

nAP=0'夜y+\/6z=0

令z=l,则x=6,y=-6，故无=(6,-G,l),

显

所以|cos＜而，万＞|=理包=-=且

\NQ\\n\"x巫7

3

故直线NQ与平面PAB所成角的正弦值为理.

7

48.（2021•山东高三其他模拟）已知平行四边形AfiCD中，NC=60,点E在AO上，且满足

BC=2AB=4AE=4,将△ABE沿8E折起至△P8E的位置，得到四棱锥P-BCDE.

（1）求证：平面尸£>E_L平面8CDE；

（2）若二面角P-3E-。的大小为12（T,求直线尸8与平面PC。所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）上叵.

53

【分析】

（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得由已知可得鹿，。£,再利用线面垂直、面面垂直的判

定定理可证得平面PDE_L平面BCDE-,

（2）分析可知NPEO即为二面角P-BE-。的平面角，以E为坐标原点，ED，丽所在的方向分别作为了、

了轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线尸8与平面PCD所成角的正弦值.

【详解】

（1）在AA5E中，AB=2,AE=1,ZA=60，

由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB-AE-cos60=3.

所以86+AE2=AB2，由勾股定理知BE±AE.

折叠后，则有5ELPE,BELDE,因为PEplDE=E,所以BE_L平面尸。£，

又3Eu平面3CDE,所以平面P£>E_L平面80DE；

（2）-BEIDE,BE工PE,则即为二面角P-3E—。的平面角.

以E为坐标原点，ED，丽所在的方向分别作为X、丫轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-gz.

,C(4,6,0),

所以方=;,G,-,PC=f,>/3,

(222

设平面PCD的一个法向量〃=（%,y,zJ,

—%)~~zi=0

无！！=°,即22，令玉=，则

有，r6y=-i,4=7.

n-PD=Q7V3

—x.------z.=0

12121

所以元=（退，-1,7）即为平面PCD的一个法向量.

--n-PB-4石2^/i59

cos<n,PB>=,।.—.=—-^==----—53—

卜2底

设直线尸B与平面尸。所成角为。，则sind=|cos<n,PB>\=笔I,

所以直线总与平面PCD所成角的正弦值为刍叵.

53

49.（2021・湖北武汉市•汉阳一中高三其他模拟）如图，已知四边形ACDE为菱形，ZCD£=60°,AC1BC,

F是OE的中点，平面ABCn平面8OE=/.

B

A

(1)证明：/!.平面BCF：

(2)若平面越<^_1_平面48上，AC=BC=2,求AE与平面B£>E所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

7

【分析】

(1)由四边形A8E为菱形，N8E=60。可得△CDE是等边三角形，从而由等边三角形的性质可得

ACA.CF,而ACL8C,则由线面垂直的判定定理可得AC,平面BCF,再由线面平行的性质可得"/AC,

进而可证得/_L平面BCF：

(2)由已知条件可得C4,CB,CF两两互相垂直，所以以C为坐标原点，以C4,CB,CF所在直线分

别为x轴，丫轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角

【详解】

(1)证明：己知四边形A8E为菱形，ZCDE=60°,所以△CDE是等边三角形，因为F是。E的中点，

所以ACLCF,

又AC_L8C,CFC\BC=C,CF,3Cu平面3CF,

所以AC_L平面8c5，

乂菱形ASE中，ED//AC,AC<Z平面8DE，£>Eu平面BDE,

所以4c〃平面3£)E.

而ACu平面43C,平面ABCPI平面瓦出=/,得〃/AC.

因此/，平面8CF.

(2)因为平面平面ACDE,平面ABCn平面ACDEuAC,

AC±BC,BCu平面ABC,

所以8cL平面ACDE,

于是C4,CB,C/两两互相垂直，以C为坐标原点，以C4,CB,CF所在宜线分别为x轴，)轴，z轴

建立空间直角坐标系.

则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(-1,0,A/3),E(l,0,6),

所以丽=(-l,-2,G),DE=(2,0,0),荏=(-1,0,6)，

设平面BDE的法向量/；=(x,y,z),

,n-BD=0f-x-2y+\/3z=0.-

由K；八,得<J,可ri取〃=(0,r&2),

n-DE=0[x=0

一，/—AEn273_V21

所以8S0E'〃"丽=*=下

故AE与平面BOE所成角的正弦值@

7

50.（2021•山东高三其他模拟）如图，正八面体ABCDEF是由上下两个棱长均相等的正四棱锥拼接而成,

各棱长均为0.

（1）若平面ABCC平面CDF=/,证明：AB//1；

（2）求平面A8C与平面CDF所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（I）先证明48〃平面CDF,利用线面平行的性质定理可以证明A8〃/

（2）连接CE、BD,设CECBO=。，则Ow®,以。为坐标原点，分别以反、而、砺所在直线为x、y、z

轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法计算.

【详解】

（1）证明：由图可知，四边形48FO为菱形，则A8〃O尸，

ABcZTffiCDF,DF平面CDF,则A8〃平面CDF,

又平面ABCn平面C£＞F=/,AB平面ABC,

由线面平行的性质，可得A8〃/；

(2)连接CE、BD,设CEn8C=。，则0WE4,以。为坐标原点,

分别以反、而、万所在直线为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系,

由正八面体的各棱长均为a,可得：4(0,0,1),B(0,-1,0),

C(1,0,0),D(0,1,0),F(0,0,-1),

则及=(1,1,0),C4=(-1,0,1),CD=(-l,l,0),CF=(-l,0,-l),

设平面ABC的一个法向量为济=(x,y,z),

in-BC=x+y=0

取z=l,得加=(L-1,1)；

玩•CA=-x+z=0

设平面CO尸的一个法向量为万=(x1,y,ZI),

n-CD=-X[+y=0

取zi=-1,得元=(1,1,-1).

n-CF=-xt-Z]=0

m-n-11

cos<m,n>=

I庆H为I&忑一3

则平面ABC与平面CO尸所成锐二面角的余弦值为|cos＜而，五＞|=g.

51.(2021•山东聊城一中高三其他模拟)如图，在直三棱柱48C-A8C中，底面三角形ABC为直角三角形,

其中ABLAC,AB=3,AC=4,CC,=8,M,N分别为BB1和A4的中点.

(1)求证：CNL平面GM';

(2)当点尸在线段GA上移动时，求直线NP与平面8BCC所成角正弦的最大值.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)j.

【分析】

(I)通过证明CN1C、N,CN±MN证得CN，平面QMN.

(2)求得N到平面的距离，由此求得直线NP与平面所成角正弦的最大值.

【详解】

(])由于A8_LA4,,AB_LAC,A41CAC=A,

所以A6_L平面ACC|A,所以AfiACN.

由于M,N分别是叫,AA的中点，所以MN//AB,

所以MN_LCN.

由于AC=AN=AC=AN=4,所以三角形ACN和三角形AGN是等腰直角三角形，

所以NC、NC=1800-4NA-NCNA=90°,

所以CN1C7.

由于MNcGN=N,所以CNL平面GMN.

(2)过A,作AD_LB£,

由于AD，B耳,8与cBg=4，所以A。J•平面BBCC

BC=4G=5，

1i12

在放△ABC中，由三角形的面积得］x3x4=5x5xAQnAO=y.

12

所以4到平面BB©C的距离为9.

由于/LV/8q,AA0平面88CC，8与u平面B8CC，

所以AA〃平面88CC.

所以N到平面BB'C'C的距离为〃=1?2.

延长NP交CG于Q，

设直线NP与平面BB\C、C所成角为

12

则.幻”~512,

NQNQ5NQ

当NQ最小时，sin。最大，

由于四边形4CGA是矩形，N是AA的中点，所以N。的最小值为AC=4,

所以sine最大值为蒜=急

52.（2021•沙坪坝•重庆八中高三月考）如图，在四棱锥P-A8C£>中，底面A8CD是平行四边形，侧面APBC

是等边三角形，AD=gB,ZBCD=45°,面P8CJ_面A3C£>,E、/分别为BC、CD的中点.

p

AD

（1）证明：面「£/_1_面加?；

（2）求面庄户与面PAD所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）回

4

【分析】

（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系转化为证明CD_L平面尸所，（2）以E为坐标原点,

ED、EC、EP分别为X、V、z轴建立直角坐标系，分别求平面尸EF和平面R4£）的法向量，再根据法向

量求二面角的余弦值.

【详解】

（I）设AB=2,则AO=2&，

/.CF=\,CE=屈,

••EF=V1+2-2xlx5/2xcos45°=1>

，CF2+EF2=CE2,

EF1CF.

在等边三角形PBC中，E为8c的中点，PELBC,

"J^PBCV^ABCD,PEu面PBC,

面尸BCD面ABCD=BC,

:.PE_L面A8CD

CDu面ABCD,/.PEVCD.

'：EFVCD,EFcPE=E,

：.C£）J_面尸EF.

AB//CD,ABL面庄尸，

VAB\®E4S,.,.面尸£尸_L面

(2)由(1)知8D=2,DELBC,以E为坐标原点，ED、EC、EP分别为X、V、z轴建立直角坐标系,

则P(0,0,太)，。(夜,0,0),C(0,V2,0),A(立,-2&,0),F

AD=(0,2A/2,0),赤=(-五0,向.

设面的法向量为庆=(x,y,z),

2氏=0广r-

Lr-，取Z=1,得x=6，y=o,丽=(6,0,1).

->/2x+V6z=0

面PEF的法向量为CD=(72,-72,0),

,cos〈西丽〉=正=逅,

2x24

...面PE尸与面月4。所成锐二面角的余弦值为".

4

53.(202L全国高三其他模拟)如图，四边形CDE尸为正方形，ABHCD,A3=28C=2C»,点。为8尸的

中点.

(1)求证：B。//平面CEQ；

(2)若N3AC=30。，AC1BF,求平面CE。与平面A8C£＞所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）与.

【分析】

（1）由正方形、中位线的性质易得。Q/BO,根据线面平行的判定可证应＞〃平面CE。.

（2）由线面垂直的判定及性质证明AC、BC、CF两两垂直，以C为原点，以C4,CB,C/所在直线为

x,旷，z轴建立空间直角坐标系，设钻=2标注相关点的坐标，求面CEQ、面ABC。的法向量，应用向

量法求二面角的余弦值.

【详解】

（1）连接DF，交CE于点、0,连接Q。，

•.•四边形CDEE为正方形，

二。为£）尸中点，又。为3尸中点.

/.OQ//BD,而OQu平面CE。，平面CEQ,

/.BD"平面CEQ.

(2)VAB=2BC,ZBAC=30°,在AABC中，由———=-^-,得sinZAC8=l,则ZACB=90°,

sinZACBsin30°

ACIBC.

VAC±BF,BFcBC=B.

：.4C±Y®BCF,而Cfu面Bb,有AC_Lb.

VCDLCF,ACr\CD=C,

，CF,平面ABC。，而3Cu面ABC。，有CFLBC.

以C为原点，以C4,CB,CP所在直线为X,y,z轴建立空间直角坐标系，

z

设AB=2,则8c=0）=1,AC=6则4（6,0,0）,B（0,l,0）,尸（0,0,1）

a4=（g,-l,0）,CB=（0,1,0）,CF=（0,0,1）,^CE=CD+CF=^BA+CF^倬4）

227

后1*n

——x——y+z=0

n-CE=02

设面CE。的法向量为3=(x,y,z),则glJ-■2-,令y=2,则1=（26,2,-2）,

nCQ=0'

—y+—z=0

02

由CF上面ABCD^W：CF是而ABC。的一个法向量,

斤5_2_x/5

设面CEQ与面ABC。所成锐二面角的平面角为0，则cos。=同.冏=击=了

54.(2021・克拉玛依市第一中学高二月考)如图，已知长方体ABC。-AAG"中，AB=1,BC=2,CC,=2,

E,F分别为BC,CG的中点.

(1)求过E,F,。三点的截面的面积;

(2)一只小虫从A点经B片上一点尸到达G点，求小虫所经过路程最短时，直线的》［与平面APG所成的角

的正弦值.

【答案】(|)更：(2)巫1.

217

【分析】

(1)连接A。，AE,BC、,则四边形ABGA为平行四边形，E,尸分别为8C,CC,的中点，利用平行的

传递性，得到所求截面为梯形EFQA,进而利用勾股定理和梯形的面积公式求解即可；

(2)以D为坐标原点，以。A,DC,OR分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.若所经过路程最短，则

△AP8与用相似，所以黑=写=,，进而求出P点坐标，进而求出平面APG的法向量，最后利用

BPAB1

线面角正弦值的向量公式求解即可

【详解】

解：(1)连接A。，AE,BC一则四边形ABGR为平行四边形，

又因为E,尸分别为8C,CG的中点，所以ADJ/BQ,EFIIBCJIAD,,

所以所求截面为梯形EFRA.

22

EF=\lEC4-CF=,A。=2\/2,AE=DXF—V2,

22

梯形的高h=JDtF-(-(AD-EF))=—,

所以所求截面面积S=4(应+2四)逅=士叵.

222

(2)以。为坐标原点，以DA,DC,OR分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则A（2,0,0）,C[0,l,2）,0（0,0,2）,£（1,1,0）,

若所经过路程最短，则*与咫相似,所以箓=第1,所以

^=fo,l,|LAq=(-2,1,2),

2

_Vd——Z=0

设平面”G的法向量〃=(”z),则了3

一2x+y+2z=0

令z=3,则y=-2,x=2,

所以7=(2,—2,3),函=(—

/一~ri~n\-2+2+6V102

cos(/?,D£)=/

\1/"z+4+9.J1+1+417

所以直线皿与平面”G所成的角的正弦值是瞎.

55.（2021•山东泰安・高三其他模拟）如图，在三棱柱ABC-A2IG中，平面ACCM，平面

ABC,AC1BC,AC=BC=CC,=4.

（1）证明：平面ABC,平面AB£；

（2）若A瓦与平面ABC所成角的正弦值为交，求二面角A-4C一旦的余弦值.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）叵;

7

【分析】

（1）四边形4CGA为菱形，则AC1CA，由ACL8C证得8CL4G，从而有AQL平面A^C,从而证

得平面ABCJ.平面ABC；

(2)设ACCIAG=E，则NAgE即为A瓦与平面ABC所成角，从而求得入《=2,/\C=4,AC；=4石，

ZACC,=120,NC4c=30；延长AC,作CF_L4c于F点，则即为二面角A-AC-用的平面角,

tanZB『G=第，从而求得余弦值.

C、F

【详解】

(1)由题知，四边形ACGA为菱形，则AGJ.CA，

乂平面ACGA_L平面A8C,且AC为交线，AC1BC,

则8C，平面ACGA,又AC；u平面ACGA，

则BCJ.AG，又8CcCA=C,

则AGJL平面ABC,又AGu平面AB,C,,

则平面A/CJ■平面A8G；

(2)设ACDAG=E,由(1)知，AEJ■平面AB©,

则NAME即为4由与平面ABC所成角，sinNAgE=4£=也，

A44

由4C=BC=CG=4,结合(1)中结论有，AB=A4=40，

则AE=2,AC=4,三角形ACA为正三角形，在菱形4CGA中,

AC；=4N/3,ZACC,=120,ZCAC,=30。，

由(1)知，gG_L平面AC£A，则B£1AC,

延长AC,作于尸点，则C/=AGsin/C4G=26,

AC,平面BC7,从而ACLB/

则ZB,FC,即为二面角A.-AC-B,的平面用,

则tanNB/G=等^=-^==2^1,则CosZBtFCf=--

即二面角A-AC-4的余弦值为叵

7

56.（2021・沂水县第一中学高三其他模拟）如图，在四棱锥尸-ABC力中，平面PABL平面ABC£>,BC//AD,

ZBAD=90°,PA=AD=2AB=4BC=4,PC=E

(1)证明：P4J_平面ABC。；

(2)线段48上是否存在一点M,使得A/C与平面PC。所成角的正弦值为叵？若存在，请求出誓的

17AB

值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，

【分析】

(1)由平面PAB_L平血ABCD,推出AZ>_L平面P43,有4O_LR4,再由勾股定理的逆定理证明E4_LAC,

最后由线面垂直的判定定理，得证；

(2)以A为原点建立空间直角坐标系，设㈤彳=力通，260,1],求得平面PCD的法向量为，由等Tcos<,3

MC>\,求出/I的值后，即可得解.

【详解】

(1)证明：・•・平面以B_L平面ABC。，平面抬8c平面A3CD=AB,ZBAD=90°,

••.AD_L平面八记，

•.•姑匚平面％8,ADVPA.,

在直角梯形A8CO中，2AB=43C=4,

.-.AC=y)AB2+BC2=物+F=#>，

-.-PA=4,PC=6,PA2+AC2=PC2>HPPALAC,

乂AL>nAC=A,AD.ACU平面4BC£),

.•.P41,平面ABCD.

(2)解：以A为原点，AB,AD.AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),5(2,0,()),P(0,0,4),C(2,1,0),0(0,4,0),

•­.AB=(2,0,0),PC=(2,1,-4),PD=(Q,4,-4),

^AM=AAB>4e［。,D,则”(24,0,0)

•••MC=(2-2A,I,0),

(n-PC^O(2x+y-4z=0

设平面PCO的法向量为万=(x,y,z),贝IJ—,即:，

［元•尸£)=0［4y-4z=0

令y=i,则x=g,z=i,，M=g，i，i),

•••MC与平面PC。所成角的正弦值为《亘，

和-22)+1

x"(2-24)2+1

化筒得16%-82+1=0,解得几=二,

故线段AB上存在点M满足题意，且器

p

c

57.（2021•全国高三专题练习（理））如图，在四棱锥P-MCD中，底面ABC。是边长为1的正方形，PAVCD,

PA=\,PD=O,E为PD上一点、,且尸E=2E£>.

（2）求二面角P-CE-3的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）拽.

10

【分析】

（1）用勾股定理证明结合以_LCO,即可证明24,平面Ai3cD,从而证到平面卓C,平面

ABCD；

（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式求解即可.

【详解】

（1）证明：在M4D中，PA=AD=1,PD=>f2

PD2=PA2+AD2

：.PALAD

又如J_C£),CDC\AD=D,CD,ADu平面ABC。

:.PAA.^ABCD

又处u平面PAC

平面PACJL平面ABCD

（2）以A为原点，