2018高考题及高考模拟考试题数学文-专题04数列和不等式分类汇编解析版

./4．数列与不等式1．[2018年XX卷]已知a1,a2,aA.a1<a3,a[答案]B点睛：构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如x≥lnx+1,2．[2018年文北京卷]]"十二平均律"是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率f,则第八个单音频率为A.32fB.322[答案]D[解析]分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122,所以an=122an-1(n≥2,n∈N点睛：此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：〔1定义法,若an+1an=q〔q≠0,n∈N*或anan-1=q〔q≠0,n≥2,n∈N*,数列{an}是等比数列；〔2等比中项公式法,若数列{an3．[2018年XX卷]已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记[答案]2722k-2+2k+1-2>12(2k+1),(2k-1)2-20(2得满足条件的n最小值为27.点睛：本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型〔如an=n,n为奇数24．[2018年XX卷]已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1,数列{〔bn+1−bnan}的前n项和为2n2+n．〔Ⅰ求q的值；〔Ⅱ求数列{bn}的通项公式．[答案]〔Ⅰq=2〔Ⅱb〔Ⅱ设cn=(bn+1-bn)an,数列{c由〔Ⅰ可知an=2n-1,所以bbn-b1=(b所以12Tn=3+4⋅又b1=1,所以点睛：用错位相减法求和应注意的问题：<1>要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；<2>在写出"Sn"与"qSn"的表达式时应特别注意将两式"错项对齐"以便下一步准确写出"Sn-qSn"的表达式；5．[2018年天津卷文]设{an}是等差数列,其前n项和为Sn〔n∈N*；{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn〔n∈N*．已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6．〔Ⅰ求Sn和Tn；〔Ⅱ若Sn+〔T1+T2+…+Tn=an+4bn,求正整数n的值．[答案]<Ⅰ>Sn=n(n+1)2,T详解：〔I设等比数列{bn}的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0．因为q>0,可得q=2,故bn=2n-1．所以,Tn=1-2n1-2=2n-1．设等差数列{an}的公差为〔II由〔I,有T由Sn+(T1+T2+⋯+Tn)=an+4点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.学*科..网6．[2018年文北京卷]设{an}〔Ⅰ求{a〔Ⅱ求ea[答案]〔Inln2〔[解析]分析：〔1设公差为d,根据题意可列关于a1,d的方程组,求解a1,d,代入通项公式可得；〔2由〔1详解：〔I设等差数列{an}的公差为d,∵a2+a3=5ln2∴an〔II由〔I知an=nln2,∵ean=enln2∴ea1+∴ea点睛：等差数列的通项公式及前n项和共涉及五个基本量a1,a7．[2018年XX卷]设n∈N*,对1,2,···,n的一个排列i1i2⋯in,如果当s<t时,有is>it,则称(is,it)是排列i1i〔1求f3〔2求fn(2)(n≥5)的表达式<用n表示[答案]〔1252n≥5时,fn详解：解：〔1记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0 ，  τ(132)=1 ，  τ(213)=1 ，  τ(231)=2 ，  τ(312)=〔2对一般的n〔n≥4的情形,逆序数为0的排列只有一个：12…n,所以fn逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此,当n≥5时,f=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22,点睛：探求数列通项公式的方法有观察<观察规律>、比较<比较已知数列>、归纳、转化<转化为特殊数列>、联想<联想常见的数列>等方法.寻求相邻项之间的递推关系,是求数列通项公式的一个有效的方法.8．[2018年XX卷]设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b〔1设a1=0,b1=1,q=2,若|〔2若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m2][答案]〔1d的取值范围为[73,52]．〔2详解：解：〔1由条件知：an=(n-1)d,bn=2n-1．因为|an-b即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立,即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9因此,d的取值范围为[7〔2由条件知：an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1．若存在d,使得|an-bn|≤b1〔n=2,3,···,m+1成立,即|b1+(n-1)d-b1qn-1下面讨论数列{qn-1-2n-1}②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f'(x)=(从而f(x)<f〔0=1．当2≤n≤m时,qnnqn-1n-1=q(n-1)n≤21n(1-1n点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.学@科3网9．[2018年新课标I卷文]已知数列an满足a1=1,n〔1求b1〔2判断数列bn〔3求an[答案]<1>b1=1,b2=2,b3=4．<2>{bn}是首项为1,公比为2的等比数列．理由见解析.<3>an=n·2n-1．[解析]分析：<1>根据题中条件所给的数列an的递推公式nan+1=2n+1an,将其化为an+1=2(n+1)nan,分别令n=1和n=2,代入上式求得a2=4和a3=12,再利用bn=ann〔2{bn}是首项为1,公比为2的等比数列．由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{b〔3由〔2可得ann=2n-1,所以an=n点睛：该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项,根据不同数列的项之间的关系,确定新数列的项,利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列,根据等比数列通项公式求得数列bn的通项公式,借助于bn的通项公式求得数列a10．[2018年全国卷Ⅲ文]等比数列an中,a〔1求an〔2记Sn为an的前n项和．若Sm[答案]〔1an=(-2)n-1或[解析]分析：〔1列出方程,解出q可得；〔2求出前n项和,解方程可得m。详解：〔1设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1．由已知得q4=4故an=(-2)〔2若an=(-2)n-1,则Sn=若an=2n-1,则Sn=2n-1．由Sm点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式,属于基础题。11．[2018年天津卷文]设变量x,y满足约束条件x+y≤5,2x-y≤4,-x+y≤1,y≥0,A.6B.19C.21D.45[答案]Czmax=3x+5y=3×2+5×3=21.本题选择C选项点睛：求线性目标函数z＝ax＋by<ab≠0>的最值,当b＞0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小；当b＜0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.12．[2018年文北京卷]设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,〔2,1∉AC.当且仅当a<0时,〔2,1∉AD.当且仅当a≤32时,〔2,1[答案]D点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用,集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法,根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A⊆B,则p⇒q；若A=B,则p=q,当一个问题从正面思考很难入手时,可以考虑其逆否命题形式.13．[2018年XX卷]若x,y满足约束条件x-y≥0,2x+y≤6,x+y≥2,则z=x+3y的最小值是___________,最大值是[答案]-28[解析]分析:先作可行域,再平移目标函数对应的直线,从而确定最值.详解：作可行域,如图中阴影部分所示,则直线z=x+3y过点A<2,2>时z取最大值8,过点B<4,-2>时z取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化,即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.学&科5网14．[2018年天津卷文]已知a , b∈R,且a-3b+6=0,[答案]1点睛：在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是"一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得",若忽略了某个条件,就会出现错误．15．[2018年文北京卷]若𝑥,y满足x+1≤y≤2x,则2y−𝑥的最小值是_________.[答案]3[解析]分析：将原不等式转化为不等式组,画出可行域,分析目标函数z=2y-x的几何意义,可知当x=1,y=2时取得最小值.详解：不等式可转化为y≥x+1  y≤2x     x+1≤2x,即y≥x+1y≤2x令2y-x=z,y=12x+12z,由图象可知,当2y-x=z过点∴2y-x的最小值为3.点睛：此题考查线性规划,求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴上截距最小时,z值最小；当b<0时,直线过可行域在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.16．[2018年XX卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________．[答案]9为9.点睛：在利用基本不等式求最值时,要特别注意"拆、拼、凑"等技巧,使其满足基本不等式中"正"<即条件要求中字母为正数>、"定"<不等式的另一边必须为定值>、"等"<等号取得的条件>的条件才能应用,否则会出现错误.17．[2018年全国卷Ⅲ文]若变量x ，  y满足约束条件2x+y+3≥0 [答案]3[解析]分析：作出可行域,平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点〔2,3处取得最大值3点睛：本题考查线性规划的简单应用,属于基础题。18．[2018年全国卷II文]若x, y满足约束条件x+2y-5≥0,x-2y+3≥0,x-5≤0,则[答案]9点睛：线性规划问题是高考中常考考点,主要以选择及填空的形式出现,基本题型为给出约束条件求目标函数的最值,主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.优质模拟试题19．[XX省XX市2018届三模]记数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1A.3(21009-1)B.32[答案]A点睛：本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式,属中档题.20．[XX省2018届冲刺演练〔一]设x,y满足约束条件y≤ax+y≥12x-y≤0,若z=x+y的最大值为6,则A.23B.2C.4D.[答案]C[解析]分析：作出题中不等式组表示的平面区域,利用z=x+y的最大值为7,推出直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点,得到a,利用所求的表达式的几何意义,可得则yx+a的最大值．详解：作出x,y满足约束条件&y≤a&x+y≥1&2x-y≤0表示的平面区域,由&y=a&2x-y=0解得A〔a2,a,直线z=x+y,经过交点A时,目标函数取得最大值6,可得a2+a=6,解得a=4．则yx+a=y点睛：本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.21．[XX省XX市2018届适应性练习〔二]设x,y满足约束条件x-1≥0x-2y≤02x+y≤4,向量a=(2x,1),b=(1,m-y),则满足A.125B.-125C.[答案]B解得A(85,45),的实数m点睛：本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有：①直线型,转化成斜截式比较截距,要注意z前面的系数为负时,截距越大,z值越小；②分式型,其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型,其几何意义是距离,尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型,转化后其几何意义是点到直线的距离.22．[天津市河东区2018届二模]已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,A.2B.34C.38[答案]C点睛：〔1本题主要考查基本不等式和二次函数的图像性质,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.<2>解答本题的关键是观察分析已知联想到消元,先得到c=a2﹣ab+4b2,代入cab消去c.转化的思想是高中数学中最普遍的数学思想,利用它可以把复杂变简单,把陌生变熟悉,从而突破解题障碍,完成解题目标.学%科8网23．[XX省XX市2018届三模]已知m,n是两个非零向量,且m=1,m+2[答案]10详解：根据题意,设设n=t,则t＞0,若m+2n=3,则m+2n2=9⇒（m+2n）2=m2+4点睛：本题考查向量数量积的计算以及基本不等式的应用,解题的关键是构造关于n的模t的函数．24．[XX省示范高中〔皖江八校2018届第八联考]设Sn为数列an的前n项和,已知a1=2,对任意p⋅q∈N+,都有[答案]30[解析]分析：当q=1时,ap+1=ap⋅a1=2ap,∴数列{an}fn点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用基本不等式求函数的最值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．25．[XX省威海市2018届二模]．在数列{an}中,an=2n-1A.216-10B.216+10[答案]C[解析]分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=〔2i﹣1〔2j﹣1+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1〔i=1,2,…,7；j=1,2,…,8,根据等比数列的求和公式即可求出．详解：该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=〔2i﹣1〔2j﹣1+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1〔i=1,2,…,7；j=1,2,…,8,其数据如下表所示：i,j12345678122﹣123﹣124﹣125﹣126﹣127﹣122223﹣124﹣125﹣126﹣127﹣128﹣122324﹣125﹣126﹣127﹣128﹣129﹣122425﹣126﹣127﹣128﹣129﹣1210﹣122526﹣127﹣128﹣129﹣1210﹣1211﹣122627﹣128﹣129﹣1210﹣1211﹣1222728﹣129﹣1210﹣1211﹣12222由表可知,该数表中所有不相等元素之和为22﹣1+23﹣1+⋯+215-1=4(1-214)1-2-14=2点睛：<1>本题主要考查等比数列求和,意在考查学生对这些知识的掌握能力.<2>解答本题时,要注意审题,本题求的是"所有不相等元素的和".26．[XX省XX市2018届三模]已知数列an满足a1=1,a2=3,an-[答案]-1005[解析]分析：先判断a2n+1-a2n>0n≥1,a2n+2点睛：本题主要考查等差数列的定义以及已知数列的递推公式求通项,属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：〔1等差数列、等比数列〔先根据条件判定出数列是等差、等比数列；〔2累加法,相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；〔3累乘法,相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；〔4构造法,形如an=qan-1+p(p≠0,q≠1)的递推数列求通项往往用构造法,即将an=qan-127．[XX省XX2018届二模]已知x表示不超过x的最大整数,例如:2.3=2,-1.5=-2.在数列an中,an=1gn,n∈N+,记S[答案]4947点睛：〔1本题主要考查数列的求和,考查学生接受新定义运用新定义处理问题的能力,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和应用能力