湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可得，即.故选：B.2.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗为增函数，，所以函数的零点所在的一个区间是.故选：C.3.如果，，那么下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，故A错误；因为，所以，所以，故B错误；当时，，由得不到，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.4.已知函数的定义域是，则函数的定义域为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.故选：A.5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项BD；当时，，所以选项A符合题意，选项C不符合题意.故选：A.6.升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一，把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为，小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有A、B两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，A、B两个物体的温度分别为、，假设A、B两个物体的升温系数分别为、，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知：，则①；，则②，①：②可得：，则，，化简可得.故选：C.7.设，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为函数为减函数，所以，又函数在上为增函数，所以，所以，又函数在上为增函数，所以，所以，因为函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，当时，函数为减函数，因为，所以，又函数为偶函数，可得.故选：A.8.已知函数，，，，有成立，则实数的取值集合为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则该函数在上单调递减，又在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减，所以，即函数在上的值域为，令，则，因为，，有成立，所以值域为值域的子集，即为函数值域的子集，当时，，显然不满足题意；当时，的对称轴，且开口向上，所以在上单调递增，且，所以，，即，所以，所以，所以或（与矛盾舍去），所以，所以，即实数的取值集合为.故选：B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列命题为真命题的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.“且”是“”的充要条件C.函数，则函数的单调递增区间为D.函数（其中且）的图象过定点〖答案〗AD〖解析〗A：命题“”的否定为“”，故A正确；B：当时，有，所以充分条件成立，若，满足，但不成立，所以必要条件不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；C：由或，得函数的定义域为，对于二次函数，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C错误；D：对于函数，令，得，所以函数恒过定点，故D正确.故选：AD.10.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为4 D.的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗由不等式的解集为，可得，即，所以，故A错误；因为，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为4，故C正确；，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故D正确.故选：BCD.11.通过对函数，（其中且）的性质研究，下列关于其性质的说法正确的是（）A.函数的图象关于原点中心对称B.函数与函数不是同一函数C.当时，函数的值域为D.当时，令，则不等式的解集为〖答案〗ACD〖解析〗对于，，两函数定义域相同，对应关系相同，显然是同一函数，故B错误；又，即奇函数，故A正确；易知，而在区间上单调递减，当时，单调递减，所以单调递增，易知，所以函数的值域为，故C正确；，原不等式，因为与是同一函数，故单调性相同，结合C项可知当时，为单调递减函数，且是奇函数，即，故D正确.故选：ACD.12.函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，则（）A. B.C. D.函数有3个零点〖答案〗BCD〖解析〗关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，如图：由图象可知：，故A错误；当时，令，解得，，当时，令，解得，，，，，，则，所以，故B正确；关于对称，，又，，当且仅当时，等号成立，显然，故等号不成立，又，则，，故C正确；令，则由，得，结合图象可知，或，当时，结合图象可知，此时没有零点；当时，结图象可知，此时有3个零点；综上，有3个零点，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知是幂函数，且，则实数_________.〖答案〗〖解析〗由于是幂函数，且，所以，解得或，当时，，不满足，不符合题意，舍去，当时，，满足，故.故〖答案〗为：.14.若关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗由题意知，，所以原方程可化为，设，，由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，即，所以实数a的取值范围为.故〖答案〗为：.15.同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式.已知实数满足，，则___________.〖答案〗8〖解析〗，令，易知在R上单调递增，又，所以.故〖答案〗为：.16.已知函数，的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对任意的有，则_________.〖答案〗〖解析〗由函数为偶函数，则，所以函数关于直线对称；由函数为奇函数，则，即，所以函数关于对称；由，则，，由，，则，联立可得，解得，所以.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求值：（1）.（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.已知，全集，集合，函数定义域为.（1）当时，求；（2）若是成立的充分不必要条件，求的取值范围.解：（1）由得，也即有，解得，所以，由得，解得，所以，所以，当时，，此时.（2）由是成立的充分不必要条件得是的真子集，则有（取“=”不同时成立），解得，故实数的取值范围为.19.已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）若函数是定义在上的奇函数，若，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）因为为奇函数，所以，所以，当时，的定义域为，当时，的定义域为满足题意，因此，的值为1或-1.（2）因为为定义域为，由（1）知，则，化简得，由题意方程在上有解，令，，由单调性的性质得函数在区间上单调递减，且，，所以，即的取值范围为.20.已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.（1）判断并证明的单调性；（2）当时，求关于的不等式的解集.解：（1）令，解得，又当时，可判断为减函数，证明如下：，不妨设，依题意，即，因为，所以，所以，因此，即，所以为减函数.（2）原不等可化为，即：，因单调递减，故成立，即：，，当时，有，解，当时，，解为，当时，，解为，综上：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.21.泡泡青被誉为“随州美食四宝”之一，以口感鲜美，营养丰富而闻名全国.通过调查一泡泡青个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内（以30天计），每公斤的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：公斤）是时间（取整数，单位：天）的函数，统计得到以下五个点在函数的图象上：.（1）李同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①；②；③；④.结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的〖解析〗式；（2）设该泡泡青个体销售点日销售收入为（单位：元），求的最小值（四舍五入，精确到整数）.解：（1）由题可知，图象上五点关于对称，且不单调，根据一次函数、指数函数、对数函数的图象与性质可知选第②种函数模型，即，此时，将，，三点代入〖解析〗式中有，∴，（，且）.（2）由题意及（1）可知：，当时，，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，又，且，故最小值可能为或，易知，，所以（元）；当时，，易知在区间上单调递减，∴，综上（元），故该个体销售点日销售收入的最小值为229元.22.已知函数，.（1）当时，函数的最小值为5，求实数m的取值范围；（2）对于函数和，若满足：对，，有成立，称函数是在区间D上的“