1.2.2空间中的平面与空间向量（第一课时）学案-高中数学人教B版选择性

课题1.2.2空间中的平面与空间向量（第一课时）学习目标1.理解平面的法向量定义能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量.2.会用向量语言表达线面、面面的平行关系3.培养学生思维的严谨性与逻辑性，数学抽象与数学运算等素养德育目标培养学生严谨的科学态度劳动核心素养目标培养学生攻坚克难的劳动品质.学习重点会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系学习难点用向量运算解决空间中线面、面面的平行的判定课标要求能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.【重点题重做】在直三棱柱中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成角的余弦值．【主问题的提出】：1.求平面的法向量；2.利用向量法研究空间的位置关系【尝试与发现1】我们已经知道空间中的直线，根据它的方向向量和一个点可以描述这条直线的位置，那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？一、平面的法向量1.定义如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α.小试牛刀小试牛刀平面ABCD的一个法向量为_________;思考：上述两个平面的法向量唯一吗？它们之间是什么关系？若指定过某一点做平面ABCD的法向量，则法向量有几个呢？2.平面法向量的性质(1)如果直线l⊥α,则直线l的任意一个方向向量,都是平面α的一个法向量；（2）如果n为平面α的一个法向量，则对任意的实数，空间向量n也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行；（3）如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即，从而已知平面α的位置可由n和A唯一确定.【尝试与发现2】1.如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量,分别探讨n∥v与n⊥v时，直线l2.如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，分别探讨论n1⊥n2总结：空间向量与平行或垂直关系：v是直线l的一个方向向量，n是平面αn⊥vn∥vα1∥α2,或α1与α2重合α1⊥α2【试一试】：设n1，n2分别是空间中两个不重合的平面的法向量，v是直线l的一个方向向量，分别根据下列条件判断平面的位置关系.（1）n1=（2,1,2），n2=（6，3，6）；（2）n1=（1,2,3），v=（3，6，9）；（3）n1=（2,2,5），n2=（3，2，2）.（4）n1=（2,2,5），v=（3，2，2）.【典型例题】例1已知正方体中，分别是的中点，求证：.思考：如果已知A,B,C是平面内不共线的三点，则非零向量n满足什么条件呢？怎样求一个平面的法向量呢？总结：如果已知A,B,C是平面内不共线的三点，则平面ABC的法向量需要满足：_________________________________________________例2：如图,已知空间直角坐标系中的三棱锥OABC中O其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量.【主问题应用】：1.已知,求平面ABC的一个法向量的坐标.2.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD=3,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.【主问题深化】：已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.评价标准：1：优秀：能用空间向量解决直线与平面的位置关系.评价标准：1：优秀：能用