2024年高考数学优等生培优第55讲、抛物线的定义和性质-原卷版 25

第55讲、抛物线的定义和性质通关二、扡物线焦点弦性质已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,AC,BD垂直于抛物线的准线于(1)x(2)|AB(3)S△(4)1|(5)以AF(BF)(6)以AB为直径的圆与抛物线准线相切;(7)A,【证明】(1)因为y2=2px(pp因此,总有y1(2)由抛物线定义,=x2+p2.+p2,所以x1+x2(2)得|AB|=2pk2+2(3)如图,S(4)−1|AF(5)设AF的中点为ExE,yE,则xE=x1+p(6)设AB的中点为Mx0,y0,分别过A,M(7)由题意知,Ax1,y1,D−p2,y2,因为OD=−结论一、标准方程对于拋物线y2=2px(对于拋物线y2=−2px(对于抛物线x2=2py(对于抛物线x2=−2py(【例1】抛物线y=ax2 A.(a,0) B.12a,0 C.【变式】拋物线y=4x2的焦点坐标为 A.(0,1) B.(1,0) C.0,116 D结论二、抛物线焦半径抛物线上任意一点Px0,y0(1)对于拋物线y2(2)对于拋物线y2(3)对于抛物线x2(4)对于拋物线x【例2】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M点到y轴的距离是 A.6 B.8 C.9 D.10【变式】如果P1,P2,⋯,P10是抛物线C:y2=4x结论三、抛物线定义拋物线y2=2px(p【例3】P是抛物线y2=2px(p>0)上的点,F是抛物线的焦点,则以| A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定【变式】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线l与抛物线交于P,Q两点,作PP1结论四、p的几何意义已知拋物线y2=2px(【例】4抛物线y2=2px(p>0)上的动点 A.12 B.1 C.2 【变式】已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为结论五、抛物线的通径已知是过抛物线的焦点的弦，设直线的倾斜角为，当轴()时，称弦为通径.通径是过焦点的所有弦中最短的，其长度为.【例5】抛物线与过焦点且垂直于对称轴的直线交于两点，则（）.A.B.C.D.【变式】已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，，为的准线上一点，则的面积为（）.A.18B.24C.36D.48结论六、抛物线最值1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决.【例6】已知点是抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值是（）.A.B.4C.D.5【变式】已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）.A.1B.2C.3D.4结论七、定点弦横纵坐标乘积为定值已知直线过定点，与抛物线交于两点，若，，则，，当时，，.【例7】如图，抛物线，圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为（）.A.B.C.D.【变式】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（）.A.B.C.D.结论八、焦半径的倾斜角表示1.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，在轴下方，则，(为直线的倾斜角)；2.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，在轴左侧，则，(为直线的倾斜角).【例8】若是抛物线上一点，且在轴上方，是抛物线的焦点，直线的倾斜角为60°，则=__________.【变式】过抛物线的焦点作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于两点(在轴左侧)，则__________.结论九、抛物线焦半径比例模型1.已知抛物线，经过其焦点的直线交抛物线于两点，直线的倾斜角为，，满足：或(其中)；2.已知抛物线，经过其焦点的直线交抛物线于两点，直线的倾斜角为，，满足：或(其中).【例9】已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，设，则与的比值等于__________.【变式】过抛物线的焦点作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于两点(在轴左侧)，__________.结论十、焦点弦长的倾斜角表示1.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则（为直线的倾斜角）；2.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则（为直线的倾斜角）.【例10】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则=__________.【变式】过抛物线的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则=__________.结论十一、焦点三角形面积已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则(为直线的倾斜角).【例11】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（）.A.B.C.D.【变式】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点(在第一象限)，为坐标原点，若的面积为，则的值为（）.A.B.C.D.结论十二、焦点弦与准线构造梯形面积已知是过抛物线的焦点的弦，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则四边形的面积为(为直线的倾斜角).【例12】已知过抛物线的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则四边的面积为（）.A.B.C.D.【变式】已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若，则四边的面积为__________.结论十三、焦半径倒数之和为定值已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则.【例13】过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则=__________.【变式】已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为_________.结论十四、抛物线的中点弦问题直线与抛物线相交于两点，若为的中点，则，；直线与抛物线相交于两点，若为的中点，则，.【例14】已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）.A.B.C.D.【变式】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点.若的中点为，则直线的方程为