高中数学《条件概率与全概率公式》教学设计（表格）

《7.1条件概率与全概率公式》教学设计

课题条件概率课时第一课时

了解条件概率及概率的乘法公式，掌握条件概率的求法；

学习

能够利用条件概率公式解决实际问题.

目标

重点条件概率的概念及其计算，概率的乘法公式及其应用.

难点对“条件概率”中条件的正确理解，利用条件概率公式解决实际问题.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情景一：某班级有45名学生，其中男生、女生的人数及

团员的人数如下表所示，在班级随机选择一人做代表：

团员非团员合计学生思考问设置问题情

男生16925题，引出本境，激发学生

女生14620节新课内学习兴趣，并

合计301545容.引出本节新

(1)选到男生的概率是多大？课.

分析：随机选择一人做代表，则样本空间。包含45个等

可能的样本点.B表示事件“选到男生”，由上表可知，

n(Q)=45,n(B)=25,根据古典概型知识可知,选到男生

的概率为：P(B)=^=g=|

(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率

是多大？

分析：用A表示事件“选到团员”，在选到团员的条件

下，选到男生的概率就是“在事件A发生的条件下，事

件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当于以A为样

本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中

事件B就是积事件AB,包含的样本点数n(AB)=16,根据

古典概型知识可知，P(B|A)=T^=^=:

情景二：假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两

个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么：

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)

如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩

的概率有多大？

答：分析：用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Q

={bb,bg,gb,gg},且所有样本点是等可能的.

用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，

B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则

A={bg,gb,gg},B={gg}

(1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女

孩的概率为：P(B)=^=；

(2)”在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女

孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发

生”的概率，记为P(B|A).此时，A成为样本空间，事件

B就是积事件AB.根据古典概型知识可知：P(B|A)=

n(AB)_1

n(A)-3

合作探究：

在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发

生的概率都是P(B|A)=揩

若已知事件A发生，则A成为样本空间，此时事件B发

生的概率就是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的

比值，即：P(B|A)=电线

n(A)

Q

n(AB)

则P8।勾=口忧)=眠=「靠)

n(n)

讲授新课新知讲解：条件概率

一般地，设A、B为两个随机事件，且P(A)>0,称

P(B|A)=^^J在事件A发生的条件下，事件B发生

学生根据情利用情境问

的条件概率，简称条件概率.

境问题，探题，探究条件

概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)

究条件概率概率及概率乘

及概率乘法法公式，培养

若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B),且

公式.学生探索的精

D小、ChhlD，口1八一P(AB)_P(A)P(B)_pm、

i\i\//v,r1।c/-

P(A)一P(A)—7"，

神.

反之，若P(BA)=P(B),且P(A)>0,则

P(B)=鬻==》P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互

独立.

当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有

P⑻A)=P(B)

例题讲解：利用例题引加深学生对基

例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从导学生掌握础知识的掌

中随机抽取1道题，抽出的题不在放回，求：并灵活运用握，并能够灵

(1)第1次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；条件概率及活运用基础知

(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题概率乘法公识解决具体问

的概率.式解决实际题.

解法一：设A="第1次抽到代数题“，B=”第2次抽到相关计算问

几何题”.题.

(1)”第1次抽到代数题且第2次抽到几何题“即为事

件AB.从5道题中每次不放回的随机抽取2道，实验的

样本空间Q包含20个等可能的样本点，即n(Q)=Ag=

5x4=20,因为n(AB)==3x2=6,

P(AB)=嗯=-=-

'Jn(Q)2010

(2)”在第1次抽到代数题的前提下，第2次抽到几何

题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概

率.P(A)=|,由条件概率公式可知

3

P(BIA)=PP((AAB))=i3n°=21

5

解法二：已知第一次抽到代数题，这时还剩下4道题，

其中代数题和几何题各2道，因此事件A发生的条件下

事件B发生的概率为P(B|A)=$又P(A)=|,由乘法公

式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=|X1

条件概率的性质：设P(A)>0,则

(1)P(Q|A)=1;

(2)如果B,C是两个互斥事件，则

P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A);

(3)设巨和B互为对立事件，则

P(B|A)=1-P(B|A)

例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名

同学依次无放回地各抽一张，他们中奖的概率与抽奖的

次序有关吗？

分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察

甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张

有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，

“丙中奖”等价于“甲乙都没中奖”.

解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则

B=AB,C=AB.

1___

P(A)=-P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)

211

=-x-=—

323

__211

P(Q=P(AB)=P(A)P(BIA)=-x-=-

因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖次序无

关.

例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行

自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，

求：

(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对

的概率

分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第

1次按对或者第1次按错但是第2次按对”.

解：(1)设A：=”第i次按对密码"(i=l,2),贝I]事件

“不超过2次就按对密码”可以表示为：A=A1U

飞2,事件小与无＞2互斥,则P(A)=P(AJ+

P(AjA2)=P(AJ+PP31A[)=卷+卷X；

所以，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概

率为去

(2)设B二”最后1位密码为偶数”，则

,、/■\14x12

P(A|B)=P(AjIB)+PAA1B-

\X2/JUXT'J

因此，如果记得密码最后一位是偶数，不超过2次就按

对的概率为|.

例4在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个

黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第

一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概

率.

解：设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个

球为黄球”为事件B,“摸出第2个球为黑球”为事件

C,则P(A)=-,P(AB)

v710IJ10x945

P(AC)=3=Z,所以p(B|A)=32=2

'J10x930k7P(A)9

P(AC)1

P(CIA)=^7^=aP(BUC|A)=

215

P(B|A)+P(C|A)=-+-=-

V3V

则所求条件概率为g

课堂练习：

通过课堂练通过练习，巩

1.10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参

习，检验学固基础知识，

加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，

生对本节课发散学生思

乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为

知识点的掌维，培养学生

(B)

握程度，同思维的严谨性

A.-3B.2-C.3-D.4-

53415时加深学生和对数学的探

2.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案对本节课知索精神.

的概率为0.5,知道正确答案时，答对的概率为100%,识点的掌握

而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题及运用.

目的概率为(A)

A.0.625B.0.75C.0.5D.0

3.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量

依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别

为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品，则该

次品由车间生产的可能性最大(A)

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

4.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点

数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5"，则P(N|M)

等于(B)

A.|2B.|5C,11D.1

5.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，

现不放回的从中依次抽2件.求：

(1)第一次抽到次品的概率；

(2)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概

率.

解：设第一次抽到次品的事件为A,第二次抽到次品的

事件为B.

(1)因为有20件产品，其中5件是次品，抽到每件产

品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率为P(A)=

5_1

20-4

(2)第一次抽到次品后，剩余19件产品，其中有4件

次品，抽到每件产品的可能性相同，所以在第一次抽到

次品的条件下，第二次抽到次品的概率为

4

P(B|A)=—

ly

6.一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每

次任取1个，连取2次.

求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都

取得白球的概率；

(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.

解：设A表示第一次取得白球，B表示第二次取得白

球，则AB表示第一、第二次都取得白球，XB表示第一

次取得黑球，第二次取得白球，且P(B|A)=|,P(BI

(1)P(A)=^=0.6

(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=^x1=i

(3)P(AB)=P(A)P(B|A)=±x1=±

7.在100件产品中，有95件合格品，5件不合格品，

现从中不放回地取两次，每次任取1件产品.试求：

(1)第一次取到不合格品的概率；

(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格

品的概率.

解：设第一次取到不合格品为事件A,第二次取到不合

格品为事件B,则有：

(1)P(A)=—=—

')10020

(2)根据条件概率的定义，先求出事件A,B同时发生的

概率P(AB)=|=七，所以，P(B|A)=^=^=

L1OO4"云

4

99

拓展提高：

8.设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：

(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白

球的概率；

(2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白

球的概率.

解：设4=｛第一次未摸到白球｝,B=｛第二次未摸到白

球｝,C=｛第三次摸到白球｝,则事件“第三次才摸到白

球”可表示为ABC.

⑴有放回时，P(A)号P(B|A)=N

P(CIAB)=M则

16

P(ABC)=P(CIAB)P(B|A)P(A)=—

(2)不放回时，P(A)=P(B|A)=g

P(CIAB)=1，则

8

7

P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=—

链接高考

9.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优

良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知

某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良

的概率是(A)

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

10.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=

“取到的2个数之和为偶数”，事件B="取到两个数均

为偶数”，

则P(BA)=(B)

1121

A.-B.-C.-D.-

8452

课堂小结1.条件概率学生回顾本让学生掌握本

2.乘法公式节课知识节课知识点，

点，教师补并能够灵活运

充.用.

板书§7.1.1条件概率

一、新知导入三、例题讲解

二、新知讲解四、课堂练习

1.条件概率五、拓展提高

2.乘法公式六、课堂总结

七、作业布置

《7.1条件概率与全概率公式》教学设计

课题全概率公式课时第:课时

掌握理解全概率公式，能够利用全概率公式计算复杂的概率问题.

学习

目标

重点使用全概率公式解决实际概率问题.

难点全概率公式和贝叶斯公式的理解和应用.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课新知导入：

情景：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机

摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红

球的概率为嗅.那么第2次摸到红球的概率是多大？学生思考问设置问题情

a+b

题，引出本境，激发学生

如何计算这个概率呢？

节新课内容.学习兴趣，并

分析：用R,表示事件“第i次摸到红球”，B,表示事

引出本节新

件“第i次摸到蓝球"，i=l,2.事件Rz可按第1次可

课.

能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的

并，即利用概率的加法公式和乘法公

R2=RIR2UB1R2.

式，得

P(R2)=P(R#2UB1R2)=P(R1%)+P(B1R2)

=P(R1)P(R2IRI)+P(B1)P(R2IB1)

aa—1ba

=--------X--------------------1-----------x-----------------

a+ba4-b—1a+ba+b-1

1

a+b

按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件

的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂

事件的概率.

讲授新课新知讲解：全概率公式

一般地,设AI,A2....A“是一组两两互斥的事件，有学生根据情利用情境问

A)UA2U...UA„=Q,且境问题，探题，探究全概

P(AJ>O,i=l,2....n,则对任意的事件BUQ,有究全概率公率公式与贝叶

P(B)=%iP(Aj)P(B|A。，称上面的公式为全概率式与贝叶斯斯公式，培养

公式.公式.学生探索的精

神.

贝叶斯公式：

一般地，设A”Az,A“是一组两两互斥的事件，

有A1UA2U...UA„=Q,

且P(AJ〉O,i=l,2....n,则对任意事件BUQ,

P(B)>0,有

Dg“、_P(Ai)P(B1AD_P(Aj)P(B|A；).

(1)-P(B)FiP(Ai)P(B|A)i

=1,2,...tn

利用例题引加深学生对基

例题讲解：

导学生掌握础知识的掌

例1某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐

并灵活运用握，并能够灵

时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那

全概率公式活运用基础知

么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐

与贝叶斯公识解决具体问

厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第

式解决实际题.

2天去A餐厅用餐的概率.

相关计算问

分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第I天在哪家

题.

餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样

本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐

厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

解：设A尸”第1天去A餐厅用餐”，B尸“第1天去B

餐厅用餐”，Az="第2天去A餐厅用餐”,

则C=AWBi,且％UBi互斥,根据题意得

P(A)=P(Bi)=0.5,P(A2|A)=0.6,P(AjBi)=0.8,

由全概率公式，得

P(A2)=P(A1)P(A2|A,)+P(B1)P(A2|

B1)=O.5x0.6+0.5xO.8=0.7.因此，王同学第2天去A

餐厅用餐得概率为0.7

例2有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工

的次品率为6除第2,3台加工的次品率均为5乐加

工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工

的零件数分别占总数的25%,30%,45%.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=l,

2,3)台车床加工的概率.

解：设13="任取一个零件为次品"，Ai="零件为第i

台车床加工"(i=l,2,3),则。=人山人21^3,且Ai,

A2,此两两互斥，根据题意得

P(A,)=0.25,P(A2)=0.3,P(加)=0.45,

P(B|Ai)=0.06,P(B也)=P(B|A3)=0.05.

(1)由全概率公式，得

P(B)=P(Ai)P(B|At)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)

P(B|As)=0.25X0.06+0.3X0.05+0.45

XO.05=0.0525

(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i

=1,2,3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的

条件下，事件A发生的概率.

"一0、_PS®_P(AJP(B|Aj)_0.25x0.06

(i)一P(B)—P(B)-0.0525

_2

=7

同理可得P(A2|B)=^;P(A31B)=|

合作探究：

思考：例5中P(Ai),P(A/B)得实际意义是什么?

P(A,)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工

的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件

是次品(B发生)，P(A,B)是这件次品来自第i台车床

加工的可能性大小，称为后验概率.如果对加工的次

品，要求操作员承担相应的责任，则

,分别是第1,2,3台车床操作员应该承担的

份额

例3在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序

列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被

错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和

1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1

和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1

是等可能的.

(1)分别求接收的信号为0和1的概率；

(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概

率.

解：设人="发送的信号为0"，B="接收到的信号为

0”，贝以二“发送的信号为1”，巨=''接收到的信号为

1”

P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(BIA)=0.1

P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95.

(l)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=0.5x0.9+0.5x0.05=0.475;

P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525

⑵P(_A|B)P=(A()P温(B|A))：0.5X0407.0551

课堂练习：

1、设1000件产品中有200件是不合格品，依次不放

回地抽取两件产品，则第二次抽到的是不合格品的概率

为(A)通过课堂练通过练习，巩

A.0.2B.0.8C.0.25D.0.75习，检验学固基础知识，

2.某小组有20名射手，其中1,2,3,4级射手分别生对本节课发散学生思

为2,6,9,3名.又若选1,2,3,4级射手参加比知识点的掌维，培养学生

赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,握程度，同思维的严谨性

0.45,0.32,今随机选一人参加比赛，则该小组比赛时加深学生和对数学的探

中射中目标的概率为(C)对本节课知索精神.

A.0.285B.0.3625C.0.5275D.0.5识点的掌握

3.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车及运用.

间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车

间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产

的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓库中随机提

一台产品，则该产品合格的概率为(C)

A.0.6B.0.85C.0.868D.0.88

4.有10箱同种规格的产品，其中分别有5箱，3

箱，2箱由甲、乙、丙三个工厂生产，三厂产品的废品

率依次为0.1,0.2,0.3从这10箱产品中任取一

箱，再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.

解：设人=｛取得的产品为正品｝,Bl,B2,B3分别表示“任

取一件产品是甲、乙、丙生产的“，则

P(B,)=0.5,P(B2)=0.3,P(B：1)=0.2,

P(A|6,)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.7,则

3

P(A)=｛P(Bj)P(A|Bj)=0.83

i=l

5.有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙

袋中有4个白球，4个黑球.现从甲袋中任取2个球放

入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的

概率.

解：设事件Ai=｛从甲袋取的2个球中有i个白球｝,

其中i=0,1,2.事件B=｛从乙袋中取到的是白球｝,则

P(A°)=3=】：，P(A】)=c苔2/

P(AD=并总

P(BIA0)=|,P(B|A0)=i,P(B|A2)=|

P(B)=货=oP(Aj)P(BIAD=||

6.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品

中有4个正品和3个次品.

(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的

概率；

(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙

箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概

率.

解：(1)从甲箱中任取2个产品共有髭=28种取法，

这2个产品都是次品共有髭=3种可能，所以这2个

产品都是次品的概率为。

28

(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，

事件R为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件

B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为

“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则

Cf5ClCl15

Cj3

叫)y

25

P(A|B1)=-P(A1B2)=-

,、4

P(A1B3)=-

3