与圆锥曲线的切点弦相关的性质获奖科研报告论文

与圆锥曲线的切点弦相关的性质获奖科研报告论文过一点作圆锥曲线的两条切线，切点间的连线段称为切点弦.

2005、2008年江西省高考解析几何试题都涉及到切点弦，笔者对圆锥曲线的切点弦作了以下探究.

一、切点弦所在直线的方程

关于二次曲线的切线，有以下结论

引理过二次曲线ax2+by2+cx+dy+e=0(a,b不全为零)上一点(x0,y0)的切线，只要把曲线方程中x2,y2,x,y分别替换成x0x,y0y,x0+x2,y0+y2得到的就是切线的方程.

定理1过二次曲线ax2+by2+cx+dy+e=0(a,b不全为零)外一点(x0,y0)作它的两条切线，则切点弦所在直线方程是ax0x+by0y+c•x0+x2+d•y0+y2+e=0.

证明：设两切点为(x1,y1),(x2,y2)，则两切线方程是ax璱x+by璱y+c•x璱+x2+d•y璱+y2+e=0(i=1,2),两切线过点(x0,y0)，有ax璱x0+by璱y0+c•x璱+x02+d•y璱+y02+e=0(i=1,2),得点(x1,y1),(x2,y2)均在直线ax0x+by0y+c•x0+x2+e=0上，所以切点弦的方程是ax0x+by0y+c•x0+x2+d•y0+y2+e=0.

利用该定理结论，对于求解08年江西高考解析几何题第(2)问，则异常简单，在该试题中，a=1,b=-1,c=d=0,e=-1，即过AB的切点弦方程为x0x-y0y-1=0.∵P(x0,y0)在x=m上，则mx-y0y-1=0(*),显见M(1m,0)满足方程(*)，∴A、M、B三点共线.

二、切点弦所在直线的性质

定理2过椭圆x2a2+y2b2=1外一点(x1,y1)作它的两条切线，切点弦所在直线分别与x轴、y轴交于点(x2,0)和(0,y2)，则x1x2=a2,y1y2=b2.

证明：由定理1知，切点弦所在直线方程是x1xa2+y1yb2=1，因点(x2,0)和(0,y2)在切点弦所在直线上，所以x1x2a2=1,y1y2b2=1，得x1x2=a2,y1y2=b2.

推论动点P在直线x=m(或y=m)上移动，过P作椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线，则切点弦所在直线经过定点(a2m,0)或(0,-b2m).

同理可得

定理3过双曲线x2a2-y2b2=1外一点(x1,y1)作它的两条切线，切点弦所在直线分别与x轴、y轴交于点(x2,0)和(0,y2)，则x1x2=a2,y1y2=-b2.

推论动点P在直线x=m(或y=m)上移动，过P作双曲线x2a2-y2b2=1的两条切线，则切点弦所在直线经过定点(a2m,0)或(0,-b2m).

定理4过抛物线y2=2px外一点(x1,y1)作它的两条切线，切点弦所在直线与x轴交于点(x2,0),则x1+x2=0.

推论动点P在直线x=m上移动，过P作抛物线y2=2px的两条切线，则切点弦所在直线经过定点(-m,0).

特别地，过圆锥曲线准线上的点作它的两条切线，则切点弦所在直线经过相应的焦点.

三、定点弦端点切线交点的轨迹

定理5椭圆x2a2+y2b2=1的弦AB所在直线过x轴上定点M(m,0)，(或y轴上定点N(0，m))，则椭圆在点A、B处的切线交点轨迹是定直线x=a2m(或y=b2m)(在椭圆外部分).

证明：令A(u1,v1),B(u2,v2)，由定理1，知切线方程是u1xa2+v1yb2=1①，u2xa2+v2yb2=1②，①×v2-②×v1得x=a2(v2-v1)u1v2-u2v1,又A(u1,v1),M(m,0),B(u2,v2)三点共线，有v1u1-m=v2u2-m,得v2-v1u1v2-u2v1=1m，所以x=a2m.

同理可得

定理6双曲线x2a2-y2b2=1的弦AB所在直线过x轴上定点(m,0)，(或y轴上定点(0，m)),则双曲线在点A、B处的切线交点轨迹是定直线x=a2m(或y=-b2m)(在双曲线外部分).

定理7抛物线y2=2px的弦AB所在直线过x轴上定点(m,0)，则抛物线在点A、B处的切线交点轨迹是