江苏省苏州市张家港市梁丰中学2024届数学八年级第二学期期末质量检测模拟试题含解析

江苏省苏州市张家港市梁丰中学2024届数学八年级第二学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是()A．测量对角线是否平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量其中三个角是否是直角 D．测量对角线是否相等2．如图，已知一次函数y=ax+b的图象为直线，则关于x的方程ax+b=1的解x的值为（）A．1 B．4 C．2 D．-0.53．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（）A．12 B．16 C．19 D．254．如图，空地上（空地足够大）有一段长为的旧墙，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长，矩形菜园的面积为.若设，则可列方程（）A． B．C． D．5．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，作BF⊥AM于点F，连接BE.若AF=1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（）A．2 B．3 C． D．6．如图，，，点在边上（与、不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，对于下列结论：①；②四边形是矩形；③.其中正确的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③7．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）A．（）2013 B．（）2014 C．（）2013 D．（）20148．用配方法解方程x2-8x+9=0时，原方程可变形为（）A．（x-4）2=9 B．（x-4）2=7 C．（x-4）2=-9 D．（x-4）2=-79．点3,-4到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．-410．下列命题中，正确的是（）A．矩形的邻边不能相等 B．菱形的对角线不能相等C．矩形的对角线不能相互垂直 D．平行四边形的对角线可以互相垂直二、填空题(每小题3分,共24分)11．使在实数范围有意义，则x的取值范围是_________．12．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_________．13．对甲、乙两台机床生产的同一种零件进行抽样检测（抽查的零件个数相同），其平均数、方差的计算结果是：机床甲：，；机床乙：，．由此可知：____（填甲或乙）机床性能较好．14．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是______．15．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．16．两个相似三角形的周长分别为8和6，若一个三角形的面积为36，则另一个三角形的面积为________.17．如图，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，若DE刚好平分∠ADB，且AE＝a，则BC＝_____．18．如图，在ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=52°，则∠B的度数是________.三、解答题(共66分)19．（10分）荔枝上市后,某水果店的老板用500元购进第一批荔枝,销售完后,又用800元购进第二批荔枝,所购件数是第一批购进件数的2倍,但每件进价比第一批进价少5元．(1)求第一批荔枝每件的进价；(2)若第二批荔枝以30元/件的价格销售,在售出所购件数的后,为了尽快售完,决定降价销售,要使第二批荔枝的销售利润不少于300元,剩余的荔枝每件售价至少多少元？20．（6分）计算：（1）（2）（+3）（﹣2）21．（6分）请阅读材料，并完成相应的任务．阿波罗尼奥斯（约公元前262~190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，可以说是代表了希腊几何的最高水平．阿波罗尼奧斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线的长度关系，即三角形任意两边的平方和等于第三边的一半与该边中线的平方和的2倍．（1）下面是该结论的部分证明过程，请在框内将其补充完整；已知：如图1所示，在锐角中，为中线．．求证：证明：过点作于点为中线设，，，在中，在中，__________在中，____________________（2）请直接利用阿波罗尼奧斯定理解决下面问题：如图2，已知点为矩形内任一点，求证：（提示：连接、交于点，连接）22．（8分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）如果BC=，AC=3，求CD的长．23．（8分）因式分解：．24．（8分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．26．（10分）节约用水和合理开发利用水资源是每个公民应尽的责任和义务，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段引导市民节约用水．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过6m3时，按a元/m3收费；超过6m3时，超过的部分按b元/m3收费．该市某户居民今年2月份的用水量为9m3，缴纳水费27元；3月份的用水量为11m3，缴纳水费37元．(1)求a、b的值．(2)若该市某户居民今年4月份的用水量为13.5m3，则应缴纳水费多少元？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解题分析】分析：根据矩形的判定方法逐项分析即可.详解：A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；C、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；D、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选C．点睛：本题考查了矩形的判定方法的实际应用，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键.矩形的判定方法有：①有一个角的直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形.2、B【解题分析】

根据一次函数图象可得一次函数y=ax+b的图象经过(4，1)点，进而得到方程的解．【题目详解】根据图象可得，一次函数y=ax+b的图象经过(4，1)点，因此关于x的方程ax+b=1的解x=4，故选B．【题目点拨】本题考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．3、C【解题分析】

根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【题目详解】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB==5，

∴正方形的面积=5×5=25，

∵△AEB的面积=AE×BE=×3×4=6，

∴阴影部分的面积=25-6=19，

故选：C．【题目点拨】本题考查了勾股定理，正方形的面积以及三角形的面积的求法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4、B【解题分析】

设，则，根据矩形面积公式列出方程．【题目详解】解：设，则，由题意，得．故选：．【题目点拨】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5、B【解题分析】

先证明ΔABF≌ΔDAE得到BF=AE，设BF=x，则AE=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积=得，解之即可求得BF的长.【题目详解】∵四边形ABCD是正方形，∴BA=AD，∠BAD=90º，∴∠DAE+∠BAF=90º，∵BF⊥AM，DE⊥AM，∴∠AFB=∠DEA=90º，∴∠ABF+∠BAF=90º，∴∠ABF=∠DAE，在ΔABF和ΔDAE中∴ΔABF≌ΔDAE(AAS)，∴BF=AE，DE=AF=1设BF=x，则AF=x，由四边形ABED的面积为6得：，即，解得：（舍去），∴BF=3，故选：B.【题目点拨】本题主要考查正方形的性质、三角形面积公式以及全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的知识是解答的关键.6、A【解题分析】

由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正确；由△AFG≌△DAC，推出四边形BCGF是矩形，②正确；由矩形的性质和相似三角形的判定定理证出△ACD∽△FEQ，③正确．【题目详解】解：①∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD+∠FAG＝90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠CAD＝∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC＝FG．故正确；②∵BC＝AC，∴FG＝BC，∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形．故正确；③∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ．故正确．综上所述，正确的结论是①②③．故选A．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．7、C【解题分析】

根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=()n−2”，依此规律即可得出结论．【题目详解】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S2=S2=1，S4=S2=，…，∴Sn=()n−2．当n=2016时，S2016=()2016−2=()2012．故选：C．【题目点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“Sn=()n−2”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．8、B【解题分析】

方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形得到结果，即可做出判断．【题目详解】方程x2-8x+9=0，变形得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即(x-4)2=7，故选B．【题目点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的一般步骤以及完全平方公式的结构特征是解本题的关键．9、A【解题分析】

根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．【题目详解】解：点的坐标（3，-4），它到y轴的距离为|3|=3，故选：A．【题目点拨】本题考查了点的坐标，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值．10、D【解题分析】

根据矩形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据平行四边形的性质对D进行判断．【题目详解】A、矩形的邻边能相等，若相等，则矩形变为正方形，故A错误；B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，故B错误；C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，故C错误；D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，故D正确．故选D．【题目点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题(每小题3分,共24分)11、x≥【解题分析】

根据:对于式子，a≥0,式子才有意义.【题目详解】若在实数范围内有意义，则3x-1≥0，解得x≥.故答案为x≥【题目点拨】本题考核知识点：二次根式的意义.解题关键点：理解二次根式的意义.12、【解题分析】

解：如图，延长CF交AB于点G，∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线．∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．故答案为：．13、甲【解题分析】试题解析：∵S2甲＜S2乙，∴甲机床的性能较好．点睛：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14、40°。【解题分析】解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP=AD，同理，FP=BC，∵AD=BC，∴PE=PF，∵∠FPE=100°，∴∠PFE=40°，故答案为：40°．点睛：本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．15、-2【解题分析】

由正比例函数的定义可得m2﹣2＝2，且m﹣2≠2．【题目详解】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠2，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．【题目点拨】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠2．16、64或【解题分析】

根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．【题目详解】解：∵两个相似三角形的周长分别为8和6，∴两个相似三角形的周长之比为4：3，∴两个相似三角形的相似比是4：3，∴两个相似三角形的面积比是16：9，又一个三角形的面积为36，设另一个的面积为S，则16：9=S：36或16：9=36：S，∴S=64或，故答案为：64或．【题目点拨】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．17、6a【解题分析】

根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，求得∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【题目详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∴∠CBD＝∠C，∴∠ABC＝2∠C，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADE＝30°，∵AE＝a，∴DE＝2a，∵∠EDB＝∠DBC，∠DBE＝∠EBD，∴BE＝DE＝2a，∴AB＝3a，∴BC＝2AB＝6a．故答案为：6a．【题目点拨】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边一半的性质是解题关键．18、76º【解题分析】

过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．【题目详解】过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG,即G是BC的中点；∵BC=2AB,F为AD的中点，∴BG=AB=FG=AF,连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，

则BG=GE=FG=BC；

∵AE∥FG，

∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=52°，

∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=104°，

∴∠B=∠BEG=180°-104°=76°．【题目点拨】考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．三、解答题(共66分)19、(1)第一批荔枝每件进价为25元；(2)剩余的荔枝每件售价至少25元.【解题分析】

（1）设第一批荔枝每件的进价为x元，则第二批荔枝每件的进价为（x-5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进荔枝的件数是第一批购进件数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据数量=总价÷单价可求出第二次购进荔枝的件数，设剩余的荔枝每件售价为y元，根据总利润=单件利润×销售数量结合第二批荔枝的销售利润不少于300元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【题目详解】解：(1)设第一批荔枝每件进价为元,则第二批荔枝每件进价为元,则有,解得：,经检验是原方程的根。所以,第一批荔枝每件进价为25元。(2)设剩余的荔枝每件售价元,第二批荔枝每件进价为20元,共40件,,解得：所以,剩余的荔枝每件售价至少25元.【题目点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用多项式乘法公式展开，然后合并即可．【题目详解】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝5﹣2+3﹣6＝﹣1．【题目点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21、（1），，；（2）见解析【解题分析】

（1）利用勾股定理即可写出答案；（2）连接、交于点，根据矩形的性质能证明O是AC、BD的中点，在和中利用阿波罗尼奥斯定理可以证明结论.【题目详解】（1）在中，在中，∴故答案是：；；；（2）证明：连接、交于点，连接∵四边形为矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，由阿波罗尼奥斯定理得.【题目点拨】本题考查了矩形的性质及勾股定理的运用，能充分理解题意并运用性质定理推理论证是解题的关键.22、（1）详见解析；（1）CD=1.【解题分析】

（1）根据相似三角形的判定得出即可；（1）根据相似得出比例式，代入求出即可．【题目详解】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC；（1）∵△BDC∽△ABC，∴，∴，∴CD=1．【题目点拨】考核知识点：相似三角形的判定和性质.23、【解题分析】

先提公因式xy，然后再采用公式法进行因式分解.【题目详解】解：原式＝．故答案为：【题目点拨】本题考查因式分解，因式分解的一般步骤为：先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适；熟练的记牢公式是解决此类题的关键.24、(1)四边形EFGH的形状是正方形;(2)①∠HAE=90°+a;②见解析；③四边形EFGH是正方形，理由见解析【解题分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求出四边形是矩形，根据勾股定理求出AH=HD=AD，DG=GC=CD，CF=BF=BC，AE=BE=AB，推出EF=FG=GH=EH，根据正方形的判定推出四边形EFGH是正方形即可；

（2）①根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°-α，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；

②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DG=CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，根据SAS证△HAE≌△HDG，根据全等三角形的性质即可得出HE=HG；

③与②证明过程类似求出GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论．【题目详解】（1）解：四边形EFGH的形状是正方形．

（2）解：①∠HAE=90°+α，

在平行四边形ABCD中AB∥CD，

∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-α，

∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，

∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-（180°-a）=90°+α，

答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+α．

②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，

∴AE=AB，DG=CD，

在平行四边形ABCD中，AB=CD，

∴AE=DG，

∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，

∴∠HDA=∠CDG=45°，

∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，

∵△AHD是等腰直