2024年高考数学优等生培优第42讲 基本不等式-解析版98

第42讲基本不等式通关一、均值不等式的使用条件1.一正:函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用均值不等式,在同负时可以先进行转化,再运用均值不等式;实际过程中,两项全是负的其实也可以用均值,提出一个负号即可.所以说“一正”这个条件可以扩展为“同号”。2.二定:函数式中含变量的各项的和或积或平方和必须是定值;特殊情况下,至少要求各项的和、积、平方和是一个可化简的定式。3.三相等:只有具备了不等式中等号成立的条件,才能使函数式取到最大或最值,否则不能由均值不等式求最值,只能用函数的单调性求最值。通关二、已知,则其中称为平方平均数,称为算术平均数,称为几何平均数,称为调和平均数.【证明】因为,所以.因为,所以,当且仅当“”时等号成立.因为,所以,当且仅当“"时等号成立.因为,所以,当且仅当“"时等号成立.因为所以,当且仅当“”时,等号成立.结论一、常见基本不等式1.,当且仅当时取等号.2.,当且仅当时取等号.3.,当且仅当时取等号.4.,当且仅当时取等号,当且仅当时取等号.5.同号,当且仅当时取等号.【例1】,给出下列推导,其中正确的有_______________(1)的最小值为;(2)的最小值为4;(3)的最小值为.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为,所以(当且仅当时取等号.(2)因为,所以(当且仅当时取等号.(3)因为,所以(当且仅当即时取等号因为,与矛盾,所以上式不能取等号,即.【变式】已知且，则（）. A. B. C. D.【答案】ABD【解析】选项:,当且仅当时,等号成立,故选项正确;选项:,所以,故选项正确;选项:,当且仅当时,等号成立,故选项不正确选项:因为2,所以,当且仅当时,等号成立,故选项正确.故选.结论二、和定积最大，积定和最小1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a,b∈ℝ，且若a+b=M，M为定值,则，当且仅当时，等号成立；2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a,b∈ℝ，且ab=P，P为定值，则，当且仅当时，等号成立.【例2】已知.(1)若,求的最小值;(2)若，求ab的最大值.【答案】(1)4(2)4【解析】（1）解法一因为且,所以，即a+b≥4(当时取等号),所以的最小值为解法二因为且,所以,即当且仅当时取等号,所以的最小值为(2)解法一因为,所以,即当且仅当时取等号),所以的最大值为解法二因为,所以当且仅当时取等号,所以的最大值为解法三因为,所以当且仅当时取等号,所以的最大值为4.【变式】已知,则的最大值为【答案】16【解析】解法一因为,所以(当且仅当即时,等号成立),故当时,的最大值为16.解法二因为,即,可得当且仅当时,等号成立),故当时,的最大值为16.结论三、已知,求的范围把整体代换,展开得:【例3】已知实数满足，且,则的最小值为______________ A.24 B.16 C.18 D.12【答案】【解析】,所以,当且仅当时,等号成立.故选A.【变式】设,若是与的等比中项,则的最小值为() A. B.4 C.1 D.【答案】B【解析】因为,所以,于是，当且仅当时成立，故选B.结论四、己知,求的范图把整体代换,展开得:【例4】已知,且,求的最小值.【解析】解法一因为,所以.因为,所以当且仅当,即时,等号成立又,所以.所以当时,取最小值16.解法二由,得.因为,所以.因为,所以,所以当且仅当,即时,等号成立,此时所以当时,取最小值16.【变式】若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是（） A. B. C. D.【答案】C【解析】因为正实数满足,所以,当且仅当时,即时取得最小值8.因为恒成立，所以，解得，故选C.结论五、柯西不等式若都是实数,则,当且仅当时,等号成立.【例5】设,且,则的最小值为_____________【答案】【解析】由柯西不等式得,当且仅当时,等号成立.所以,故的最小值为.【变式】已知关于的不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)求的最大值.【解析】(1)由,得,则,解得.(2)当且仅当,即时,等号成立,故=4.结论六、权方和不等式已知,则,当时,等号成立.【例6】已知,则的最小值为______________【