现代数字信号处理课件：基础理论

基础理论1.1概述1.2离散时间信号与系统1.3信号抽样、量化和编码1.4基本的信号变换方法

1.1概述

1.1.1信号

通信的目的主要是传递信息，信号则是信息的载体。信号定义为随着时间、空间或者其他自变量变化的物理量。虽然信号可以用很多方法表示，例如光信号、声信号、电信号、磁信号等，但是在所有情况下，信息都可以包含在以某种方式变化的一个图形中，各种信号可表示为一个或几个独立变量的函数。根据时间变量的取值方式不同，信号可以分为连续时间信号和离散时间信号。时间取值连续的为连续时间信号；不连续的为离散时间信号。

根据信号的周期性，可以分为周期信号和非周期信号。对于信号x(n)，若有x(n)=x(n+kN),k和N均为正整数，则称x(n)为周期信号，周期为N；否则，称x(n)为非周期信号。当然，一个非周期信号也可以视为周期信号，其周期认为是无穷大的。

根据信号在任意时刻的取值是否能够精确确定，可以分为确定性信号和随机信号。顾名思义，随机信号在任意时刻的取值是随机的，不能给出精确的预测。根据信号的能量和功率大小，可以将信号分为能量信号和功率信号。如果信号能量有限，则称为能量信号；如果信号功率有限，则称为功率信号。周期信号、准周期信号及随机信号，由于其时间是无限的，所以它们总是功率信号。一般认为在有限区间内存在的确定性信号有可能是能量信号。

根据信号变量的个数，可以将信号分为一维信号、二维信号和多通道信号。

1.2离散时间信号与系统

1.2.1离散时间信号

一个信号x(t)，可以代表一个实际的物理信号，也可以是一个数学函数。例如，x(t)=Asin(2πft)既是正弦信号，又是正弦函数。因此，在信号处理中，信号与函数往往是通用的。随机信号与随机过程也是通用的。在函数中，如果t是时间轴上的连续变量，那么称x(t)为连续时间信号，又称模拟信号。如果t仅在时间轴的离散点上取值，那么称其为离散时间信号，记为x(n)。

x(n)在时间上是离散的，其幅度可以在某一个范围内连续取值。但是目前的信号处理装置是以计算机或专用信号处理芯片来实现的，它们都以有限的位数来表示幅度，因此，其幅度也要量化，即取离散值。在时间和幅度上都取离散值的信号称为数字信号。1.2.2典型的离散信号

在离散时间信号中，我们经常遇到一些典型的离散信号，下面对它们进行简要介绍。

(1)单位抽样序列:(1.2.1)

δ(n)为单位抽样序列，该序列在离散信号和离散系统的分析与综合中有重要的作用，其地位犹如单位冲激信号δ(t)在连续时间系统中的地位。

δ(n)在数字信号处理中也起着重要的作用，它的许多性质与单位冲激信号相似，只是定义不同。δ(t)又称Kronecker函数，是以积分为基础定义的，即(1.2.2)且t≠0时，δ(t)=0。δ(t)表示在极短的时间内产生的巨大冲激，而δ(n)在n=0时定义为1。图1.1(a)和(b)分别给出了δ(n)和δ(t)的波形。图1.1单位抽样信号和单位冲激信号

(2)单位阶跃序列:

(1.2.3)该序列只在时间轴的正半轴上取值，且恒为数值1。若序列y(n)=x(n)u(n)，那么y(n)的自变量n的取值就限定在n≥0的右半轴上。x(n)=Asin(2πfnTs+j)

(1.2.4)式中:f是频率，单位是Hz。令Ω=2πf，则Ω的单位是rad/s,Ω是相对连续信号x(t)的连续角频率变量，当f由－∞至∞时，Ω也由－∞至∞，令(1.2.5)fs称为抽样频率。显然，当f从0增至fs时，ω从0增至2π；当f从0减至－fs时，ω从0减至－2π；当f再增加或减少

fs的整数倍时，ω重复0~±2π。ω的单位是rad，我们称ω为圆频率或圆周频率，它是相对离散信号x(n)的频率分量。于是式(1.2.4)的正弦序列可以表示为

x(n)=Asin(ωn+j)

(1.2.6)

(4)复正弦序列:

x(n)=ejωn=cos(ωn)+jsin(ωn)

(1.2.7)

上式称为欧拉恒等式。复正弦ejωn在数字信号处理中有着重要的应用，它不但是离散信号做傅立叶变换的基函数，同时也是离散系统的特征函数。

(5)指数序列:

x(n)=a|n|

(1.2.8)

式中，a为常数且|a|<1。

如果a为复数，我们可以将a写成a=rejω0的形式，式中r>0，ω0≠0，π，这样，x(n)变成复值信号，即x(n)=r|n|ejω0|n|。若r<1，则x(n)为衰减的复正弦，其实部和虚部分别为衰减的实余弦和衰减的实正弦。

单位阶跃序列、余弦序列、正弦序列及指数序列如图1.2所示。图1.2几种典型的离散序列1.2.3离散时间系统

在许多数字信号处理应用中，我们希望能设计出一个器件或算法，对离散时间信号执行某些规定的运算，这样的器件或算法称为离散时间系统。具体来说，离散时间系统就是一个器件或算法，它根据某种详细定义的规则，对称为输入或激励的离散时间信号进行运算，以产生称为系统输出或响应的另一个离散时间信号。通常，我们把系统视为对输入信号x(n)进行的一种运算或一组运算，以产生输出信号y(n)。我们说，输入信号x(n)被系统转换成信号y(n)，并将x(n)和y(n)的一般关系表示为

y(n)=τ[x(n)]

(1.2.9)

其中，符号τ表示系统对x(n)进行的转换(也称为运算)或处理，用以产生y(n)。图1.3用图形化方法描述了式(1.2.9)的数学关系。图1.3离散时间系统的结构图表示1.2.4系统的输入－输出描述

离散时间系统的输入－输出描述由数学表达式或规则组成，它明确地定义了输入和输出信号的关系(输入－输出关系)。系统的准确内部结构是未知的或者被忽略，因此，与系统交互的唯一方法就是利用它的输入和输出终端(即对用户来说，系统假定为一个黑匣子)。为了反映这个观点，我们使用图1.3描述的图形表示，以及式(1.2.9)中的一般输入－输出关系式或者等价的符号：(1.2.10)这仅仅说明y(n)是系统τ对激励x(n)的响应。下面的例子说明了几个不同的系统。例1.1

计算如下系统对输入信号的响应

(a)y(n)=x(n)(恒等系统);

(b)y(n)=x(n－1)(单位延迟系统);

(c)y(n)=x(n+1)(单位超前系统);

(d)y(n)=[x(n+1)+x(n)+x(n－1)]/3(滑动平均滤波器);

(e)y(n)=median[x(n+1)，x(n)，x(n－1)](中值滤波器);

(f)y(n)=

x(k)=x(n)+x(n－1)+x(n－2)+…(累加器)。解:

首先，明确计算出输入信号的样本值

接下来，利用输入-输出关系计算每个系统的输出。

(a)在这种情况下，输出和输入信号完全相同，这样的系统即是我们熟知的恒等系统。

(b)这个系统仅仅对输入延迟了一个样本。因此它的输出为

(c)在这种情况下，系统超前输入一个样本。例如，在n=0时刻，输出值y(0)=x(1)。系统对于给定输入的响应为

(d)这个系统的输出在任何时刻都是当前样本值、最近的过去样本值以及最近的将来样本值的平均。

(e)在时刻n，这个系统选择三个输入样本x(n－1)、x(n)和x(n+1)中的中值作为它的输出。因此，该系统对输入信号x(n)的响应为

(f)这个系统基本上是一个累加器，用来计算在当前时刻以前的所有输入值的连续和，该系统对给定输入的响应为我们注意到，例1.1中所考虑的几个系统，在时刻n=

n0时的输出不仅依赖于n=n0时刻的输入值，而且还依赖于n=n0前、后作用到系统的输入值。例如，例题中所考虑的累加器，我们看到在n=n0时刻的输出不仅依赖于n=n0时刻的输入，而且还依赖于x(n)在n=n0－1,n=n0－2以及其后的值。通过简单的代数运算，累加器的输入－输出关系可以写为(1.2.11)它证明了术语“累加”的含义，即系统通过将当前的输入值与先前的输出值相加(累加)，计算出当前的输出值。再进一步观察这个看上去非常简单的系统，还可以得到其他一些有趣的结论。假如，给定n≥n0时的输入信号x(n)，我们希望计算该系统在n≥n0时的输出。对于n=n0，n0+1…,由式(1.2.11)得出

y(n0)=y(n0－1)+x(n0)

y(n0+1)=y(n0)+x(n0+1)

以此类推。现在，我们在计算y(n0)时遇到了问题，这是因为y(n0)的计算依赖于y(n0－1)。然而求解n≥n0时的y(n)需要的额外信息是初始条件y(n0－1)，这个值概括了先前输入到系统的所有值的影响。因此，初始条件y(n0－1)和n≥n0时的输入序列x(n)一起唯一确定了n≥n0时的输出序列y(n)。

如果累加器在n0之前没有激励，那么初始条件y(n0－1)=0。在这种情况下，我们说该系统为初始弛豫。因为y(n0－1)=0，所以输出序列y(n)只依赖于n≥n0时的输入序列x(n)。

习惯上，假设每个系统在n=－∞时都是弛豫的。在这种情况下，如果输入x(n)作用于n=－∞，那么对应的输出y(n)由给定的输入唯一确定。1.2.5离散时间系统的结构图表示

现在我们介绍一种非常有用的离散时间系统的结构图表示。为此，我们需要定义一些可以相互连接以构建复杂系统的基本运算单元。

(1)加法器。图1.4所示的系统(加法器)用于执行两个信号序列相加，以构成另一个(和)序列，这个序列表示为y(n)。注意，执行加法并不需要存储任何一个序列。换言之，加法运算无记忆。

(2)常数乘法器。图1.5描述了这个运算，它的表达式仅仅是对输入x(n)增加了一个缩放因子。注意，该运算同样也是无记忆的。图1.4加法器的图形表示图1.5常数乘法器的图形表示

(3)信号乘法器。图1.6示例了两个信号序列相乘构成另一个(积)序列的情况，这个序列在图中表示为y(n)。和先前两种情况一样，可以把乘法运算视为无记忆的。图1.6信号乘法器的图形表示

(4)单位延迟元件。单位延迟是一个特殊的系统，它仅仅将通过它的信号延迟一个样本。图1.7画出了这样的系统。如果输入信号是x(n)，则输出为x(n－1)。实际上，样本x(n－1)在n－1时刻就存储在存储器中，在n时刻再从存储器中取出，这样就构成了

y(n)=x(n－1)

因此，这个基本运算单元是需要存储器的。我们用符号z－1来表示单位延迟，这在以后讨论Z变换时，将经常看到。图1.7单位延迟元件的图形表示

(5)单位超前元件。与单位延迟元件不同，单位超前元件将输入x(n)在时间上向前移动一个样本以生成x(n+1)。图1.8表示了这个运算，其中运算符z用来表示单位超前。我们注意到，任何这样的超前元件在实时系统中是物理上不可实现的，这是因为无法观察信号的未来。另一方面，如果把信号存储在计算机的存储器内，那么就可以在任意时间调出任何样本。在这样的非实时应用中，就有可能在时间上超前信号x(n)。图1.8单位超前元件的图形表示例1.2

利用上面的基本运算单元，画出离散时间系统的结构图表示，已知它的输入-输出关系为

y(n)=0.25y(n－1)+0.5x(n)+0.5x(n－1)

其中，x(n)是输入，y(n)是输出。

解:

根据系统的输入－输出关系式，通过将x(n)和x(n－1)乘以0.5，将两个乘积相加，然后再加上先前的输出y(n－1)的0.25倍，就得到了输出y(n)。图1.9画出了该系统的两种实现结构图。图1.9系统y(n)=0.25y(n－1)+0.5x(n)+0.5x(n－1)的实现结构图注意，如果从输入-输出关系看，那么我们并不关心系统是如何实现的。另一方面，如果采用系统的内部描述，那么我们就可以准确地了解系统的基本运算单元是如何配置的。对于这样的实现形式，我们可以看到，如果系统中存在的所有延迟器在n=n0时的值为零，那么这个系统在n=n0时就是弛豫的。1.2.6离散时间系统的分类

1.静态系统与动态系统

如果一个离散时间系统在任意时刻n的输出至多依赖于同一时刻的输入样本，而与过去或者将来的输入样本无关，那么该系统就称为静态的或者无记忆的。对于其他任何情况，则该系统称为动态的或者有记忆的。如果系统在时刻n的输出完全由区间n－N(N>0)到n内的输入样本确定，那么该系统称为具有长为N的存储。如果N=0，那么系统是静态的；如果0<N<∞，那么系统称为有限存储系统；如果N=∞，那么系统称为无限存储系统。由以下输入－输出方程

y(n)=ax(n)

(1.2.12)

y(n)=nx(n)+bx3(n)

(1.2.13)

所描述的系统都是静态的或者无记忆的。对于这种系统，在计算当前输出时，无须存储任何过去的输入或输出值。另一方面，由以下输入－输出关系

y(n)=x(n)+3x(n－1)

(1.2.14)(1.2.15)(1.2.16)所描述的系统是动态系统或者是具有存储器的系统。式(1.2.14)和式(1.2.15)描述的系统属于有限存储系统，而式(1.2.16)描述的系统属于无限存储系统。

我们注意到，静态或者无记忆系统通常由形式为

y(n)=τ[x(n)，n]

(1.2.17)

的输入－输出方程来描述，这里并不包括延迟元件(存储器)。

2.时不变系统与时变系统

可以把一般的系统类别再分为两大类:时不变系统和时变系统。如果系统的输入－输出特性不随着时间变化，那么该系统称为时不变系统。为了详细说明这一点，假设有一个弛豫系统τ，当它被输入信号x(n)激励时，产生输出信号y(n)。因此，可以写为

y(n)=τ[x(n)]

(1.2.18)定义1.1

一个弛豫系统τ是时不变或者平移不变系统，当且仅当

这意味着，对任何输入信号x(n)和任意时间平移量k，有

为了确定一个给定系统是否为时不变系统，需要进行前面定义所指定的测试。基本方法是，用一个任意的输入序列x(n)激励系统，产生一个输出序列,记为y(n)。下一步，将输入序列延迟k个单位并重新计算输出。通常，输出可以写为

y(n，k)=τ[x(n－k)]如果对于所有可能的k值，输出y(n，k)=τ[x(n－k)]，那么该系统就是时不变的。另一方面，如果即使只对一个k值，输出y(n，k)≠τ[x(n－k)]，那么该系统就是时变的。例1.3

确定图1.10所示的系统是时变还是时不变的。图1.10系统判断实例解:(a)这个系统的输入-输出方程为

y(n)=τ[x(n)]=x(n)－x(n－1)

现在，如果输入在时间上延迟了k个单位，并将它作用到系统，那么从结构图中显然可以看出该系统的输出为

y(n，k)=x(n－k)－x(n－k－1)

另一方面，如果将y(n)从时间上延迟k个单位，那么就有

y(n－k)=x(n－k)－x(n－k－1)

因此该系统是时不变的。

同理可以判断(b)、(c)、(d)是时变系统。

3.线性系统与非线性系统

一般的系统类别还可再分为线性系统和非线性系统。满足叠加性的系统就是线性系统。简单说明一下，叠加性要求系统对信号加权和的响应等于系统对每个独立输入信号对应的响应(输出)的加权和。因此，得到以下的线性定义。

定义1.2

一个系统是线性的，当且仅当对任意输入序列x1(n)和x2(n)，以及任意常数a1和a2，满足式(1.2.20)。

τ[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1τ[x1(n)]+a2τ[x2(n)]

(1.2.20)

图1.11给出了叠加性的图形表示。图1.11叠加性的图形表示关系式(1.2.20)表现的叠加性可以分成两部分。第一，假设a2=0，那么式(1.2.20)简化为

τ[a1x1(n)]=a1τ[x1(n)]=a1y1(n)

(1.2.21)

其中，y1(n)=τ[x1(n)]。

关系式(1.2.21)展示了线性系统的乘法或者缩放特性。即如果系统对输入x1(n)的响应为y1(n)，那么系统对a1x1(n)的响应就仅仅是a1y1(n)。因此，对输入的任意缩放会导致相应输出的等同缩放。第二，假设在式(1.2.20)中有a1=a2=1，那么

τ[x1(n)+x2(n)]=τ[x1(n)]+τ[x2(n)]

=y1(n)+y2(n)

(1.2.22)这个关系式展示了线性系统的可加性。可加性和乘法性组成了适用于线性系统的叠加性。

式(1.2.20)所包含的线性条件，通过归纳，可以扩展到信号的任意加权组合。通常，可以得到(1.2.23)其中

yk(n)=τ[xk(n)]，k=1，2，…，M－1

(1.2.24)从式(1.2.21)可以看到，如果a1=0，那么y(n)=0。换言之，一个弛豫线性系统，零输入产生零输出。如果零输入产生非零输出，那么该系统可能是非弛豫的或者是非线性的。如果一个弛豫系统不满足定义所给出的叠加性，那么就称它为非线性的。例1.4

判断下列输入-输出方程所描述的系统是线性的还是非线性的。

(a)y(n)=nx(n);

(b)y(n)=x(n2);

(c)y(n)=x2(n);

(d)y(n)=Ax(n)+B;

(e)y(n)=ex(n)。

解:(a)对于两个输入序列x1(n)和x2(n)，对应的输出为

y1(n)=nx1(n)

y2(n)=nx2(n)两个输入序列的线性组合产生的输出为

y3(n)=n[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1nx1(n)+a2nx2(n)

另一方面，两个输出的线性组合产生的输出为

a1nx1(n)+a2nx2(n)

所以该系统是线性的。

同理可以判断，(b)是线性的，(c)、(e)是非线性的，(d)不满足判断条件，即系统不是弛豫的。

4.因果系统与非因果系统

我们先从因果离散时间系统的定义开始。

定义1.3

如果一个系统在任意时刻n的输出(即y(n))仅依赖于当前和过去的输入(即x(n)，x(n－1),x(n－2)，…)，而与将来的输入(即x(n+1)，x(n+2)，…)无关，那么这个系统就称为是因果的。以数学形式表示，因果系统的输出应该满足如下方程:

y(n)=F[x(n)，x(n－1)，x(n－2)，…]

(1.2.25)

其中，F[·]是某个任意函数。例1.5

判断由下列输入-输出方程描述的系统是因果的还是非因果的。

(a)y(n)=x(n)－x(n－1);

(b)

;

(c)y(n)=ax(n);

(d)y(n)=x(n)+3x(n+4);

(e)y(n)=x(n2);

(f)y(n)=x(2n);

(g)y(n)=x(－n)。解:(a)、(b)、(c)所描述的系统很明显是因果的，因为它们的输出只依赖于当前和过去的输入。(d)、(e)、(f)所描述的系统很明显是非因果的，因为它们的输出依赖于将来的输入。(g)所描述的系统也是非因果的，我们注意到，当选择n=－1时，得到的输出为y(－1)=x(1)。因此，在n=－1时的输出依赖于n=1时的输入，在时间上这是将来两个单位后的值。

5.稳定系统与不稳定系统

定义1.4

一个任意的弛豫系统称为有界输入－有界输出(BIBO)稳定，当且仅当每个有界输入产生有界的输出。

输入序列x(n)和输出序列y(n)有界的条件转换到数学上，就意味着存在某些有限数，如Mx和My，并且对所有的n，使得

|x(n)|≤Mx<∞，|y(n)|≤My<∞

(1.2.26)

如果对某些有界输入序列x(n)，输出是无界(无限)的，那么该系统归为不稳定系统。1.2.7离散时间系统的互连

离散时间系统可以相互连接以构建更大的系统。有两种基本的系统互连方法:级联(串联)或者并联。这些互连如图1.12所示。注意，这两个互连的系统是不同的。图1.12系统的级联和并联下面证明τc是时不变的。为了证明时不变性，假设τ1和τ2是时不变的，那么并且因此因而τc是时不变的。1.2.8离散时间线性时不变系统的分析

在1.2.6节中，我们依据许多特性或者范畴对系统进行了分类，即线性、因果、稳定和时不变。有了这样的分类，就可集中分析一类重要的线性时不变(LTI)系统。特别地，我们将会说明这类系统的时域特征是通过它们对单位采样序列的响应来进行描述的。我们还会说明，任意输入信号都可以分解并表示为单位采样序列的加权和。因此，由于系统的线性时不变性，系统对任意输入信号的响应可以表示为单位采样响应的形式。将系统的单位采样响应、任意的输入信号与输出信号关联起来的一般表达形式，称为卷积和或者卷积公式，我们也将推导这个公式。因此，我们就可以计算线性时不变系统对任意输入信号的输出。1.2.9线性系统的分析方法

有两种分析线性系统对给定输入信号反应或者响应的方法。一种是基于系统输入－输出方程的直接求解方法，通常输入－输出方程的形式为

y(n)=F[y(n－1)，y(n－2)，…，y(n－N)；x(n)，

x(n－1)，…，x(n－M)]

其中，F[·]在方括号内表示各个量的某些函数。特别地，对LTI系统，在后面我们将看到，它的输入－输出关系的一般形式为

第二种分析线性系统对给定输入信号响应的方法是:首先将输入信号分解成基本信号的和，基本信号的选择要使得系统对每个信号分量的响应易于求解；然后利用系统的线性特性，将系统对基本信号的响应相加，就得到了系统对给定输入信号的总响应。第二种方法即是本节将讲述的方法。

为了详细说明，假设输入信号x(n)分解为基本信号分量{xk(n)}的加权和，使得

(1.2.31)其中，{ck}是信号x(n)分解后的一组幅度(权系数)。现在，假设系统对基本信号分量xk(n)的响应为yk(n)，从而

yk(n)≡τ[xk(n)]

(1.2.32)假设系统是弛豫的，由于线性系统的缩放特性，于是系统对ckxk(n)的响应为ckyk(n)。

系统对输入x(n)的总响应为(1.2.33)=

=在式(1.2.33)中，我们利用了线性系统的可加性。虽然基本信号的选择看似是任意的，但依据是对想要求解的输入信号的分类。如果对输入信号的特性不做限制，那么将输入信号分解为单位采样(冲激)序列的加权和可以证明是运算方便且十分普遍的。另一方面，如果我们的讨论限制在输入信号的一个子集上，那么或许存在其他的基本信号集，使得求解输出的运算更加方便。例如，如果输入信号x(n)是周期为N的周期信号，那么运算方便的基本信号集是指数信号

xk(n)=ejωkn，k=0，1，…，N－1

(1.2.34)

其中，频率{ωk}是谐波相关的，即

(1.2.35)1.2.10离散时间信号分解为冲激信号

假设对于任意的输入信号x(n)，我们希望将它分解成单位采样序列的和。为了能够利用前一节建立的符号，选择基本信号xk(n)为

xk(n)=δ(n－k)

(1.2.36)

其中，k表示单位采样序列的延迟。为了处理具有无限长非零值的任意信号x(n)，该组的单位冲激也必须是无限的，以构成无限数量的延迟。现在假设将两个序列x(n)和δ(n－k)相乘，因为δ(n－k)除了在n=k处的值为单位1外，其他处的值均为零，所以乘法的结果是另外一个序列，它除了在n=k处的值为x(k)外，其他处的值均为零，正如图1.13所示。因此

x(n)δ(n－k)=x(k)δ(n－k)

(1.2.37)

是一个序列，它除了在n=k处的值为x(k)外，其他处的值均为零。如果重复计算x(n)和δ(n－m)的乘积，其中m是另一个延迟量(m≠k)，那么这个结果也是一个序列，它除了在n=m处的值为x(m)外，其他处的值均为零。因此

x(n)δ(n－m)=x(m)δ(n－m)

(1.2.38)图1.13信号x(n)和移位单位采样序列的乘积换言之，信号x(n)和单位冲激在某个延迟k(即δ(n－k))处的每个乘积，其实就是取信号x(n)在单位冲激的非零处的延迟值x(k)。因此，如果要重复计算所有可能延迟k的乘积，－∞<k<+∞，并将所有序列相加，那么结果也是一个等于x(n)的序列，即(1.2.39)需要强调的是，式(1.2.39)的右边是许多缩放了的单位采样序列的和，其中单位采样序列δ(n－k)的幅度值为x(k)。因此，式(1.2.39)的右边给出了任意信号x(n)分解成单位采样序列的加权(缩放)和的形式。1.2.11离散时间系统的实现

对于离散时间系统的研究，我们主要集中于线性时不变系统的时域特性和分析。线性时不变系统是由常系数线性差分方程进行描述的。在下面的章节中，我们将从频域描述和分析LTI系统的特性。在后面，我们将要讨论的另外两个重要话题是这些系统的设计与实现。

在实际中，系统的设计和实现常常是同时而不是分开考虑的。通常，系统设计受到实现方法和实现约束的引导，比如成本、硬件限制、尺寸限制以及功率需求等。迄今为止，我们还未介绍解决这些复杂问题所必需的分析和设计工具。然而，对于由线性常系数差分方程描述的LTI系统，我们已经介绍了足够的背景知识来考虑它们的某些基本实现方法。1.2.12线性时不变系统的实现结构

首先，考虑一阶系统

y(n)=－a1y(n－1)+b0x(n)+b1x(n－1)

(1.2.40)

它的实现结构如图1.14(a)所示。这种实现方法对输入和输出信号样本采用单独的延迟元件(存储器)，我们称之为直接Ⅰ型结构。注意，这两个系统可以视为两个线性时不变系统的级联。第一个是非递归系统，描述的方程为

v(n)=b0x(n)+b1x(n－1)

(1.2.41)

而第二个是递归系统，描述的方程为

y(n)=－a1y(n－1)+v(n)

(1.2.42)然而，正如我们在1.2.7节所看到的，如果交换级联的线性时不变系统的次序，那么整个系统的响应保持不变。因此，如果交换该递归和非递归系统的次序，那么就得出式(1.2.40)所描述的系统的另一种实现结构，这个系统如图1.14(b)所示。

w(n)=－a1w(n－1)+x(n)

(1.2.43)

y(n)=b0w(n)+b1w(n－1)

(1.2.44)

它提供了计算由单差分方程(1.2.40)所描述的系统输出的另一种算法。换言之，两个差分方程(1.2.43)和(1.2.44)等价于单差分方程(1.2.40)。进一步观察图1.14，我们发现两个延迟元件包含相同的输入w(n)，从而输出的w(n－1)也相同。因此，这两个元件可以合并成一个延迟器，如图1.14(c)所示。与直接Ⅰ型结构不同，对于中间量w(n)，新的实现方式只需要一个延迟器，因此，就存储需求而言，它更加高效。这种实现方法称为直接Ⅱ型结构，它在实际中应用广泛。图1.14从直接实现形式Ⅰ转换到直接实现形式Ⅱ的步骤这些结构很容易推广到一般的线性时不变递归系统，其描述的方程为

(1.2.45)图1.15画出了该系统的直接Ⅰ型结构，这个结构需要M+N个延迟器和N+M－1个乘法器，它可以视为非递归系统(1.2.46)和递归系统(1.2.47)的级联。图1.15式(1.2.45)描述的系统的直接Ⅰ型结构同先前对一阶系统所做的操作一样，颠倒这两个系统的次序，就得到了直接Ⅱ型结构，如图1.16所示，其中N>M。这个结构是递归系统(1.2.48)及其后的非递归系统(1.2.49)的级联。图1.16式(1.2.45)描述的系统的直接Ⅱ型结构我们看到，如果N≥M，那么该结构需要的延迟器的数量等于系统的阶N。然而，如果M>N，那么需要的存储器由M指定(可以修改图1.16以解决这种情况)。因此，直接Ⅱ型结构需要M+N－1个乘法器和max(M，N)(M，N的最大值)个延迟器。因为要实现式(1.2.45)描述的系统需要最少数量的延迟器，所以该结构有时也称为规范形式。

如果令系统参数ak=0，k=1，…，N，就会出现式(1.2.45)的特殊情况，那么系统的输入－输出关系就简化为(1.2.50)这是一个非递归线性时不变系统，该系统可以视为只将最近的M+1个输入信号样本通过{bk}集中的适当的系数bk加权后再相加。换言之，系统的输出基本上是输入信号的加权滑动平均。因此，该系统有时也称为滑动平均(MA)系统。这样的系统是冲激响应hk等于系数bk的FIR系统，即

(1.2.51)如果再回到式(1.2.45)并令M=0，那么一般线性时不变系统就简化为完全递归系统，它的差分方程为(1.2.52)由二阶差分方程描述的线性时不变系统是由式(1.2.45)、式(1.2.49)或式(1.2.52)描述的更具一般系统特征的一个重要子类。在后面讨论量化效果时，我们会解释这些系统重要性的原因。可以肯定地说，迄今为止，二阶系统通常是用来实现高阶系统的基本运算单元。

描述最一般二阶系统的差分方程为

y(n)=－a1y(n－1)－a2y(n－2)+b0x(n)+b1x(n－1)+b2x(n－2)

(1.2.53)

这是由式(1.2.45)通过令N=2以及M=2得到的。实现这种系统的直接Ⅱ型结构如图1.17(a)所示。

如果令a1=a2=0，那么式(1.2.53)就简化为

y(n)=b0x(n)+b1x(n－1)+b2x(n－2)

(1.2.54)

这是式(1.2.50)描述的FIR系统的一个特殊情况，实现该系统的结构如图1.17(b)所示。

如果令式(1.2.53)中b1=b2=0，那么就得到完全二阶递归系统，描述它的差分方程为

y(n)=－a1y(n－1)－a2y(n－2)+b0x(n)

(1.2.55)

这是式(1.2.52)的一种特殊情况。实现该系统的结构如图1.17(c)所示。图1.17二阶系统的实现结构1.2.13FIR系统的递归和非递归实现

基于系统的冲激响应h(n)是有限长的还是无限长的，我们已经能够区分FIR和IIR系统。

我们还能够区分递归和非递归系统。基本上，因果递归系统是由形式为

y(n)=F[y(n－1)，…，y(n－N)；x(n)，…，x(n－M)]

(1.2.56)

的输入－输出方程来描述的；而特殊的线性时不变系统是由差分方程(1.2.57)来描述的。另一方面，因果非递归系统并不依赖于输出的过去值，所以它是由形式为

y(n)=F[x(n)，x(n－1)，…，x(n－M)]

(1.2.58)

的输入－输出方程来描述的；而对于特殊的线性时不变系统，它是由式(1.2.57)中的差分方程来描述的，其中ak=0，k=1，2，…，N。

在FIR系统的情况下，我们已经看到，通常可以非递归地实现这些系统。实际上，令式(1.2.57)中的ak=0，k=1，2，…，N，就得到这样一个非递归FIR系统，它的输入－输出方程为

(1.2.59)正如式(1.2.51)所指出的，该系统的冲激响应只等于系数{b

k}。因此，每个FIR系统可以非递归地实现。另一方面，任何FIR系统也可以递归地实现。虽然我们在后面会给出这

个陈述的一般证明，但现在我们将会以一个简单的例子来说明这一点。

假设有一个形式为

(1.2.60)的FIR系统，现在要计算输入信号x(n)的滑动平均。很明显，该系统是一个冲激响应为(1.2.61)的FIR系统。图1.18画出了该系统的非递归实现结构。

现在，假设将式(1.2.60)表示为(1.2.62)此时，式(1.2.61)表示了该FIR系统的递归实现。这个滑动平均系统的递归实现结构如图1.19所示。图1.18FIR滑动平均系统的非递归实现图1.19FIR滑动平均系统的递归实现

1.3信号抽样、量化和编码

1.3.1抽样

抽样是连续时间信号到离散时间信号的转换过程，通过对连续时间信号在离散时间点处取样本值获得。因此，如果x(t)是抽样器的输入，那么输出是x(nT)=x(n)，其中T称为抽样间隔。

抽样器可以看成是一个电子开关，开关每隔T秒闭合一次(对于理想抽样，闭合时间应该无穷短，对于实际抽样，闭合时间是τ秒，τ<<T)，使输入信号得以抽样，得到连续信号的抽样输出信号。1.3.2理想抽样的抽样定理

在τ→0的极限情况(当τ<<T时，就可认为是理想抽样)下，抽样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列δT(t)，而各冲激函数准确地出现在抽样瞬间上，面积为1，抽样后输出理想抽样信号的面积(即积分幅度)则准确地等于抽样信号xa(t)在抽样瞬间的幅度。理想抽样信号过程如图1.20所示。图1.20连续时间信号抽样冲激函数序列δT(t)为

(1.3.1)理想抽样输出为(1.3.2)将式(1.3.1)代入式(1.3.2)得(1.3.3)根据δ(t)函数的性质，可以得到(1.3.4)下面讨论理想抽样信号后信号频谱发生的变化。由于在连续时间信号与系统中已经学过，时域相乘则频域为卷积运算，因此若各个信号的傅立叶变换分别表示为

Xa(jΩ)=DTFT[xa(t)]

ΔT(jΩ)=DTFT[δT(t)]

其中，DTFT表示离散时间信号的傅立叶变换，则有(1.3.5)Xa(jΩ)可表示为(1.3.6)现在来求ΔT(jΩ)=DTFT[δT(t)]。由于δT(t)是周期函数，可表示成傅立叶级数，即

称此级数的基频为抽样频率，即而系数可表示成以上结果考虑到在|t|<T/2的区间内，只有一个冲激δ(t)，而当m≠0时，δ(t－mT)都在积分区间之外，且利用关系式因而有(1.3.7)由此得出由于DTFT[ejkΩst]=2πδ(Ω－kΩs)

(1.3.8)所以图1.21周期冲激序列δT(t)和它的傅立叶变换ΔT(jΩ)(1.3.9)δT(t)和ΔT(jΩ)的图形如图1.21所示。根据时域乘积等于频域卷积可以算出(1.3.10)由此看出，一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率Ωs=2π/T为间隔重复，即频谱产生了周期延拓，如图1.22所示，因为频谱是复数，故只画出了其幅度。也就是说，理想抽样信号的频谱是频率的周期函数，其周期为Ωs，而频谱的幅度则受1/T加权。由于T是常数，所以除了一个常数因子区别外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，就有可能恢复出原信号。也就是说，如果xa(t)是带限信号，其频谱如图1.22(a)所示，且最高分量Ωh不超过Ωs/2，那么原信号的频谱和各次延拓分量的频谱彼此不重叠，如图1.22(b)所示。这时采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，就可以得到不失真的原信号频谱，也就是说，可以不失真地恢复出原来的连续信号，即有

(1.3.11)如果信号的最高频谱Ωh超过Ωs/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为频谱的混叠现象，如图1.22(c)所示。由于Xa(jΩ)一般是复数，所以混叠现象也是复数相加。我们将抽样频率之半称为折叠频率，即(1.3.12)图1.22频谱的周期延拓由此可以得出结论:若xa(t)的频带宽度是有限的，要想抽样后x(n)=xa(nT)能够不失真地还原出原信号xa(t)，则抽样频率必须大于或等于两倍信号频谱的最高频率，这就是奈奎斯特抽样定理，即

fs≥2fh

(1.3.13)

若xa(t)的频带宽度不是有限的，为了避免混叠，一般在抽样器前加一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为fs/2，可以滤除高于fs/2的频谱分量。

用同样的方法可以证明，理想抽样后，信号的拉普拉斯变换在s平面上沿虚轴周期延拓，也就是说在s平面虚轴上是周期函数，即(1.3.14)其中1.3.3实际抽样

实际情况中，抽样脉冲不是冲激函数，而是有一定宽度τ的矩形脉冲p(t)，这时奈奎斯特抽样定理是否有效？

由于p(t)是周期函数，故仍可以展成傅立叶级数(1.3.15)同样可以求出p(t)的傅立叶系数Ck,假定p(t)的幅度为1,则有(1.3.16)如果τ、T一定，则随着k的变化，Ck的幅值|Ck|将按而变化，其中x=kΩsτ/2。进而可以求出实际抽样时的信号的频谱为(1.3.17)由此看出，和理想抽样一样，抽样数据信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，因此，如果满足奈奎斯特抽样定理，则不会产生频谱的混叠失真。和理想抽样不同的是，这里频谱分量的幅度有变化，其包络是随着频率增加而逐渐下降的，如图1.23所示。图1.23实际抽样时的包络变化由于又由于包络的第一个零点出现在这就要求所以1.3.4正弦信号的抽样

连续时间正弦信号是一种很重要的信号，不管是理论上还是信号处理的实际应用中，它都有着广泛的应用。例如，常用正弦信号加白噪声作为输入信号来研究某一实际系统或某一算法的性能。因此，正弦信号的抽样显得十分重要。

设连续时间正弦信号为

x(t)=Asin(Ω0t+j)=Asin(2πf0t+j)

(1.3.18)

对于两个不同频率的正弦信号x1(t)、x2(t)，如果用同一抽样频率对其抽样，抽样出的序列可能是一样的，则我们无法判断它来源于x1(t)还是x2(t)。例如设x1(t)、x2(t)分别为

x1(t)=cos(2π×40t)

x2(t)=cos(2π×140t)

如果用fs=100Hz对两个信号进行抽样，可以看出，x1(t)的抽样满足抽样定理，x2(t)的抽样不满足抽样定理，抽样后的序列分别为

它们都是5点的周期序列，其基本周期内的序列值分别为{1，－0.809，0.309，0.399，－0.809},这时我们无法判断这个序列来自x1(t)还是x2(t)。

1.4基本的信号变换方法

1.4.1Z变换的定义与收敛域

1.Z变换的定义

若序列为x(n)，则幂级数(1.4.1)称为序列x(n)的Z变换，其中z为变量。亦可将x(n)的Z变换表示为Z[x(n)]=X(z)(1.4.2)

2.Z变换的收敛域

显然，只有当式(1.4.1)的幂级数收敛时，Z变换才有意义。对任意给定序列x(n)，使其Z变换(即式(1.4.1))收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。按照级数理论，式(1.4.1)的级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件，即要求(1.4.3)要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。不同形式的序列，其收敛域形式不同。下面以有限长序列为例进行说明。这类序列是指在有限区间n1≤n≤n2之内，序列才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零，其Z变换为(1.4.4)因此，X(z)是有限项级数之和，故只要级数的每一项有界，则级数就收敛，即要求|x(n)z－n|<∞，n1≤n≤n2由于x(n)有界，故要求|z－n|<∞，n1≤n≤n2显然，在0<|z|<∞上,都满足此条件，也就是说,收敛域至少是除z=0及z=∞外的开域(0，∞)的“有限Z平面”,如图1.24所示。图1.24有限长序列及其收敛域1.4.2Z反变换

从给定的Z变换闭合式X(z)中还原出原序列x(n)，称为Z反变换，表示为

x(n)=Z－1[X(z)]

(1.4.5)

由式(1.4.1)可看出，式(1.4.5)实质上是求X(z)的幂级数的展开式。求Z反变换的方法通常有三种：围线积分法(留数法)、部分分式展开法和长除法。这里以围线积分法为例进行介绍。

围线积分法是求Z反变换的一种有用的分析方法。根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区Rx－<|z|<Rx+(Rx－≥0,Rx+

≤∞)内是解析的，则在此区域内X(z)可以展开成罗朗级数，即

(1.4.6)而(1.4.7)其中围线c是在X(z)的环状解析域(即收敛域)内环绕原点的一条逆时针方向的闭合单围线，如图1.25所示。将式(1.4.7)与式(1.4.1)的Z变换定义相比较可知，x(n)就是罗朗级数的系数Cn，故式(1.4.7)可写成(1.4.8)式(1.4.8)就是用围线积分的Z反变换公式。图1.25围线积分路径式(1.4.8)的正确性可以用以下的柯西积分定理来证明:其中，z=Rejθ，Rx－<R<Rx+。将式(1.4.8)右端写成若将此式中的n－m看成式(1.4.9)中的k，则有即直接计算围线积分比较麻烦，一般都采用留数定理来求解。按留数定理，若函数F(z)=X(z)zn－1

在围线c上连续，在c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm，(M、K为有限值)，则有(1.4.10)或(1.4.11)式(1.4.11)应用的条件是X(z)zn－1在z=∞有二阶或二阶以上零点，即要分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。其