（普通班）高三数学一轮复习 第十二篇 复数、算法、推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理基础对点练 理-人教版高三全册数学试题

第3节合情推理与演绎推理【选题明细表】知识点、方法题号归纳推理3,7,8,10,11,13,15类比推理2,4,6,9,14演绎推理1,5,12基础对点练(时间:30分钟)1.(2016烟台模拟)命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是(C)(A)使用了归纳推理(B)使用了类比推理(C)使用了“三段论”,但大前提错误(D)使用了“三段论”,但小前提错误解析:由题目可知满足“三段论”形式,但是大前提表述不正确而使结论错误.2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b2=c+d2⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是(C)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2016长沙校级二模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,…,以此类推,第5个等式为(D)(A)24×1×3×5×7=5×6×7×8(B)25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9(C)24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10(D)25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10解析:因为21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,…,所以第5个等式为25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10.故选D.4.(2016济南一模)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论(D)①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行,正确.②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能是相交直线、异面直线,故不正确.③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能是相交平面,如墙角,故不正确.④垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确.5.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h00⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为111,则传输信息为01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是(C)(A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)00011解析:对于选项C,传输信息是10111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是10110.故选C.6.已知等差数列{an}中,有a11+a12+…+a解析:由等比数列的性质可知b1b30=b2b29=…=b11b20,所以10b11b答案:10b117.(2016渭南模拟)观察下列不等式:①12<1;②12+16<2;③12+16+112<3解析:由①12②12+16<③12+16+112归纳可知第4个不等式应为12+16+112第5个不等式应为12+16+112+120+答案:12+16+112+1208.在平面内有n(n∈N*,n≥3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域,则f(5)的值是,f(n)的表达式是.

解析:由题意知,n条直线将平面分成n(f(n)=n2答案:16f(n)=n9.在圆中有结论:如图所示,“AB是圆O的直径,直线AC,BD分别是圆O过A,B的切线,P是圆O上任意一点,CD是过P的切线,则有PO2=PC·PD”.类比到椭圆:“AB是椭圆的长轴,直线AC,BD分别是椭圆过A,B的切线,P是椭圆上任意一点,CD是过P的切线,则有.”

解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径.答案:PF1·PF2=PC·PD10.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择②式,sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-QUOTE12sin30°=QUOTE34.(2)推广的三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=QUOTE34.证明:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)=QUOTE12-QUOTE12cos2α+QUOTE12+QUOTE12(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-32sinαcosα-QUOTE12sin2α=1-QUOTE12cos2α+QUOTE14cos2α+34sin2α-34sin2α-QUOTE14(1-cos2α)=1-QUOTE14cos2α-QUOTE14+QUOTE14cos2α=QUOTE34.能力提升练(时间:15分钟)11.从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为(C)(A)2097 (B)1553 (C)1517 (D)2111解析:根据如题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=1517,得a=157,是自然数.且a为表中第20行第5个数,符合,若9a+104=2097,a≈221.4不合题意;若9a+104=1553,a=161,a为表中第21行第一个数不合题意;若9a+104=2111,a=223,a为表中第28行第7个数,不合题意.12.设f为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述:f(x)-20=01f(x)+10=01f(x)-10=03f(x)+20=01f(x)=03关于f的极小值α,试问下列选项中正确的是(C)(A)0<α<10 (B)-20<α<-10(C)-10<α<0 (D)α不存在解析:f(x)分别向上向下平移10个单位和20个单位分别得到f(x)+10,f(x)+20,f(x)-10,f(x)-20,由题意可近似画出f(x)的草图,由图可以看出f(x)极小值α∈(-10,0).13.从装有(n+1)个球(其中n个白球,1个黑球)的口袋中取出m个球(0<m≤n,m,n∈N),共有Cn+1m种取法.在这Cn+1m种取法中,可以分成两类:一类是取出的m个球全部为白球,另一类是取出(m-1)个白球,1个黑球,有C10·Cnm+C11·Cnm-1=Cn+1m,即有等式:Cnm+Cnm-1=Cn+1m解析:在Ck0·Cnm+Ck1·Cnm-1+从第一项到最后一项分别表示:从装有n个白球,k个黑球的袋子里,取出m个球的所有情况取法总数的和,故答案应为从装有(n+k)个球的袋子中取出m个球的不同取法数为Cn答案:C14.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证:1AD2=1证明:如图所示,由射影定理AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC,所以1AD2=1BD·又BC2=AB2+AC2,所以1AD2=AB2猜想,在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,则1AE2=1AB证明:如图,连接BE并延长交CD于F,连接AF.因为AB⊥AC,AB⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD.所以AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,所以1AE2=1因为AB⊥平面ACD,所以AB⊥CD;因为AE⊥平面BCD,所以AE⊥CD,又AB与AE交于点A,所以CD⊥平面ABF,所以CD⊥AF.所以在Rt△ACD中1AF2=1所以1AE2=1AB15.(2016聊城模拟)下面四个图案,都是由小正三角形构成,设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5);(2)找出f(n)与f(n+1)的关系,并求出f(n)的表达式.解:(1)由题意有f(1)=3,f(2)=f(1)+3+3×2=12.f(3)=f(2)+3+3×4=27.f(4)=f(3)+3+3×6=48.f(5)=f(4)+3+3×8=75.(2)由题意及(1)知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3,即f(n+1)-f(n)=6n+3,所以f(2)-f(1)=6×1+3,f(3)-f(2)=6×2+3,f(4)-f(3)=6×3+3,f(n)-f(n-1)=6(n-1)+3,将上面(n-1)个式子相加,得f(n)-f(1)=6[1+2+3+…+(n-1)]+3(n-1)=6×(1+n-又f(1)=3,所以f(n)=3n2.精彩5分钟1.(2016安阳模拟)我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32(A)63a (B)64a (C)33解题关键:在正四面体内任取一点,将四面体分割成四个三棱锥.解析:正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥,它们的体积之和为正四面体的体积,设点到四个面的距离分别为h1,h2,h3,h4,每个面的面积为34a2,正四面体的体积为212a则有QUOTE13×34a2(h1+h2+h3+h4)=212a3,得h1+h2+h3+h4=632.(2016揭阳模拟)对任意的a,b∈R,定义:min{a,b}=amax{a,b}=a,(①min{a,b}+max{a,b}=a+b;②min{a,b}-max{a,b}=a-b;③(min{a,b})·(max{a,b})=a·b;④(min{a,b})÷(max{a,b})=a÷b.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解题关键:按照新定义对各式是否恒成立作出判断.解析:因为对任意的a,b∈R,定义:min{a,b}=amax{a,b}=a所以min{a,b}取a,b中的最小值,max{a,b}取a,b中的最大值.所以min{a,b},max{a,b}分别取出a,b中的一个最大值与一个最小值,所以min{a,b}+max{a,b}=a+b,(min{a,b})·(max{a,b})=a·b,故①③成立;若a≤b,则有min{a,b}-max{a,b}=a-b,若a>b,则min{a,b}-max{a,b}=b-a≠a-b,故②不一定成立;若a≤b,且b≠0,则有(min{a,b})÷(max{a,b})=a÷b,若a>b,且a≠0,(min{a,b})÷(max{a,b})=b÷a≠a÷b.故④不一定成立.故选B.3.(2016铜川模拟)观察以下等式:1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=1513=1

13+23=9

13+23+