湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上.1.一次函数与的图象交点组成的集合是（）A. B.C.D.〖答案〗C〖解析〗因为，解得，所以两函数图象交点组成的集合为.故选：C.2.函数的定义域为（）A.且B.C.且 D.〖答案〗A〖解析〗由函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为且.故选：A.3.集合，，且，则集合真子集的个数为（）A.5 B.15 C.31 D.32〖答案〗C〖解析〗由，，所以，集合中含有5个元素，所以集合的真子集个数为个.故选：C.4.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；反过来，因为，所以当时，有，即，综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.已知函数，，的零点分别为则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题知得，即为函数与函数交点的横坐标，同理可知为函数与函数交点的横坐标，为函数与函数交点的横坐标，分别作出，，和的图像如下：由图像交点可得.故选：B.6.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，且，所以，当且仅当时取等号，又因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.7.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则称函数具有性质P，已知函数具有性质P，则不等式的解集为（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为对任意的，且，都有，不妨设，可得，所以，所以函数是上的减函数，又因为为奇函数，即任意，都有，则，所以函数为偶函数，因为，则，则，，解得或，则不等式的解集为.故选：C.8.已知实数，且满足，则的最小值为（）A. B. C.5 D.3〖答案〗C〖解析〗由实数，且满足，可得，令，则在上单调递增，因为，所以，所以，可得，所以，所以，当时，取得最小值为.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中为真命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，当时，，故A错误；对于B，若，因为，所以，得，故B正确；对于C，由，则，即，又，所以，故C正确；对于D，又，即，又函数是R上的增函数，所以，故D正确.故选：BCD.10.已知函数是定义在R上的奇函数，且则（）A. B.的图象关于直线对称C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由可得：，所以，即，故选项A正确；又函数是定义在R上的奇函数，则，且，故，知函数的图象关于点成中心对称，则，故选项B错误；选项C正确；由上述分析，故，即选项D正确.故选：ACD.11.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题意，，，对于A，因为，则，，即得，，，即，所以，故A正确；对于B，因为，当且仅当时等号成立，又，所以，解得，所以，故B正确；

对于C，因为，所以，故C错误；对于D，由B选项知，所以，故D正确.故选：ABD.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列给出的函数中是“不动点”函数的有（）A. B.C.（） D.〖答案〗ABC〖解析〗A：当时，，显然本选项函数是“不动点”函数；B：，设，显然该函数是实数集上的增函数，因为，所以该函数在内有唯一零点，即方程有唯一实数解，因此本选项函数是“不动点”函数；C：令，设函数，因为，所以该函数是减函数，又因为，所以该函数在内有唯一零点，即有唯一实数解，因此本选项函数是“不动点”函数；D：令，所以本选项函数不是“不动点”函数.故选：ABC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.“”是“函数（为常数）为幂函数”的__________________.（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”）〖答案〗充分不必要条件〖解析〗因为函数为幂函数，所以，得或，所以“”是“函数（为常数）为幂函数”的充分不必要条件.故〖答案〗为：充分不必要条件.14.若一个扇形的面积为，则当半径为________时扇形的周长最小.〖答案〗2〖解析〗设扇形的弧长为，半径为，由扇形的面积为，则，得，扇形的周长为，当且仅当即时，等号成立，所以当时，扇形的周长最小.故〖答案〗为：.15.已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为________.〖答案〗〖解析〗函数的定义域满足，得，，当，得，，所以，且，所以，所以，，所以.故〖答案〗为：.16.已知，若，使得，则实数m的取值范围是_____________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以在单调递减，单调递增，所以的最小值为，因为，，则，所以的最大值为，所以的值域为，因为在上单调递增，所以的值域为，因为，使得，所以是的子集，所以，解得.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算下列各式：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围．解：由命题方程有两个不等的负实根，可得，解得；命题方程无实根，可得，解得，当p真q假时，可得，解得；当p假q真时，可得，解得，综上可得，实数的取值范围.19.已知函数．（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，求的最小值．解：（1）当时，，解得，故；当时，，解得，故；当时，，解得，无解；综上所述：不等式的解集为.（2）法1：，当且仅当，即时，等号成立，故，则，，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.法2：，画出函数图象，如下：由图象可知最小值为4，当时等号成立，，故，，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.20.杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为.（1）若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?（2）现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米.3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，.“汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且则哪台机器狗用的时间最少?请说明理由.解：（1）由题意，购买台“机器狗”的总成本为，则每台机器狗的平均成本为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台.（2）由题意，“汪1”满足，可得，“汪2”满足，可得，“汪3”满足，，，所以，因为，，且，所以可得，则，所以，所以“汪1”用的时间最少.21.设是R上的奇函数，且当时，，.（1）若，求的〖解析〗式；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为，则，解得所以时，，当时，，又是R上的奇函数，所以，即，又，故.（2）若时，当时，，任取，，因为，所以，即，所以，即，所以当时，为增函数；且，又是R上的奇函数，则在R上单调递增，故等价于，即，所以有令，所以在恒成立，即在恒成立，即，，又，当且仅当，即时取等号，所以，故，所以，即实数的取值范围.22.已知函数是奇函数，且过点．（1）求实数m和a的值；（2）设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为是定义域为R的奇函数，∴，∴，检验符合，∴，又因为过点，∴，∴.（2）由