5.3　平行线的性质 课件 2023-2024学年人教版数学七年级下册

人教版数学七年级下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.1平行线的性质导入新课回顾窗户内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1，∠2有什么数量关系？利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？探究新知知识点平行线两条平行线被第三条直线截得的同位角具有怎样的数量关系？

思考

如图，已知直线a∥b

，c是截线.bac12345678角∠1∠2∠3∠4度数角∠5∠6∠7∠8度数100°80°100°80°100°80°100°80°探究∠1，∠2，···，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？由此猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？相等bac12345678再任意画一条截线d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？bac12345678d成立性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.思考如图，直线a∥b

，c

是截线，那么

1与

2相等吗？为什么？根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠2=∠3.而∠3与∠1互为对顶角，所以∠3=∠1.所以∠1=∠2.bac321性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.类似地，知识归纳平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补．例题与练习例1

如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？解：因为梯形上、下两底AB∥CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补．于是∠D=180°－∠A

=180°－100º=80°，

∠C=180°－∠B=180°－115°=65°．所以，梯形的另外两个角分别是80°，65°．例2

如图，已知DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度数．解：∵FG∥EC，∴∠CAG＝∠ACE＝36°，∴∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°.∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝48°.∵DB∥FG，∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.例3如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，那么MP∥NQ，为什么？解：∵AB∥CD，∴∠EMA＝∠MNC.∵MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，∴∠EMP＝∠EMA，∠MNQ＝∠MNC，∴∠EMP＝∠MNQ，∴MP∥NQ.例题与练习练习1.如图，直线a∥b，∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？解：∵a∥b，∠1=54°，∴∠4=∠1=54°（两直线平行，同位角相等）.∠3=180°－∠4=180°－54°=126°，∠2与∠1是对顶角，∴∠2=∠1=54°.2.如图，在△ABC

中，D

是AB

上一点，E

是AC

上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.（1）DE

与BC

平行吗？为什么？（2）∠C

是多少度？为什么？解：（1）∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）（2）∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=40°（两直线平行，同位角相等）3．下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是()B4．如图，若∠1＋∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝_______．110°5．如图，CD⊥AB于点D，E是BC上一点，EF⊥AB于点F，∠1＝∠2，试说明∠AGD＝∠ACB的理由．解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠EFB＝∠CDB＝90°，∴CD∥EF，∴∠1＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB.课堂小结图形已知结果理由a∥b∠1=∠3∠2=∠4a∥b两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同位角相等a∥b两直线平行，内错角相等∠2+∠3=180°bac1234人教版数学七年级下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.2命题、定理、证明导入新课图形已知结果理由a∥b∠1=∠3∠2=∠4a∥b两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同位角相等a∥b两直线平行，内错角相等∠2+∠3=180°bac1234回顾平行线的判定和性质2．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是()思考完成并交流展示．A．当∠1＝∠2时，一定有a∥bB．当a∥b时，一定有∠1＝∠2C．当a∥b时，一定有∠2－∠1＝90°D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥bD探究新知知识点命题（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.思考（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.（3）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余.（4）等式两边都加同一个数，

结果仍是等式.（5）两点之间，线段最短.下列各组命题是由几部分组成的？命题的结构命题由题设和结论两部分组成.许多数学命题常可以写成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面连接的部分是题设，“那么”后面连接的部分是结论．已知事项由已知事项推出的事项上面练习题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．√××√√思考命题的真假真命题：假命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．练习1.指出下列命题的题设和结论：（1）如果AB⊥CD

，垂足为O

，那么∠AOC=90°.题设：如果AB⊥CD

，垂足为O

，结论：∠AOC=90°.（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.题设：如果∠1=∠2，∠2=∠3，结论：∠1=∠3.题设：如果两条直线平行，结论：同位角相等.（3）两直线平行，同位角相等.2.判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（3）如果|a|=|b|，那么a=b

；（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（5）两点确定一条直线．真命题假命题假命题真命题真命题知识点定理与证明上面练习第2题中的（1）（4）（5）它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）．定理也可以作为继续推理的依据．在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.命题1在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．请判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．命题2相等的角是对顶角．题设：命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？结论：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．（2）命题1是真命题还是假命题？真命题命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．（3）你能画出图形，写出已知、求证并证明它是真命题吗？已知：b∥c，

a⊥b．求证：a⊥c．bca证明：∵

a⊥b（已知），∴∠1=90º（垂直的定义）.又∵

b∥c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=∠1=90º（等量代换）.

∴

a⊥c（垂直的定义）.1b2ca例

如图，已知：直线b∥c，a⊥b.求证：a⊥c.归纳证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定理等.题设：（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？命题2：相等的角是对顶角．（2）判断这个命题的真假.假命题结论：两个角相等.这两个角互为对顶角.你能否举例说明“相等的角是对顶角”是假命题？如图，OC是∠AOB

的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.知识归纳1．命题的定义及构成：表示判断性的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；命题通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论；有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……那么……”的形式．命题的真假命题分为真命题和假命题，如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．定理及证明定理是经过推理证实的真命题，是在今后推理中经常作为依据的一种真命题．但不是所有经过推理证实的真命题都把它当作定理；在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程就叫证明．例题与练习例指出下列命题的题设和结论：①如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0；②两直线平行，内错角相等；③等式的两边同乘以一个数，结果仍是等式；④绝对值相等的两个数相等；⑤如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC＝90°.解：①题设：两个数互为相反数；结论：这两个数的和为0；②题设：两直线平行；结论：内错角相等；③题设：等式两边同乘以一个数；结论：结果仍是等式；④题设：两个数的绝对值相等；结论：这两个数相等；⑤题设：AB⊥CD，垂足是O；结论：∠AOC＝90°.例判断下列命题是真命题还是假命题．(1)若a>b，则a2>b2；(2)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(3)两点之间，线段最短；(4)任意两个直角都相等．解：(1)(2)是假命题，(3)(4)是真命题．2．判断一个命题的真假，只要举出一个______，它符合命题的______，但不满足结论就可以了．