新教材2023版高中数学第1章导数及其应用章末复习课学生用书湘教版选择性必修第二册

章末复习课知识网络·形成体系考点聚焦·分类突破考点一导数几何意义的应用1．导数几何意义的应用，主要考查切线方程及切点．(1)明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．(2)围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．2．通过对导数几何意义的考查，提升学生的数学运算、数学抽象核心素养．例1(1)函数f(x)＝2ex＋1x+1的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(A．x＋y＋3＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋3＝0D．x－y－3＝0(2)已知曲线y＝x＋4x(x<0)在点P处的切线与直线x－3y＋1＝0垂直，则点P的横坐标为(A．1B．－1C．2D．－2(3)已知直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2，3)，则b＝________．(4)曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a>0)的交点为P，过P点的曲线C的切线与x轴交于点Q(－a，0)，求a的值．考点二利用导数研究函数的单调性1．利用导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．2．通过对用导数研究函数的单调性的考查，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养．例2(1)函数f(x)＝x＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是(A．[1，＋∞)B．(－∞，0)∪C．(0，1]D．(－∞，0)∪(2)讨论函数f(x)＝exx-ax考点三利用导数研究函数的极值与最值1．利用导数研究函数的极值与最值，主要是以lnx，ex，－x3等线性函数(或复合函数)为载体，研究函数的极值与最值问题．2．通过对函数的极值与最值问题的考查，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养．例3(1)函数f(x)＝13x3＋ax2－2x＋1在x∈(1，3)内存在极值点，则(A．－76≤a≤12B．－76<C．a≤－12或a≥12D．a<12或(2)已知函数f(x)＝lnx－mx(m∈R)①当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；②若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值．考点四利用导数证明不等式1．对于某些不等式的证明，常常通过构造函数，利用导数的性质讨论函数的单调性进行证明．这种构造转换的过程与方法，体现了深刻的化归思想．2．通过对利用导数证明不等式的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．例4已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，12x2＋lnx<23x考点五利用导数解决优化问题1．利用导数解决实际问题中的最大、最小值问题，是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而也成为高考的又一新热点．2．通过对利用导数解决实际问题的考查，提升学生的数学建模、逻辑推理及数学运算核心素养．例5某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．章末复习课考点聚焦·分类突破例1解析：(1)∵f(x)＝2ex＋1x+1∴f(0)＝3，f′(x)＝2ex－1x+1∴f′(0)＝1，故所求的切线方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.(2)设f(x)＝x＋4x(x<0)，点P(x0，y0)则f′(x)＝1－4x由在点P处的切线与直线x－3y＋1＝0垂直可得f′(x0)＝－3，即1-4x又x0<0，∴x0＝－1.(3)设f(x)＝x3＋ax＋1，由题意知f(2)＝3，则a＝－3.f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝3×22－3＝9＝k，又点(2，3)在直线y＝9x＋b上，∴b＝3－9×2＝－15.(4)依题意y=x3-3x，x=a，解得P(a，y′＝3x2－3，所以过P点的曲线C的切线方程为y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．令y＝0得切线与x轴的交点为(2a33则有2a33a2-3＝－由已知，a>0，所以a的值为155答案：(1)C(2)B(3)－15(4)见解析例2解析：(1)因为函数f(x)＝x＋1ax所以f′(x)＝1－1ax因为函数f(x)＝x＋1ax在(－∞，－1)所以f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x2在(－∞，－1)则1a≤1，解得a≥1或a<0所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(2)f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ex·x当a≤0时，令f′(x)＝0，得x＝1，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝lna.所以：当0<a≤1时，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1<a<e时，当lna<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当0<x<lna或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a＝e时，f′(x)>0在定义域上恒成立，f(x)单调递增；当a>e时，当1<x<lna时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当0<x<1或x>lna时，f′(x)>0，f(x)单调递增；综上：当a≤1时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；当1<a<e时，f(x)的单调递增区间为(0，lna)，(1，＋∞)，单调递减区间为(lna，1)；当a＝e时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>e时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，(lna，＋∞)；单调递减区间为(1，lna)．答案：(1)D(2)见解析例3解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax－2，Δ＝4a2＋8>0，令f′(x)＝x2＋2ax－2＝0，由于x∈(1，3)，所以2a＝2-x2x＝2x－x，y＝2x－x在(1，3)上递减，当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝－73.由于函数f(x)＝13x3＋ax2－2x＋1在x∈(1，3)内存在极值点，所以－73<2a(2)①当m＝－2时，f(x)＝lnx＋2x(x>0)则f′(x)＝x-当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)＝ln2＋1，无极大值．②f′(x)＝x+mxa．当m≥－1时，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去．b．当－e<m<－1时，x∈(1，－m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(－m，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不满足－e<m<－1，故舍去．c．当m≤－e时，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝1－me＝4解得m＝－3e，满足m≤－e.综上m＝－3e.答案：(1)B(2)见解析例4解析：(1)f′(x)＝x－ax＝x2-ax，f(x)的定义域为当a≤0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a>0时，令f′(x)>0，又x∈(0，＋∞)，得x>a，令f′(x)<0，结合x∈(0，＋∞)，得0<x<a，∴函数f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，单调减区间为(0，a)．(2)证明：设F(x)＝23x3－(12x2＋lnx故F′(x)＝2x2－x－1x＝x而2x2＋x＋1＝2(x＋14)2＋78∴当x>1时，F′(x)>0，∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数，且F(1)＝16∴F(x)>16在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x∴当x>1时，12x2＋lnx<23x例5解析：(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，又200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3因为r>0，又由h>0可得r<53，故函数V(r)的定义域为(0，5