第14讲 拓展二：三角函数中参数ω的取值范围问题（解析版）

第14讲拓展二：三角函数中参数的取值范围问题题型01的取值范围与单调性相结合【典例1】（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，得.由可得，.因为，所以，所以；又，所以，所以.所以，，此时有.故选：B.【典例2】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】已知，令，解得则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.【典例3】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数在上单调递增，则取值范围是.【答案】【详解】令，解得，所以的单调递增区间为，因为在上单调递增，所以，解得，所以.故答案为：【变式1】（2023上·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，因为在上单调递增，所以，解得.当时，，因为，所以.因为在上单调递减，所以且，解得，又，所以的取值范围是.故选：A【变式2】（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数满足，且在上单调，则的最大值为．【答案】3【详解】由题可得，由，且在上单调，得的图像关于点中心对称，因为直线与直线关于直线对称，结合的图像对称性，所以在上单调，得，又，所以，故的最大值为3．故答案为：3.【变式3】（2023下·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】【详解】由题意有,可得,又由，在上为减函数，故必有,可得.故实数的取值范围为.故答案为：题型02的取值范围与对称性相结合【典例1】（2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，则，若函数的图象关于直线对称，则，解得.故选：C.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是单调函数，其图像的一条对称轴方程为，则的值不可以是（

）A． B．C．1 D．【答案】B【详解】由，得，由题意得，所以，所以，1，.故选：B.【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】因为，为图象的对称轴，所以，即，所以，即为正奇数.因为在上单调，则，即，解得：.观察选项，小于等于且为正奇数的有：，当时，,因为，所以，此时.当时，，此时在单调递减，符合题意；故的最大值为9.故选：C.题型03的取值范围与三角函数的最值相结合【典例1】（2023上·上海浦东新·高三校考期中）奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为为奇函数，所以，即，所以，当时，则，所以，解得，故选：C.【典例2】（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）设函数在上恰有2个零点，且的图象在上恰有2个最高点，则的取值范围是.【答案】【详解】因为，则，而函数在上恰有2个零点，且的图象在上恰有2个最高点，因此，即，当时，不符合题意，当时，不等式组为，不等式组无解，当时，不等式组为，解得，当时，不等式组无解，所以的取值范围是.故答案为：【变式1】（2023下·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知，且在区间上有最大值，无最小值，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以函数的图象关于对称，且在区间上有最大值，无最小值，所以，所以，所以，当时，，当时，，此时在区间内已存在最小值;当时，，此时在区间内已存在最小值．故选：A．【变式2】（2023下·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是【答案】【详解】由，可得，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，由，得，因为函数在区间上恰好取得一次最大值，所以，解得，综上的取值范围是.故答案为：.题型04的取值范围与三角函数的零点相结合【典例1】（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数在上没有零点，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在上没有零点，所以，即，所以，解得，由，则，所以，解得，综上可得，所以的最大值为.故选：B【典例2】（2023上·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，由，得，因为，，所以，依题意可得，，解得．故选：D．【典例3】（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）已知函数（）在区间有且仅有3个零点，则的取值范围为．【答案】【详解】因为（），令，则，因为，，令得：，由题意可知函数在区间上有且仅有3个零点，所以，所以．故答案为：【变式1】（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（

）A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]【答案】B【详解】由得，，所以，即，，因为，，，因为在上恰有1个零点，所以①，无解，②，解得，综上，实数ω的取值范围为，故选：B.【变式2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数在区间内没有零点，则的最大值是．【答案】【详解】解：因为，且，所以，因为函数在区间内没有零点，所以，解得且，故，解得，因为，故