+浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如果两个相似三角形对应边的比为，那么它们的周长比是A． B． C． D．2．（3分）在中，，则等于A． B． C． D．3．（3分）下列事件是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数 B．从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C．三角形两边之和大于第三边 D．明天会下雨4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一点A（﹣3，4），以原点为圆心，5为半径作⊙O，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40° B．80° C．140° D．160°6．（3分）如图，在纸片中，，．将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是A．①② B．②④ C．③④ D．①③7．（3分）如图，中，，，射线平分，交边于点，过，作射线的垂线，垂足分别是点，，将的面积设为，那么的面积是A． B． C． D．8．（3分）如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为A． B． C． D．9．（3分）已知抛物线，是常数，，过点，，，若，则的取值范围是A． B． C．或 D．10．（3分）如图，是的直径，点，在上，且，绕着点顺时针旋转，连接交直线于点，当时，的大小不可能为A． B． C． D．二、填空题（本题有6小题每小题4分，共24分）11．（4分）已知，则的值为．12．（4分）抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为．13．（4分）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是．14．（4分）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是．15．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则．16．（4分）如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作，分别交，于点，，若，，则．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．（6分）计算：．18．（6分）中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义，是中国传统文化的重要组成部分．（1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是．（2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率．19．（6分）如图，在中，，点、、、在同一条直线上，且．（1）求证：；（2）若，，求的长度．20．（8分）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的处．（1）求处距离辽宁舰有多远；（2）求处距离辽宁舰有多远（结果精确到．（参考数据：，，；，，21．（8分）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结．（1）求证：；（2）若，，求的长．22．（10分）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知．（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留23．（10分）已知二次函数，点，与，都在该函数的图象上，且．（1）求函数图象的顶点；（2）若点，与，与直线的距离恒相等，求的值；（3）若，求的最小值．24．（12分）如图，已知正方形的边长为12，点是射线上一点（点不与点、重合），过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．（1）求证：；（2）当点在边上时，如果，求的正切值．（3）当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式．

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如果两个相似三角形对应边的比为，那么它们的周长比是A． B． C． D．【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：两个相似三角形对应边的比为，它们的周长比是：．故选：．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．2．（3分）在中，，则等于A． B． C． D．【分析】根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．【解答】解：在中，，则．故选：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．3．（3分）下列事件是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数 B．从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C．三角形两边之和大于第三边 D．明天会下雨【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故A错误；B、从一个只装有红球的袋子里摸出白球是不可能事件，故B正确；C、三角形两边之和大于第三边是必然事件，故C错误；D、明天会下雨是随机事件，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一点A（﹣3，4），以原点为圆心，5为半径作⊙O，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．【解答】解：∵点A（﹣3，4）到圆心O的距离OA＝＝5，∴OA＝r＝5，∴点A在⊙O上，故选：C．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40° B．80° C．140° D．160°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝140°，∴∠A＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（3分）如图，在纸片中，，．将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是A．①② B．②④ C．③④ D．①③【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：如图，图①中，，，所以和相似；图②中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似；图③中，，，所以和相似；图④中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题的关键．7．（3分）如图，中，，，射线平分，交边于点，过，作射线的垂线，垂足分别是点，，将的面积设为，那么的面积是A． B． C． D．【分析】由角平分线的性质得到，由三角形面积公式推出，由，得到，而的面积，即可求出的面积．【解答】解：过作于，于，平分，，的面积，的面积，，，，，，，的面积，的面积．故选：．【点评】本题考查角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由角平分线的性质，三角形的面积公式推出，由，推出．8．（3分）如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为A． B． C． D．【分析】根据旋转的定义得到点以为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：点以为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，，，，，点翻滚到位置时共走过的路径长．故选：．【点评】本题考查了轨迹，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质．9．（3分）已知抛物线，是常数，，过点，，，若，则的取值范围是A． B． C．或 D．【分析】根据所给点的坐标，结合抛物线的对称性即可解决问题．【解答】解：由题知，将代入抛物线解析式得，，所以抛物线经过点．又因为点在抛物线上，则点和点关于抛物线的对称轴对称．同理可得，，两点关于抛物线的对称轴对称，所以，则．又因为，所以，解得．故选：．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，巧妙利用抛物线的对称性是解题的关键．10．（3分）如图，是的直径，点，在上，且，绕着点顺时针旋转，连接交直线于点，当时，的大小不可能为A． B． C． D．【分析】根据绕着点顺时针旋转，连接交直线于点，，分三种情况画图进行计算即可．【解答】解：连接，①如图1，绕着点顺时针旋转，连接交直线于点，设，，，，，，解得．的大小为；②如图2，设，，，，，在中，，解得，；③如图3，设，，，，，，解得，．综上：的大小为：、、．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是利用旋转的性质分三种情况讨论．二、填空题（本题有6小题每小题4分，共24分）11．（4分）已知，则的值为．【分析】依据比例的性质，即可得到，代入分式化简求值即可．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．12．（4分）抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为．【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．【解答】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为，即．故答案为：．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．13．（4分）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是．【分析】根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题．【解答】解：由题知，因为点是的黄金分割点，且，所以，又因为，所以．故答案为：．【点评】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及黄金比是解题的关键．14．（4分）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是或．【分析】由二次函数的部分图象过，得方程的根是，即可得方程的根满足，故方程的根是．【解答】解：由二次函数的图象过，，得方程的根是或1，故方程的根满足或1，故方程的根是或．故答案为：或．【点评】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是正确应用整体思想．15．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则．【分析】连接，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理可得出：，由结合可得出，设等边三角形的边长为，则，，利用勾股定理可得出的长，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：连接，如图所示：在中，，，，同理得：．又，．设等边三角形的边长为，则，，，．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律等知识；构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．16．（4分）如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作，分别交，于点，，若，，则．【分析】连接并延长交于点，首先证明四边形为平行四边形，，再证明四边形为矩形，用勾股定理计算出，由折叠图形性质、平行线性质及角平分线性质定理可得，最后证明，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：如图所示，连接并延长交于点，，，又由折叠性质可得，，，，，四边形为平行四边形，，，，又，，又，四边形为矩形．，，由折叠性质可得，又，．又，为的角平分线，，由，，，设，，则，．故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的性质、轴对称、勾股定理、角平分线性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键点．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．（6分）计算：．【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【解答】解：．【点评】本题主要考查了特殊三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（6分）中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义，是中国传统文化的重要组成部分．（1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是．（2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）从“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》中随机抽取一本，抽取的恰好是《红楼梦》的概率是，故答案为：；（2）把《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，分别记为、、、，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，即、，抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．19．（6分）如图，在中，，点、、、在同一条直线上，且．（1）求证：；（2）若，，求的长度．【分析】（1）由可得到，则，即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：，，，．；（2）解：，，，，，，．【点评】本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三角形的性质来找角相等．20．（8分）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的处．（1）求处距离辽宁舰有多远；（2）求处距离辽宁舰有多远（结果精确到．（参考数据：，，；，，【分析】（1）在中，，代入计算即可．（2）在中，，代入计算即可．【解答】解：（1）由题意得，，，在中，．处距离辽宁舰约有．（2）在中，，，．处距离辽宁舰约有．【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．21．（8分）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可；（2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】（1）证明：是的中点，，，在和中，，，；（2）解：如图，连接，设，则，，，，在中，，即，解得：（负值舍去），，．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键．22．（10分）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知．（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可；（2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可．【解答】（1）证明：是的切线，理由：连接，与相切于点，，在和中，，，，，，即，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，，，，，由（1）可知，，，，，，在中，，，，，在中，，，，，．【点评】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质，掌握切线的性质和判定方法，扇形面积的计算方法以及等腰三角形的性质是正确解答的关键．23．（10分）已知二次函数，点，