江苏省南通市如皋市2024届高三上学期教学质量调研（三）数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省南通市如皋市2024届高三上学期教学质量调研（三）数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，则，所以，所以，又，所以，则，.故选：A．2.已知复数是关于x的方程（a，）的一个解，则复数的虚部为（）A. B. C. D.5〖答案〗B〖解析〗因为，所以所以，所以，所以的虚部为，故选：B．3.某学校校医研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，，则下列结论正确的是（）x568912y17m25n35A.在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数r增大B.在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则C.在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则当时，残差为D.事件“，”发生的概率为〖答案〗D〖解析〗对于A中，因为回归直线方程过数据的样本中心点，所以在确定的条件下去掉样本点，则相关系数不变，所以A错误；对于B中，由样本中心点为，可得，解得，所以B错误；对于C中，由，当，可得，则，所以C错误；对于D中，由，则可取，的可取，则的取值为，所以，的概率为，所以D正确.故选：D．4.已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（）A.3 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，则，故，在方向上的投影向量.故选：D.5.双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗根据题意作出图形：设的内切圆与，，分别切于点M，N，Q；内切圆圆心.则.由双曲线C：（）可得：，，，.由圆的切线长相等可得：，解得：，即圆I的圆心在直线上.因为的内切圆圆心的横坐标为1，所以.又因为，所以，则离心率.故选：C．6.已知函数的两个零点分别为，若三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函数的两个零点分别为，即是的两个实数根据，则因为，可得，又因为适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设，可得，解得，所以，所以，则不等式，即为，解得，所以不等式的解集为.故选：A.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由函数在上为单调递增函数，可得，即，又由函数在上为单调递增函数，可得，即，因为，，则，，可得，令，可得，可得为单调递减函数，所以，且当时，，所以，即，所以，综上可得，.故选：C.8.已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则的值为（）A.0 B.8 C. D.4〖答案〗C〖解析〗∵为偶函数，∴则两边求导得：，则关于点成中心对称，又为偶函数，∴，即关于直线成轴对称，∴且，∴，即得：，故是周期函数，且一个周期为4，因，故，于是.故选：C．二、多项选择题9.已知函数，若函数有三个不同的零点（），则下列命题正确的是（）A.函数的〖解析〗式为B.在上的最大值为C.D.在上单调递增〖答案〗AC〖解析〗对于A：显然是三次函数，所以，所以，故A正确．对于B：令，则或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，∴，故B错误；对于C：因为，，又有三个根，所以，故C正确；对于D：令，解得或，所以在和上单调递增，而不能写成在上单调递增，故D错误；故选：AC．10.某学校共有学生1400人，其中男生800人，女生600人，学校为了了解学生参加知识竞赛的考试成绩，采用分层抽样的方法从全校学生中抽取70人，其中男生的平均成绩为77分，方差为123，女生的平均成绩为70分，方差为130，则下列正确的是（）A.从男生中抽取40人B.抽取70人的平均成绩为74分C.抽取的70人成绩的方差为138D.估计全体学生中每个男生的竞赛成绩均比每个女生的竞赛成绩多7分〖答案〗ABC〖解析〗对于A中，由分层抽样的概念和计算方法，可得男生抽取人数，所以A正确；对于B中，根据平均数的计算方法，70人的平均成绩为，所以B正确；对于C中，由分层抽样的方差的计算公式，可得，所以C正确；对于D中，由全校学生中抽取70人，其中男生平均成绩为77分，女生的平均成绩为70分，可得全体学生中男生的竞赛成绩平均分比女生竞赛成绩的平均分多7分，而不是全体学生中每个男生的竞赛成绩均比每个女生的竞赛成绩多7分，所以D错误.故选：ABC.11.在正四棱柱中，，，其中，，，则下列命题正确的是（）A.当，时，平面B.当且时，平面平面PBCC.当，时，二面角正切的最大值为2D.当时，三棱锥体积的最大值为〖答案〗ABC〖解析〗对于选项A：当，时，则，可知点在线段上，因为∥，且，可知为平行四边形，可得，且平面，平面，所以∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，所以平面∥平面，且平面，所以平面，故A正确；对于选项B：当时，则，可知平面，因为平面，平面，可得，又因为，，平面PAD，所以平面PAD，且平面PBC，所以平面平面PBC，故B正确；对于选项C：当，时，即，则，可知P线段上，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设，可得，，设平面PBC的法向量，则，令，则，可得，由题意可知：平面BCD的法向量，设二面角为，则，因为，则，可得，则，可得，所以二面角正切的最大值为2，故C正确；对于选项D：因为，当，即，则整理得，即，可知点平面，当点P为点时，P到平面ABCD的距离取到最大值，所以三棱锥体积的最大值为，故D错误；故选：ABC.12.已知直线l与抛物线E：相交于，两点，其中，．分别过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别C，D，线段的中点到准线的距离为d，则下列命题正确的是（）A.若直线l过抛物线的焦点F，则焦点F在以线段为直径的圆外B.若直线l过抛物线的焦点F，则的最小值为C.若，则D.若，则的面积的取值范围为〖答案〗BC〖解析〗若l过焦点F，∴，，，，∴，，∴，∴F在以为直径的圆上，故A错误；对于B，若l过焦点F，则，∴，当且仅当即，，时取“＝”，故B正确；对于C，设中点M在准线上射影为N，设，，，∴，，且由余弦定理得，∴，∴，∴，∴，故C正确；对于D，当x轴，位于F左侧，时，则由焦半径公式得，此时，故D错误.故选：BC．三、填空题13.展开式中的系数为______________．〖答案〗480〖解析〗由题意可得，中的系数为．故〖答案〗为：.14.某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有_________种（用数字作答）．〖答案〗〖解析〗根据题意，将8个名额排成一列，有7个间隔，在这7个间隔中插入3个隔板，可将8个名额分成4组，依次对应4个班级，则有种分配方法，故〖答案〗为：.15.在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，三角形的面积为且，则的最小值为______________．〖答案〗〖解析〗过作，垂足为，令，∴，∴，令，则，所以，，则当且仅当，即时取“＝”，此时，，，此时满足条件，即的最小值为．故〖答案〗为：16.三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的取值范围为______________．〖答案〗〖解析〗取的外心，过作平面，可得三棱锥的外接球球心一定在上，设外接球半径为，所以，可得，又由是边长为的正三角形，可得，由，可得，过作于点，过作平面于点，所以，又由，可得，所以在面内以为圆心，以3为半径的圆弧上（且位于AB上方）,设至到的距离为，所以，所以．故〖答案〗为：..四、解答题17.将函数图象向左平移（）个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．函数图象经过点．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在区间上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，求的取值范围．解：（1）由图象平移可得：.∵过，∴.∵，∴.又∵，∴.令，解得：，∴的单调递增区间为，．（2）由(1)知：.∵，∴令，∵在上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，∴，解得：.∴的取值范围为．18.已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．（1）求数列和数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）依题意可得，∵①，当时，②，，，，∵，∴，且在①式中令或（舍去），∴，综上可得，．（2）由（1）可得，∴．19.如图所示，四边形ABCD为圆柱ST的轴截面，点Р为圆弧BC上一点（点P异于B，C）．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）若，（），且二面角的余弦值为，求的值．（1）证明：∵P为圆弧BC上一点，BC为圆S直径，∴，∵在圆柱ST中，平面BCP，平面BCP，∴，∵，平面PAB，平面PAB，∴平面PAB，∵平面PAC，∴平面平面PAC．（2）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，在平面BCP以过点且垂直于的直线为轴、建立空间直角坐标系，如图所示：因为，则，.所以，，，，即设，由得：，即，∴，.设平面PBM的一个法向量，∴，令，得.∵轴平面BMC，∴平面BMC的一个法向量，∴，解得：．20.已知椭圆C经过点，，，中的三个点．不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相切于点M．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M且垂直于l的直线交x轴于点，y轴于点．求动点的轨迹方程．解：（1）显然椭圆经过，，，设椭圆方程为，∴，∴，∴椭圆C的方程为．（2）方法一：设直线l的方程为，，，，∴①，∴，，∴，∴直线PQ方程为，∴，，其中，∴，，∴，代入①，∴，∴T的轨迹方程为，．方法二：设，且，①，构造直线，，即，，∴直线与椭圆相切，∴故处切线l方程：，∴，∴直线PQ方程为，∴，代入①，∴T的轨迹方程为，其中且．21.已知函数．（1）若直线与函数的图象相切，求实数a的值；（2）若函数有两个极值点和，且，证明：（e为自然对数的底数）．（1）解：依题意，设切点，求导得，则，解得，又，，则，所以实数a的值为2.（2）证明：依题意，的定义域为，求导得，则有两个不等的正根，且是的变号零点，令，求导得，当时，，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，由函数有两个零点，得，解得，此时，令，求导得，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，则，即，，因此当时，函数必有两个零点，且是变号零点，由，得，由，得，令，则，于是，解得，，因此要证，只需证，即，只证，令，，求导得，因此函数在上单调递增，，所以22.在某公司组织的团建活动中，A，B，C三个人进行传排球游戏，规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功．当排球在A手中时，A传给B的概率为，A传给自己的概率也为；当排球在B手中时，B传给A的概率为，B传给C的概率为﹔当排球在C手中时，C传给A，B的概率均为．游戏开始时，排球在A手中，经过n（）