辽宁省抚顺市六校协作体2024届高三上学期期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省抚顺市六校协作体2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由不等式，即，解得，所以，又由，所以.故选：B.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，则，.故选：A.3.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，.故选:C.4.已知为等比数列，且，则（）A.216 B.108 C.72 D.36〖答案〗A〖解析〗设等比数列的公比为，由题意，所以.故选：A.5.已知曲线在点处的切线与圆相切，则的半径为（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，故切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为.又因为与圆相切，所以的半径.故选：C6.已知，是方程的两个根，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因为，是方程的两个根，所以，，所以.故选：D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，则（）A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗双曲线的渐近线方程为，其中，所以到的距离为，因此，，，则，由，得，解得.故选：B8.已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，当时，，所以，即，所以在上单调递减.因为，是锐角的两个内角，所以，则，因为在上单调递减，所以，故，故D正确.同理可得，C错误；而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断.故选：D.二、选择题9.直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（）A. B.C.的最小值为6 D.的最小值为12〖答案〗BD〖解析〗对于A，B，由直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确；对于C，D，当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确．故选：BD．10.如图，点在以为直径的半圆上运动（不含A，B），，，记，，的弧度数为，则下列说法正确的是（）A.是的函数 B.是的函数 C.是的函数 D.是的函数〖答案〗AD〖解析〗设圆的半径为R，由题可得，，，其中当点从运动到的过程中，的值从一直减小到0，的值从增大到，再从减小到，的值从0一直增大到，由函数的定义可知不是的函数，是的函数，不是的函数，是的函数.故选：AD.11.如图，在三棱锥中，平面，，且，，过点的平面分别与棱，交于点M，N，则下列说法正确的是（）A.三棱锥外接球的表面积为B.若平面，则C.若M，N分别为，的中点，则点到平面的距离为D.周长的最小值为3〖答案〗BCD〖解析〗取中点为，连接,因为平面，平面，所以,故,,所以,又，且，，所以因此,所以三棱锥外接球的半径，表面积，A不正确.若平面，平面,则，.平面，平面，所以,又,,平面，所以平面，平面，故，所以.由于,又，所以，，解得，B正确.因为M，N分别为，的中点，所以，由于平面,则平面，又平面，平面，故平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离.设点到平面的距离为，易知，，，由，得，解得，C正确.如图，将，翻折至平面内，连接，易知即周长的最小值，，周长的最小值为3，D正确.故选:BCD12.已知，均是由自然数构成的数列，且，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，又，故，得，即，记表示不大于的最大整数，因为，所以，故，则，A正确；若，则，，故，所以，即，B不正确.当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.故，C正确.，则，D正确.故选：ACD.三、填空题13.已知向量，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，故.故〖答案〗为：14.先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程：__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，向左平移个单位长度得到，令，，解得，，可取，则.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量.等级划分如下表：日降雨量/mm等级小雨中雨大雨暴雨某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为__________.〖答案〗大雨〖解析〗由题可知水桶的上底面半径，下底面半径，桶深，水面半径，水深，则水桶中水体积，则日降雨量为，故当日降雨量等级为大雨.故〖答案〗为：大雨16.已知，是函数的两个零点，则__________.〖答案〗〖解析〗显然，当时，令，得.令，，则的零点转化为与图象的交点.因为，故，所以的图象关于点对称.，故图象也关于点对称，所以，则.故〖答案〗为：四、解答题17.锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求；（2）若，，求的面积.解：（1）因为，所以，又，所以.由为锐角三角形，得.（2）由（1）及余弦定理知.因为，，所以，所以的面积.18.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，函数定义域为R，求导得，当时，；当时，，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值为，的极小值为.（2）由在上恒成立等价于在上恒成立，令，求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，于是，所以的取值范围为.19.在正项等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.（1）解：设的公差为d，则，解得或（舍去），故.（2）证明：由（1）可知，则.20.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，.（1）证明：.（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：连接，与交于点，连接.因为四边形是正方形，所以.因为，为的中点，所以.因为，平面，平面，所以平面.又平，所以.（2）解：过作的垂线，垂足为，由第一问可知：平面平面平面平面，且平面平面，平面，可得：平面.以为坐标原点，过且平行于，的直线分别为轴，轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系如下图所示：由，得，因为，，所以，则，，，则，，，.由，得，，.设平面的法向量为，由得令，解方程组可得，故.由图可知是平面的一个法向量.，显然二面角为锐角，故.故平面与平面夹角的余弦值为.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线，并与交于A，B两点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与交于M，N两点，，的周长为8.（1）求的方程.（2）记，分别为的左、右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点Q，和的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解：（1）将代入可得，所以解得，，故的方程为.（2）为定值，定值为.理由如下：依题可设直线的方程为，，，联立方程组整理得，则，.易知，，直线的方程为，则直线的方程为，令，得，同理可得..故为定值，且该定值为.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.（1）解：因为，，所以.若，则在上恒成立，在上单调递增，若，则当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单