专题04 二项式定理与杨辉三角题型全归纳（19种题型）-学霸满分·2023-2024学年高二数学上学期重难点专题提优训练（人教B版2019选择性必修第二册）（原卷版）

专题04二项式定理与杨辉三角题型全归纳（19种题型）目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】求二项展开式 1【题型二】二项展开式的应用 3【题型三】二项展开式的特定项 5【题型四】多项式与二项式乘积 8【题型五】求指定项的二项式系数 9【题型六】二项式系数的增减及最值 11【题型七】二项式系数和 13【题型八】特定项的系数 16【题型九】有理项 18【题型十】根据已知条件求未知参数 20【题型十一】二项展开式各项的系数和 24【题型十二】项的系数的最大（小）值 27【题型十三】奇次项与偶次项的系数和 29【题型十四】三项式 33【题型十五】两个二项式乘积 35【题型十六】整除和余数问题 36【题型十七】近似计算问题 39【题型十八】证明组合恒等式 41【题型十九】杨辉三角及组合数性质 45【题型一】求二项展开式1．.2．若（，为有理数），则等于．3．用二项式定理展开下列各式：(1)；(2)．4．求的二项展开式．【题型二】二项展开式的应用5．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得．(用组合数表示即可)6．如果，则.7．关于二项式的展开式，下列结论正确的是（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项8．化简：．9．若，则.【题型三】二项展开式的特定项10．二项式的展开式中的常数项为.11．的展开式的第8项的系数为（结果用数值表示）.12．已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为.13．下列关于的展开式的说法中正确的是（

）A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为114．求的展开式中第3项的系数和二项式系数．【题型四】多项式与二项式乘积15．的展开式中，的系数为（

）A．200 B．40 C．120 D．8016．在的展开式中，各项系数的和为1，则（

）A． B．展开式中的常数项为C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为17．已知实数不为零，则的展开式中项的系数为.【题型五】求指定项的二项式系数18．若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为.19．在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.(1)求n的值.(2)求的展开式中的常数项.(3)求展开式中所有系数的和.【题型六】二项式系数的增减及最值20．已知的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．21．（1）若，求的值；（2）在的展开式中，①求二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项是第几项？【题型七】二项式系数和22．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中项的系数（

）A．15 B．54 C．12 D．-5423．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32．(1)求的值；(2)求展开式中的系数．24．已知在的展开式中，前项的系数分别为，，，且满足．(1)求展开式中各项的二项式系数的和；(2)求展开式中系数最大的项；(3)求展开式中所有有理项．【题型八】特定项的系数25．的展开式中的系数为（

）A．55 B． C．65 D．26．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为.27．的展开式中的系数为．28．已知．若，则．29．的展开式中的系数为（用数字作答）．【题型九】有理项30．在二项式的展开式中，系数为无理数的项的个数是个.31．已知的展开式中共有项，则有理项共项．（用数字表示）32．在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.(1)求的值；(2)求展开式中所有的有理项.【题型十】根据已知条件求未知参数33．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（

）A． B． C． D．34．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（

）A．6 B．8 C．28 D．5635．已知的展开式中，的系数为80，则（

）A． B． C． D．236．若，则的展开式中的系数的取值范围为（

）A． B． C． D．37．已知二项式的展开式中的常数项为15，则.38．已知的展开式中的系数为，则．39．在的二项式展开式中的系数为160，则．40．已知的展开式中的系数为，则实数．【题型十一】二项展开式各项的系数和41．多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（

）A．1 B．243 C．64 D．042．设，若，则实数m可能是（

）A．3 B．9 C．10 D．1143．已知，若，则T被6除所得的余数为.44．若，则.45．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为.46．已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【题型十二】项的系数的最大（小）值47．的展开式中，系数最小的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项48．的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为.49．在的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．【题型十三】奇次项与偶次项的系数和50．已知的展开式中的系数为25，则展开式中的偶次方的系数和为（

）A．16 B．32 C．24 D．4851．已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．52．已知，则（

）A．B．C．展开式系数中最大D．53．记，则．54．已知，求的值．55．设，则，.（均用数字作答）【题型十四】三项式56．的展开式共（

）A．10项 B．15项 C．20项 D．21项57．的展开式中的常数项为（

）A． B．50 C． D．6158．的展开式中的常数项为（

）A．588 B．589 C．798 D．79959．在的展开式中，的系数是（

）A．24 B．32 C．36 D．4060．在的展开式中，的系数为.61．展开式中，项的系数为.【题型十五】两个二项式乘积62．在的展开式中，的系数为．63．的展开式中的系数是．（用数字填写答案）【题型十六】整除和余数问题64．设，且，若能被13整除，则等于（

）A．0 B．1 C．11 D．1265．若的展开式中第4项是常数项，则除以9的余数为．66．二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为．67．用二项式定理证明可以被整除．68．用二项式定理证明能被8整除．【题型十七】近似计算问题69．把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（

）A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对70．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为（

）A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.93071．用二项式定理估算.（精确到0.001）72．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7.(1)对于使的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数;(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值.（精确到0.01）【题型十八】证明组合恒等式73．求证：.74．证明：．75．证明：．76．已知函数，其中．(1)若，，求的最大值；(2)若，求证：．【题型十九】杨辉三角及组合数性质77．我国南宋数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

1……

……A．B．，，，C．从左往右逐行数，第项在第行第个D．第行到第行的所有数字之和为78．为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第行第个数记为，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第条斜线上所有数字之和为，入场码由两段数字组成，前段的数字是的值，后段的数字是的值，则（

）

A． B．C． D．该景点入场码为79．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），那么下面关于莱布尼茨