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文档简介

第56讲直线与圆锥曲线【知识通关】通关一、直线与曲线联立1.直线与椭圆联立.；；；；；；.2.直线与抛物线联立，消去得.；；.通关二、中点问题与点差法对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，那么.两式相减，得，即.当，两边同除，得.于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系式：，.通关三、切点弦问题假设椭圆：在两点，处的切线分别为，，若，相交于点，那么：，：.点同时位于直线和直线上，于是.所以直线的方程为.这就意味着当定点位于椭圆外时，它对应的“切线方程”实际上是该点对应的切点弦方程.下面给出点对于几种标准圆锥曲线的切点弦方程：圆：的点弦方程为；椭圆：的切点弦方程为；双曲线：的切点弦方程为；抛物线：的切点弦方程为.【结论第讲】结论一、直线与椭圆交点问题（1），直线与椭圆有两个交点；（2），直线与椭圆有一个交点（相切）；（3），直线与椭圆无交点.【例1】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围.【变式】已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.结论二、切线问题1.当点在圆上时，过该点的切线方程为；2.当点在椭圆上时，过该点的切线方程为；3.当点在双曲线上时，过该点的切线方程为；4.当点在抛物线上时，过该点的切线方程为.【例2】已知一条直线与椭圆相切于点，求切线的方程.【变式】已知椭圆，，是过点且相互垂直的两条直线，问实数为何值时，直线，都与椭圆相切.结论三、弦长问题设椭圆与直线:相交于，两点，则弦长为：.【例3】已知椭圆：.（1）若斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，求弦的长.（2）若直线为，当为何值时，直线被椭圆所截得的弦长？【变式】已知椭圆：，为坐标原点，为椭圆的右顶点，点（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，，求的取值范围.结论四、中点问题1.已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为；2.已知抛物线内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为.【例4】已知椭圆与直线相交于，两点，是的中点，若，的斜率为，求椭圆的方程.【变式】已知抛物线的焦点为，设，为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线过点，求证：线段中点的横坐标为定值.结论五、垂直问题1.斜率角度.2.向量角度.【例5】已知椭圆：的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，点，且，求直线的方程.【变式】在平面直角坐标系中，抛物线：，斜率为2的

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