2024年高考数学优等生培优第12讲 幂的运算及幂函数与第13讲 分段函数-原卷版 55

第12讲幂的运算及幂函数通关一、五种常见幂函数的图像与性质知识通关通关二、幂函数的性质1.幕函数在上都有定义；2.幕函数的图像过定点；3.当时,幕函数的图像都过点和,且在上单调递增；4.当时,幕函数的图像都过点,且在上单调递减；5.幕函数在第四象限无图像.结论一、幂函数的图像特征1.当时,函数图像与坐标轴没有交点,类似于的图像,且在第一象限内,逆时针方向指数在增大;2.当时,函数图像倾向轴,类似于的图像;3.当时,函数图像倾向轴,类似于的图像，而且逆时针方向指数在增大，再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图像及性质.【例1】以下命题正确的是（）=1,2,3,4\*GB3,=1\*GB3①幂函数的图像都经过；=2\*GB3②幂函数的图像不可能出现在第四象限；=3\*GB3③当时，函数的图像是两条射线；=4\*GB3④若（）是奇函数，则在定义域内为减函数. A.=1\*GB3①=2\*GB3② B.=2\*GB3②=4\*GB3④ C.=2\*GB3②=3\*GB3③ D.=1\*GB3①=3\*GB3③【变式】如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图像,已知,相应曲线对应的值依次为（）. A. B. C. D.结论二、幂函数比较大小当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小；比较多个幂值的大小，一般也采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0，1,等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.【例2】已知且，则下列各式中一定成立的是（） A. B. C. D.【变式】当，下列不等式正确的是（） A. B. C. D.结论三、幂函数单调性若在上是增函数；若在上是减函数.【例3】幂函数在上是减函数，则实数m的值为（） A.2或1 B.1 C.2 D.2或1【变式】已知幂函数在上单调递增.(1)求实数m的值；(2)若，求实数k的取值范围.第13讲分段函数通关一、分段函数的含义所谓“分段函数”习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函教，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.通关二、分段函数求值与不等式1.根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式，若涉及复合函数值，从内到外逐步求值，注意相应自变量所在的区间；2.已知函数值求自变量(或参数)的值，通过分类讨论化为若干个方程组求解，要充分利用分段函数在各段上的值域，减少运算量；3.与分段函数有关的不等式问题，充分考虑分段函数的单调性，通过分类讨化为不等式组求解；4.已知分段函数的函数值求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的像，观察在相应区间上函数图像与相应直线交点的横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围.结论一、分段函数求值设分段函数已知，求：（1）判断的范围，即看，还是；（2）代入相应解析式求解.【例1】若函数，则（） A. B. C. D.【变式】已知，则（） A. B. C. D.结论二、分段函数求根设分段函数，已知，求：（1）当时，由，求出；验证是否属于若是则留下，反之则舍去；（2）当时，由，求出，验证是否属于，若是则留下，反之则舍去；（3）取以上两种情况并集，写出结论.【例2】已知，且，则=（） A. B.2 C.3 D.【变式】已知实数，函数，若，则的值为_________.结论三、解分段函数不等式或.【例3】设函数，则满足的的取值范围是（） A. B. C. D.【变式】已知则不等式的解集为（） A. B. C. D.结论四、分段函数的单调性1.分段函数为单调递增函数2.分段函数为单调递减函数【例4】已知是R上的减函数，那么的取值范围是（） A. B. C. D.【变式】已知函数，当时，，则的取值范围是（）结论五、分段函数的奇偶性1.判断函数的奇偶性可以利用特殊值，利用求参数的值，一般令a=1或a=2.2.若分段图像均易作出，可以利用图像法.对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶